Розвинення у степеневий ряд деяких елементарних функцій

Наведемо розклади в ряд Маклорена деяких елементарних функцій:

¥

x

n

1.

ex = å

. Збіжність отриманого ряду вже досліджувалася рані-

n = 0

n!

ше, де показано, що він абсолютно збігається при будь-якому х.

¥

(-1)

n

x

2n+1

2.

sin x = å

.

(2n +

1)!

n = 0

¥

(-1)

n

x

2n

3.

cos x = å

.

n = 0

(2n)!

Користуючись формулою Д’Аламбера для радіуса збіжності, знайдемо, що він дорівнює нескінченності, отже, степеневі ряди для функцій y = sin x й y = cos x збігаються на усій множині дійсних чисел.

¥	(-1)	n+1	x	n
4. ln(1 + x) = å					.
		n
n = 1

Запишемо залишковий член цього ряду у формі Лагранжа:

	rn (x) =	(-1)n xn+1	, 0 < q <1
		(n +1)(1+qx)n+1

і дослідимо його поведінку при n ® ¥ для | x| < 1, | x | > 1 й | x | = 1:

·	при | x | < 1 lim r (x) = 0;
	n®¥ n
·	при | x | > 1 lim r (x) = ¥,	тому за теоремою5 з пункту 4.1.4 при
	n®¥ n

|x| < 1 ряд збігається, а при |x| > 1 розбігається;

·при х = –1 ряд розбігається, оскільки являє собою гармонічний ряд, усі члени якого мають знак “–”;

·при х = 1 маємо знакопочережний ряд, що збігається умовно за ознакою Лейбніца.

Отже, областю збіжності отриманого ряду є інтервал (–1, 1].

	¥	a(a -1)...(a - n +1)
	5. (1 + x)a =1 + å		xn . Знайдемо радіус збіжності
	n = 1	n!
	за формулою Д’Аламбера: R = lim				n +1	=1. Отже, інтервал збіж-
					a - n
		n ® ¥
	ності (–1, 1).

4.5.6. Застосування степеневих рядів

Можливість розвинення функції у степеневий ряд дозволяє спростити багато математичних операцій: обчислення наближених значень даної функції, диференціювання, інтегрування, оскільки степеневий

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

132

ряд можна замінити многочленом(з урахуванням того, що оцінка залишку ряду не перевищує заданого значення похибки). Зокрема, можна наближено обчислювати інтеграли, що “не беруться”, знаходити наближені рішення диференціальних рівнянь тощо.

a

Приклад 4.15. Обчислимо інтеграл òe-x2 dx за допомогою рядів.

0

► Розвинемо підінтегральну функцію в ряд Маклорена, користуючись розкладом функції ех:

e- x 2

=1 -

x2

+

x4

-

x6

+ ... +

(-1)n x2n

+ ... .

3!

1!

2!

a

n

a

- x

2

æ

x

3

x

5

x

7

ö

a

3

a

5

a

7

Тоді ò e

ç x

÷

=a -

dx =

ç

-

+

+

+...÷

+

-

+.... .

0

è 1 1!

× 3 2! ×5 3!

×

7 ø

0

1! ×3 2!

×

5 3!

×

7

За допомогою цієї рівності можна обчислити даний інтеграл при будь-якому а з будь-якою заданою точністю. <

		a
Приклад 4.16. Обчислимо інтеграл ò			sin x			dx.
0				x
► Розвинемо функцію	sin x	у ряд:			sin x
						x
	x

		x2		x4		x6
	= 1 -		+		-		+ ... ,
		3!		5!		7!

що збігається при будь-якому х. Інтегруючи почленно, отримаємо:

a

sin x

a

3

a

5

a

7

ò

dx = a -

+

-

+ .... <

0

x

3!×

3 5!×

5 7!× 7

Тепер розглянемо, як застосовують ряди для розв’язання дифе-

ренціальних рівнянь другого порядку y

¢¢

= F (x,

¢

y, y ), що задовольня-

ють початковим умовам y(x0 ) = y0 , y¢(x0 ) = y0¢.

Якщо припустити, що

розв’язок має вигляд:

y = f (x) =

f (x0 ) +

x - x0

f

¢

+

(x

- x0 )2

f

¢¢

1

(x0 )

2!

(x0 ) + ...,

то треба знайти значення похідних f ¢(x0 ),

f ¢¢(x0 ),

f ¢¢¢(x0 ),... від част-

кового рішення при х = х0. Із початкових умов маємо:

¢

¢

f (x0 ) = y0 , f (x0 ) = y0 .

Тоді з вихідного рівняння отримуємо, що:

¢¢

= F (x0 , y0

¢

f (x0 )

, y0 ).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

133

Диференціюючи обидві частини вихідного рівняння за х, знайдемо:

y¢¢¢ = F ¢ +

F¢ × y¢ + F ¢¢

× y¢¢,

x

y

y

звідки можна визначити f ¢¢¢(x0 ) = y¢¢¢

x = x0

тощо.

Приклад 4.17. Знайти розв’язок

рівняння y¢¢ = -yx2

при y(0) =1,

¢

=0.

y (0)

► f

¢¢

¢¢¢

¢

2

- 2xy Þ f

¢¢¢

=0; y

(4)

¢¢

2

- 4xy

¢

- 2 y Þ

(0) = 0; y=

-y x

(0)=

-y x

Þ =f (4) (0)

-2.

Можна отримати загальну формулу для похідних будь-якого

порядку:

y( k +2)

= -y( k ) x2 - 2kxy( k -1) - k(k -1) y( k -2) .

При х = 0 ця формула дає y0( k +2) = -k(k -1) y0( k -2) .

Оскільки

¢

¢¢

¢¢¢

= 0,

то в

нуль

обертаються усі

f (0)

= f (0) = f

(0)

похідні, порядок яких кратний чотирьом. Отже, розв’язок має вигляд:

y =1-	x4	×1×2 +	x8	×1×2 ×5×6 -...+ (-1)k	x4k		×(1×2)(5×6)...(4k -3)(4k - 2) +... .
					(4k)!
4!		8!

Питання для самоперевірки

1.Який ряд називається функціональним?

2.Що називаєтьсяобластю збіжності функціонального ряду?

3.Який функціональний ряд називаєтьсярівномірно збіжним?

4.Сформулюйте ознаку Вейєрштрасса?

5.Перелічіть властивості рівномірно збіжних рядів?

6.Який ряд називається степеневим?

7.Сформулюйте першу теорему Абеля?

8.Що називається радіусом збіжності степеневого ряду?

9.Запишіть формули для визначення радіуса збіжності степеневого ряду?

10.Перелічіть властивості степеневих рядів?

11.Наведіть приклади застосування степеневих рядів.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

134