Контрольная по ВМатем
.pdf91. |
а) |
lim |
ln(sin 2x) |
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ln(sin x) |
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x→0 |
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92. |
а) |
lim |
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ex3 − 1 − x3 |
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sin |
6 |
2x |
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x→0 |
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|||||||||
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93. |
а) |
lim |
π − 2arcgx |
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x→∞ ln(1 + |
1 |
x |
) |
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94. |
а) |
lim |
ln( x − a) |
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− ea ) |
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x→a ln(ex |
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95. |
а) |
lim |
x4 − x3 + x2 − 1 |
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x→1 x4 − 2x3 + 2x2 − 1 |
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96. |
а) |
lim |
ex − e− x − 2x |
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x − sin x |
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x→0 |
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97. |
а) |
lim |
cos x − cos 3x |
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x→0 cos x − cos 2x |
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98. |
а) |
lim |
x − sin x |
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x→0 |
x |
3 |
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99. |
а) |
lim |
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ln x |
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x→0 6 + 7 ln sin x |
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100. а) |
lim |
ln( x − 1) |
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x→1 ln(ex |
− e) |
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б) |
lim( |
1 |
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− |
|
1 |
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) |
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x→0 |
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x2 |
x sin x |
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б) |
lim xctg |
x |
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x→0 |
4 |
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б) |
lim sin |
1 |
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ln(3 + 2ex ) |
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x→∞ |
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x |
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б) |
lim sin |
1 |
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ln(5 + 3ex ) |
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x→∞ |
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x |
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1 − e−2 x |
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б) |
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lim |
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tg3x |
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x→0 |
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б) |
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lim(2 − |
x |
)tg |
π x |
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x→2 |
2 |
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4 |
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б) |
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lim(sin x)tgx |
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x→0 |
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tg |
π x |
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||||||
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б) |
lim(2 − x) |
2 |
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x→1 |
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1 |
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б) |
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lim(cos x) x2 |
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x→0 |
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1
