§ 2. Дифференциальные уравнения

1. Уравнения первого порядка

1. Основные понятия

Уравнение или(I)

связывающее независимую переменную х, искомую функцию и её производнуюназываетсядифференциальным уравнением первого порядка.

Решением дифференциального уравнения (I) называется такая дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения (I) называется функция, зависящая от х и одной произвольной постоянной и обладающая следующими свойствами:

1) она является решением уравнения при любых значениях постоянной С,

2) для любого начального условия существует единственное, при котором решениеудовлетворяет заданному начальному условию.

Всякое решение , получающееся из общего решенияпри конкретном значении, называетсячастным решением дифференциального уравнения.

2. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение будем называтьуравнением с разделяющимися переменными, если может быть разложено на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной:.

(II)

Производную можно рассматривать как отношение дифференциалов:, уравнение (II) примет вид Умножая обе части на и деля на, приведём уравнение к виду(переменные разделены). Интегрируя левую часть равенства поа правую часть пополучаем общий интеграл (общее решение) уравнения (II):

Пример. Найти общий интеграл уравнения

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Запишем его в виде: . Разделим переменные, поделив почленно наи умножив на. Проинтегрируем:,Обозначим произвольную постояннуючерез, что допустимо, т.к.(при ) может принимать любое значение от до . Следовательно,или– общий интеграл.

3. Линейные дифференциальные уравнения

Уравнение вида (III)

называют линейным дифференциальным уравнением. Если то уравнение называетсялинейным неоднородным, если –линейным однородным.

Линейные неоднородные уравнения могут быть решены методом Бернулли, который заключается в следующем. С помощью подстановки гдеидве неизвестные функции, исходное уравнение (III) преобразуется к виду

или . (IV)

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана совершенно произвольно, за выбираем любое частное решение уравненияпри этом из (IV) остаётся

Общее решение исходного уравнения находится умножением наv:

.

Пример. Проинтегрировать уравнение

Решение. Данное уравнение является линейным уравнением первого порядка. Положим , тогда. Подставимив данное уравнение Сгруппируем члены, содержащие : Подберём так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль:илитогдапроинтегрировав, имеем, т.е.Решим оставшееся уравнение, подставив в него найденное:

Общее решение данного уравнения имеет вид .

2. Уравнения второго порядка

1. Основные определения

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

или

Общее решение уравнения второго порядка зависит от и двух произвольных постоянных

Частное решение определяется двумя начальными условиями и. Рассмотрим три вида уравнений, которые допускают понижение порядка.