Приклад 1.26													1					1
			► òsin 2 x cos4 xdx = ò													(1 - cos 2x)				(1 + cos 2x)2 dx =
													2
																		4
=	1	ò(1 - cos2 2x)(1 + cos 2x)dx =											1		ò(1 + cos 2x - cos2 2x - cos3 2x)dx =
8			1							1			8
				é								(1 + cos 4x) - (1 - sin 2 2x) cos 2x									ù
		=		ò ê1		+ cos 2x -															údx =
			8							2
				ë																	û
					1	é1			1								1	ù
				=		ê		òdx -			òcos 4xdx +							òsin 2 2xd (sin 2x)ú			=
					8				2								2
						ë2												û

1 é

1

sin 3

2x ù

=

êx -

sin 4x +

ú

+ C. <

16

4

3

ë

û

10. Інтеграли

виду:

ò

dx

беруться

за

допомогою

множення

sin

m

x cos

n

x

чисельника на sin 2 x + cos2 x =1

і наступного

почленного

ділення

чисельника на знаменник.

Приклад 1.27

sin 2 x + cos2

► ò

dx

= ò

x

dx

= ò

sin xdx

+

ò

dx

=

sin x cos2

x

sin x cos2 x

cos2 x

sin x

ì

cos x = t

ü

ì

x

= z;

sin x =

2z

dx =

2dz

ü

= í

ý

+

ítg

;

ý =

2

1 + z 2

1 + z 2

îdt = -sin xdxþ

î

þ

= -ò

dt

+ ò

2(1

+ z 2 )dz

=

1

+ ln

z

+ С

=

1

+ ln

tg

x

+ C.

<

t

2

(1 + z

2

)2z

t

cos x

2

Приклад 1.28

sin 2

x + cos2 x

► ò

dx

= ò

dx = ò

dx

+ òctg2 x

dx

=

sin

4

x

sin

4

x

sin

2

sin

2

x

ctg3 x

x

= -ctgx -

+ С. <

3

Питання для самоперевірки

1.Сформулюйте означення первісної й невизначеного інтеграла.

2.Напишіть основні властивості невизначеного інтеграла.

3.Напишіть таблицю інтегралів.

4.Як можна перевірити правильність результату інтегрування?

5.Напишіть формулу заміни змінної для невизначеного інтеграла.

6.Напишіть формулу інтегрування частинами для невизначеного інтеграла.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

24

7.Наведіть приклади інтегралів, для обчислення яких застосовується формула інтегрування частинами.

8.Який вигляд мають прості раціональні дроби1-4 типів?

9.Як інтегруються дроби1-3 типів?

10.Перелічіть послідовність дій при інтегруванні функцій, що містять квадратний тричлен.

11.Сформулюйте теорему про розклад многочлена на множники.

12.Сформулюйте теорему про розклад правильного раціонального дробу на прості дроби.

13.Напишіть універсальну тригонометричну підстановку.

14.Які підстановки використовуються для обчислення інтегралів:

а)	òsinm x cos2n+1 xdx,
б)	òsin2m+1x cosn xdx,
в)	òsin 2m x cos2n xdx,
г)	ò R(tgx)dx?

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

25