б) lim x ln ctgx x→0
Задача 16. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить её график.
151
1. y =
4x
4 + x2
2. y = x2 + 1
x2 − 1
3. y = x2 − 1
x2 + 1
4. y = |
x3 |
|
x 2 + 1 |
||
|
5.y = x2 − 5 x − 3
6. y =
4x3
x3 − 1
7.y = ln x
x
8.y = e 2 x − x 2
9.y = ln( x2 − 4)
10.y = ln( x2 + 1)
11.y = 4x3 + 5
x
12. y =
x4
x3 − 1
13. y = 2 − 4x2
1 − 4x2
14.y = x − e− x 2
15.y = x2 − 2 ln x
|
y = |
2 + x 2 |
||
16. |
|
|
||
e x |
2 |
|||
|
17.y = ( x − 1)e3 x+1
18.y = ln(9 − x2 )
1
19.y = e 2− x
20.y = x2 − 2x + 2 x − 1
21.y = x ln x
22.y = 5x4 + 3
x
x
23. y =
9 − x
24. y =
x5
x4 − 1
25. y =
x3
x2 − 1
26.y = 1 (x3 − 3x2 + 4)
4
27.y = x2 + 8 x − 1
152
28. y =
4x3
1 − x3
29.y = x5 − 5x4 + 5x3 + 1
30.y = x2 + 3 x2 − 9
31. y =
4x
4 + x2
32. y = x2 + 1
x2 − 1
33. y = x2 − 1
x2 + 1
34. y =
x3
x 2 + 1
35.y = x2 − 5 x − 3
36. y =
4x3
x3 − 1
37.y = ln x
x
38.y = e 2 x − x 2
39.y = ln( x2 − 4)
40.y = ln( x2 + 1)
41.y = 4x3 + 5
x
42. y =
x4
x3 − 1
43.y = 2 − 4x2
1 − 4x2
44.y = x − e− x 2
45.y = x2 − 2 ln x
|
y = |
2 + x 2 |
||
46. |
|
|
||
e x |
2 |
|||
|
47.y = ( x − 1)e3 x+1
48.y = ln(9 − x2 )
1
49.y = e 2− x
50.y = x2 − 2x + 2 x − 1
51.y = x ln x
52.y = 5x4 + 3
x
x
53. y =
9 − x
54. y =
x5
x4 − 1
153
55.y =
56.y =
57.y =
58.y =
59.y =
60.y =
61.y =
62.y =
63.y =
64.y =
65.y =
66.y =
67.y =
68.y =
69.y =
x3
x2 − 1
1 (x3 − 3x2 + 4) 4
x2 + 8
x − 1
4x3
1 − x3
x5 − 5x4 + 5x3 + 1
x2 + 3 x2 − 9 x3
x2 + 2x + 3
x + ln( x2 − 4) 2xex
ln(9 + x2 ) 4x
4 + x2 x2 e− x
( x − 1)e3 x+1 ln(9 − x2 )
1
e 2− x
70.y =
71.y =
72.y =
73.y =
74.y =
75.y =
76.y =
77.y =
78.y =
79.y =
80.y =
81.y =
x2 − 2x + 2
x− 1
x ln x
5x4 + 3
x x3
x2 − 1
1 (x3 − 3x2 + 4) 4
x2 + 8
x − 1
4x3
1 − x3
x5 − 5x4 + 5x3 + 1
x2 + 3 x2 − 9 x3
x2 + 2x + 3 4x3 + 5
x x3
x2 + 1
154
82. y =
1
x2 − 3x + 2
83.y = ln x −1 x −2
84. y = e
85. y = (x + 4)e2 x 86. y = xe2 x−1
87. y = x3 − 8
2x2
x
88. y = ln
x − 1
89.y = xe− x2
90. y =
1
x 2 + 2 x
91.y = x2 − 1 x2 + 2
92. y =
1 − 2x
x2 − x − 2
93.y = 4x3 + 5
x
94. y =
x3
x2 + 1
95. y =
1
x2 − 3x + 2
96.y = ln x −1 x −2
1
97.y = e 2− x2
98.y = (x + 4)e2 x
99.y = xe2 x−1
100.y = ln( x2 + 2x + 2)
Задача 17. Для функции ex вычислить значение e0,a3 и e0,a4 с точностью до 0.001. Применить формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. ( a3 и a4 с таблицы- 1).
Задача 18. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
y= f (x) на отрезке [a,b] .
1.f (x) = x3 − 12x + 7; a=0; b=3.
155
2. |
|
f (x) = x5 − |
5 |
x3 + 2; |
a=0; b=2. |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
||||
3. |
|
f (x) = |
|
3 |
|
x + cos x; |
a=0; b= |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
4. |
f (x) = 3x4 − 16x3 + 2; a = −3; b = 1. |
|||||||||||||||
5. |
f (x) = x3 − 3x + 1; a = |
1 |
; b = 2. |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
6. |
f (x) = x4 + 4x; a = −2; b = 2. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
||||||||
7. |
|
f (x) = |
|
3 |
x − sin x; |
a = 0; b = |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
8. |
f (x) = 81x − x4 ; a = −1; b = 4. |
|||||||||||||||
9. |
f (x) = 3 − 2x2 ; a = −1; b = 3. |
|||||||||||||||
10. |
f (x) = x − sin x; a = −π ; b = π . |
|||||||||||||||
11. |
f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x + 1; |
a = 0; b = 3. |
||||||||||||||
12. |
f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x − 1; |
a = 1; b = 2. |
||||||||||||||
13. |
f (x) = x3 − 9x2 + 24x; a = 0; b = 5. |
|||||||||||||||
14. |
f (x) = x3 − 9x2 + 24x + 1; |
a = 0; b = 3. |
||||||||||||||
15. |
f (x) = x3 − 9x2 + 24x − 1; |
a = 3; b = 6. |
||||||||||||||
16. |
f (x) = x3 − 9x2 + 24x + 2; |
a = 2; b = 4. |
||||||||||||||
17. |
f (x) = x3 − 9x2 + 24x − 2; |
a = −1; b = 1. |
||||||||||||||
18. |
f (x) = sin x − x + 1; |
a = π ; b = 3π . |
||||||||||||||
19. |
f (x) = x3 − 3x − 1; a = −2; b = 2. |
|||||||||||||||
20. |
f (x) = x2 − 4x + 1; |
a = 1; b = 3. |
156
21. |
f (x) = x2 − 4x + 2; |
a = 0; b = 1. |
||||
22. |
f (x) = 2x3 |
− |
3x2 ; |
a = −1; b = 2. |
||
23. |
f (x) = 2x3 |
− |
3x2 |
+ 1; |
a = −2; b = 0. |
|
24. |
f (x) = 2x3 |
− 3x2 |
− 1; |
a = 1; b = 4. |
||
25. |
f (x) = 2x3 |
− 3x2 |
+ 2; |
a = 2; b = 3. |
26.f (x) = x3 − 12x + 1; a = −3; b = 4.
