¥ æ n ön2

Приклад 4.9. Дослідимо ряд åç ÷ . n=1è n + 1ø

► Застосуємо радикальну ознаку Коші:

				æ	n		ön
	lim n un		= lim
				ç			÷
	n®¥		n®¥è n +1				ø

Отже, ряд збігається. <

= lim		1			=	1		< 1.
			1	ön		e
n®¥ æ
ç1		+		÷
			n
è				ø

4.3.ЗНАКОПОЧЕРЕЖНІ РЯДИ

4.3.1.Абсолютна та умовна збіжність

Для числових рядів, сусідні члени яких мають різні знаки і називаються знакопочережними, розрізняються два види збіжності.

		¥
Ряд		åun називається абсолютно			збіжним,	якщо	збігається		ряд
		n=1
			¥
модулів його членів, тобто ряд å| un				|.
			n =1
			¥
		Теорема 1. Якщо	ряд åun		збігається	абсолютно,		то	він
			n=1
		збігається і в звичайному сенсі, тобто існує скінченна гра-
		ниця його часткових сум
					¢
w Припустимо, що Sn = u1 + u2 +…+ un, Sn – сума усіх додатних
членів		серед першихп	членів	даного ряду, Sn¢¢ –			сума	модулів

від’ємних членів серед них. Якщо позначити σn = |u1| + |u2| +…+ |un|, то

Sn = Sn¢ – Sn¢¢ , σn = Sn¢ + Sn¢¢.

	¢	¢¢	– дода-
Оскільки за умовою теореми σп має границю σ, а Sn		та Sn
тні зростаючі величини, менші за σ, то вони також мають границіS ¢
¢¢
та S . Отже,
lim Sn	= lim (Sn¢ - Sn¢¢) = S ¢ - S ¢¢,
n®¥	n®¥

¥

тобто знакопочережний ряд åun збігається. £

n=1

¥

Зауваження. Оскільки ряд å| un | знакододатний, то для дослі-

n=1

дження знакопочережного ряду на абсолютну збіжність ми можемо використати всі ознаки збіжності знакододатних рядів.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

118

¥	n	¥	1
Приклад 4.10. ► Для ряду å	(-1)	ряд з модулів å		збігається,
	2
n =1	n	n =1 n2

тому ряд, що розглядається, збігається абсолютно. <

Якщо ряд, складений із модулів членів даного ряду, розбігається, але сам даний ряд збігається, то говорять, що він збігається умовно.

4.3.2. Ознака Лейбніца

Якщо знакопочережний ряд не збігається абсолютно, то необхідно відповісти на питання, чи буде він збігатися хоча б умовно. Відповідь на це питання можна знайти, застосувавши ознаку Лейбніца.

Теорема 2. Якщо члени знакопочережного ряду
u1 – u2 + u3 – u4 +…, де ui > 0	(4.11)

задовольняють умови:

1) u1 > u2 > u3 >… > un > un+1 >… (наступний член ряду за модулем менше попереднього);

2) lim un = 0,

n®¥

то ряд збігається (хоча б умовно), його сума 0 < s £ u1

w Розглянемо суму перших 2т членів ряду:

s2m = (u1 – u2) + (u3 – u4) +…+ (u2m – 1 – u2m) > 0,

оскільки u2i–1 – u2i > 0. Отже, послідовність {s2m} додатна і зростає. З іншого боку, s2m можна записати в іншому вигляді:

s2m = u1 – (u2 – u3) – (u4 – u5) –…– (u2m-2 – u2m-1) – u2m < u1.

Отже, послідовність {s2m} обмежена зверху і тому має границю:

						lim s2m = s.
						m®¥
Доведемо, що ту саму границю							має і	послідовність часткових
сум, складених із непарної кількості:
	lim s2 m +1 = lim(s2 m + u					2 m +1) = lim s2 m	+ lim u	2 m +1	= s + 0 = s.
	m ®¥			m®¥		m®¥	m®¥
Таким чином,					lim sn = s	при будь-якому п, тобто ряд (4.11) збіга-
ється.					n®¥
Приклад				4.11.	Дослідимо на абсолютну				та умовну збіжність
¥	(-1)	n
ряд å			.
n = 2	ln n

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

119