8. Метод подстановки

Справедливо равенство , где–дифференцируемая функция. После вычислений интеграла надо сделать обратную подстановку. Конечно, этим методом целесообразно пользоваться, если после подстановки интеграл упрощается.

Пример 1. Найти интеграл

Решение.

Выбор подстановки требует определенного опыта и искусства, но для некоторых классов функций можно дать рекомендации.

1. Интегрирование линейных иррациональностей

где R – рациональная функция своих аргументов. Интеграл сводится к интегрированию рациональной дроби подстановкой где

Пример 2. Найти интеграл

Решение.

2. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Тригонометрические подстановки

Интегралы вида ,,приводятся к интегралам от рациональной функции относительнос помощью надлежащей тригонометрической подстановки: для первого интеграла, для второгои для третьего.

Пример 3. Найти интеграл

Решение.

Пример 4. Найти интеграл

Решение.

.

3. Универсальная тригонометрическая подстановка

Под интегралом имеем рациональное выражение относительно и. Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки. В этом случае:

Пример 5. Найти интеграл

Решение.

9. Определенный интеграл

Пусть — функция, определеннаяна отрезке , и пусть  —n + 1 точек, таких, что , кроме того, пусть, для всехk = 1.. n. Тогда сумма

называется интегральной суммой. Определенным интегралом от функции на отрезкеназывается предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.

Числа соответственно называютсянижним и верхним пределами интегрирования.

Основные свойства определенного интеграла

1.

2. гдепостоянная.

3. 4.

5. Если – нечетная функция, т.е.то

Если – четная функция, т.е. то

10. Геометрический смысл определенного интеграла

Еслина отрезке, то определенный интегралчисленно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, прямыми:,и.

Если меняет знак на отрезке, тодает алгебраическую сумму площадей фигур, ограниченных линиями,,,. Причем площади, расположенные выше оси, входят в эту сумму со знаком плюс, а площади, расположенные ниже оси, – со знаком минус.

11. Методы вычислений

1. Формула Ньютона-Лейбница

Если – некоторая первообразная для функции, то определенный интеграл может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

.

Эта формула устанавливает связь между неопределенным и определенным интегралами.

Примеры. Вычислить интегралы.

1.

2. Замена переменных в определенном интеграле

Если функция непрерывна на отрезке, а функциядифференцируема на отрезке, причем,, то

Обратите внимание, при замене переменной в определенном интеграле меняют пределы интегрирования, а к старым переменным не возвращаются.

Примеры. Вычислить интегралы.

1.

.

2. .

3.

3. Интегрирование по частям

где непрерывно дифференцируемые функции на отрезке.

Примеры. Вычислить интегралы.

1.

2.

12. Вычисление площадей плоских фигур

Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой двумя прямымии отрезкомоси, вычисляется по формуле(I)

Если фигура ограничена непрерывными кривыми и,для всех, и прямымиито её площадь равна(II)

Если фигура заключена между кривыми и,то находим абсциссы точек пересечения данных кривых и вычисляем площадь фигуры по формуле (II).

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами и.

Решение. Найдём абсциссы точек пересечения данных кривых: . По формуле (II):