27.f (x) = x3 − 12x − 1; a = −4; b = 0.
28.f (x) = x3 − 12x + 2; a = 0; b = 3.
29.f (x) = x3 − 12x; a = −1; b = −1.
30. f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x; a = −2; b = 3.
31.f (x) = x3 + 3x2 − 6; a = −3; b = 2.
32.f (x) = 9x3 + 6x2 − 1; a = −4; b = 4.
33. |
f (x) = x3 − 12x + 5; |
a = −3; b = 3. |
||||
34. |
f (x) = x3 − 3x + 5; |
a = −5; b = 5. |
||||
35. |
f (x) = x3 |
+ 3x2 − 4; |
a = −6; b = 6. |
|||
36. |
f (x) = x3 |
− 5x2 − 3x − 2; a = −5; b = 6. |
||||
37. |
f (x) = x3 |
− 2x2 + x − 5; |
a = −3; b = 3. |
|||
38. |
f (x) = x4 − 10x2 + 15; |
a = −5; b = 5. |
||||
39. |
f (x) = x5 |
− 4x4 + 5x3 + 4; a = −3; b = 3. |
||||
40. |
f (x) = x6 − 5x4 + 9x2 ; |
a = −4; b = 4. |
||||
41. |
f (x) = |
x − 3 |
; a = 2; b = 8. |
|||
|
||||||
|
|
x2 + 7 |
|
|
157
42. |
f (x) = |
1 |
|
x + cos x; a = 0; b = |
π |
. |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||
43. |
f (x) = |
x − 2 |
; |
a = 2; b = 8. |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
x2 + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
44. |
f (x) = |
x − 3 |
; |
a = −2; b = 5. |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
x2 + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
45. |
f (x) = |
x |
+ cos x; a = |
π |
; b = π . |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
46. |
f (x) = |
x − 2 |
; |
a = −2; b = 3. |
|||||||||
|
|||||||||||||
|
|
x2 + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
47. |
f (x) = |
x |
− sin x; a = − |
π |
; b = 0. |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
48. |
f (x) = x3 + 3x − 5; a = −2; b = 2. |
||||||||||||
49. |
f (x) = 2x3 − 5x2 + 7x − 3; a = −2; b = 3. |
||||||||||||
50. |
f (x) = x3 − 2x2 + x − 2; a = −3; b = 3. |
51.f (x) = x3 − 12x + 7; a=0; b=3.
52.f (x) = x5 − 5 x3 + 2; a=0; b=2.
