- •Математика
- •3 Семестр
- •3. Интегрирование методом подведения функции под знак дифференциала
- •4. Интегралы
- •5. Интегрирование рациональных дробей
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Метод интегрирования по частям
- •8. Метод подстановки
- •9. Определенный интеграл
- •§ 2. Дифференциальные уравнения
- •1. Уравнения первого порядка
- •1. Основные понятия
- •2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •3. Линейные дифференциальные уравнения
- •2. Уравнения второго порядка
- •1. Основные определения
- •2. Уравнения вида
- •3. Уравнения второго порядка, не содержащие искомой функции
- •4. Уравнения второго порядка, не содержащие независимой переменной
- •5. Линейные уравнения второго порядка
- •2) Если то (II.V)
- •§ 3. Кратные и криволинейные интегралы
- •1. Двойные интегралы
- •1. Общие понятия
- •Геометрическая интерпретация двойного интеграла
- •Пример 2.
- •2. Криволинейные интегралы
- •121. .
- •Издательство «Нефтегазовый университет»
- •625000, Г. Тюмень, ул. Володарского, 38
- •625000, Г. Тюмень, ул. Володарского, 38
2) Если то (II.V)
Коэффициенты инаходят аналогично коэффициентамЕсли в функциювходит толькоили, в частное решение надо включать оба слагаемых.
На основании теоремы 1 общее решение неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного (теорема 2) и частного неоднородного (теорема 3).
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Общее решение данного уравнения имеет вид где– общее решение соответствующего однородного уравнения а – частное решение данного неоднородного уравнения. Решая характеристическое уравнение, найдем его корни:. По формуле (II.II):
Найдем частное решение неоднородного уравнения с правой частью: По формуле (II.IV) коэффициенты А и В подлежат определению из условия, что решение данного уравнения. Находим производные:
подстановка ,ив уравнение дает (после сокращения на):
т.е. Для того, чтобы равенство было верным, достаточно совпадения коэффициентов при одних и тех же степеняхв обеих частях равенства:
Из этих уравнений находим А=1, В=2. Следовательно, функция является частным решением данного уравнения, а функция
его общим решением.
Пример 2. Найти общее решение уравнения:
Решение. Характеристическое уравнение: . Его корни: По формуле (II.I): .
Вид правой части здесь такой же, как в примере 5, но поэтомуСледовательно,
Подстановка в уравнение, сокращение на дает: ,;,. Тогда:
Общее решение данного уравнения :
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение: Его корни:Общее решение однородного уравнения:Правая часть исходного уравнения:Частное решение найдем по формуле (II.IV):
Подставим в исходное уравнение: . Тогда.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни. По формуле (II.III):
по формуле (II.V):
Подстановка в дифференциальное уравнение дает: Для того чтобы это равенство выполнялось, достаточно совпадения коэффициентов прив обеих частях равенства:
Решая систему, получим Тогда частное решение неоднородного уравнения:и общее решение данного уравнения
§ 3. Кратные и криволинейные интегралы
1. Двойные интегралы
1. Общие понятия
Пусть в плоской двумерной плоскости D определена функция двух переменных z=f(x;y). Аналогично одномерному случаю строится n-ая интегральная сумма и предел последовательности интегральных сумм при n→∞ называется двойным интегралом. В прямоугольных координатах двойной интеграл записывается в виде:
Свойства двойного интеграла такие же, как свойства определенного интеграла.
Вычисление двойного интеграла сводится к повторному интегрированию. Рассмотрим два основных вида области интегрирования.
Область интегрированияD ограничена слева и справа прямыми x=a и x=b (a<b), а снизу и сверху – непрерывными кривыми y=φ1(x) и y=φ2(x), φ1(x)≤φ2(x), каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке.
Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле:
, (I)
причем сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором х считается постоянной.
(II)
Сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором y считается постоянной.
В более общем случае, область интегрирования разбивается на части вида 1 или вида 2.