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
53. |
f (x) = |
|
3 |
x + cos x; a=0; b= |
. |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
2 |
|
||||||
54. |
f (x) = 3x4 − 16x3 + 2; a = −3; b = 1. |
|||||||||
55. |
f (x) = x3 |
− 3x + 1; a = |
1 |
; b = 2. |
||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
56. |
f (x) = x4 |
+ 4x; a = −2; b = 2. |
158
57. |
f (x) = |
3 |
x − sin x; |
a = 0; b = |
π |
. |
|||
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
58. |
f (x) = 81x − x4 ; |
a = −1; b = 4. |
|||||||
59. |
f (x) = 3 − 2x2 ; |
a = −1; b = 3. |
|||||||
60. |
f (x) = x − sin x; |
a = −π ; b = π . |
|||||||
61. |
f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x + 1; |
a = 0; b = 3. |
|||||||
62. |
f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x − 1; |
a = 1; b = 2. |
|||||||
63. |
f (x) = x3 − 9x2 + 24x; a = 0; b = 5. |
||||||||
64. |
f (x) = x3 − 9x2 + 24x + 1; |
a = 0; b = 3. |
|||||||
65. |
f (x) = x3 − 9x2 + 24x − 1; |
a = 3; b = 6. |
|||||||
66. |
f (x) = x3 − 9x2 + 24x + 2; |
a = 2; b = 4. |
|||||||
67. |
f (x) = x3 − 9x2 + 24x − 2; |
a = −1; b = 1. |
|||||||
68. |
f (x) = sin x − x + 1; a = π ; b = 3π . |
||||||||
69. |
f (x) = x3 − 3x − 1; |
a = −2; b = 2. |
|||||||
70. |
f (x) = x2 − 4x + 1; |
a = 1; b = 3. |
|||||||
71. |
f (x) = x2 − 4x + 2; |
a = 0; b = 1. |
|||||||
72. |
f (x) = 2x3 |
− 3x2 ; |
a = −1; b = 2. |
||||||
73. |
f (x) = 2x3 |
− 3x2 |
+ 1; |
a = −2; b = 0. |
|||||
74. |
f (x) = 2x3 − 3x2 − 1; |
a = 1; b = 4. |
|||||||
75. |
f (x) = 2x3 − 3x2 + 2; |
a = 2; b = 3. |
76.f (x) = x3 − 12x + 1; a = −3; b = 4.
77.f (x) = x3 − 12x − 1; a = −4; b = 0.
78.f (x) = x3 − 12x + 2; a = 0; b = 3.
159
79. |
f (x) = x3 − 12x; |
a = −1; b = −1. |
80. |
f (x) = 2x3 − 3x2 |
− 12x; a = −2; b = 3. |
81.f (x) = x3 + 3x2 − 6; a = −3; b = 2.
82.f (x) = 9x3 + 6x2 − 1; a = −4; b = 4.
83. |
f (x) = x3 − 12x + 5; |
a = −3; b = 3. |
||||||||||||
84. |
f (x) = x3 − 3x + 5; |
a = −5; b = 5. |
||||||||||||
85. |
f (x) = x3 + 3x2 − 4; |
a = −6; b = 6. |
||||||||||||
86. |
f (x) = x3 − 5x2 − 3x − 2; a = −5; b = 6. |
|||||||||||||
87. |
f (x) = x3 − 2x2 + x − 5; |
|
a = −3; b = 3. |
|||||||||||
88. |
f (x) = x4 − 10x2 + 15; |
a = −5; b = 5. |
||||||||||||
89. |
f (x) = x5 − 4x4 + 5x3 + 4; a = −3; b = 3. |
|||||||||||||
90. |
f (x) = x6 − 5x4 + 9x2 ; |
a = −4; b = 4. |
||||||||||||
91. |
f (x) = |
x − 3 |
; |
a = 2; b = 8. |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x2 + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
92. |
f (x) = |
1 |
|
x + cos x; |
a = 0; b = |
π |
. |
|||||||
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
93. |
f (x) = |
x − 2 |
; |
a = 2; b = 8. |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
x2 + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
94. |
f (x) = |
x − 3 |
; |
a = −2; b = 5. |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
x2 + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
95. |
f (x) = |
x |
+ cos x; a = |
π |
; b = π . |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
96. |
f (x) = |
x − 2 |
; |
a = −2; b = 3. |
||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
x2 + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
160