Темы 4, 5. Статистическая обработка результатов эксперимента

Цель: Ознакомить с порядком статистической обработки результатов эксперимента

План:

4.1. Необходимость обработки экспериментальных данных

4.2. Последовательность обработки экспериментальных данных

Основные понятия: среднеквадратическое отклонение результата эксперимента, доверительный интервал, доверительная вероятность

В настоящее время обработка экспериментальных данных прямых многократных измерений в нашей стране регламентируется государственным стандартом, который в общем случае предусмат­ривает выявление закономерности поведения случайнойпогрешности(определения закона распределения) и статистические процедуры исключения грубыхпогрешностей.

В практике обработки экспериментальных данных чаще всего при­ходится сталкиваться со случаями, когда число измерениймало (не превышает 5 - 15).

В этих случаях пользуются вполне оправданным предположением о том, что закон распределения случайной погрешности является нор­мальным (нормальный закон распределения вообще является наиболее распространенным законом распределения случайных величин, в том числе случайныхпогрешностей), а грубыепогрешности не выявляются или определяются и отбрасываются интуитивно. Обработка экспериментальных данных прямых многократныхизмерений в соответствии со стандартом базируется на теоретических положениях математической статистики, которые предполагают определение вместо характеристик нормального распределения их оценок. Так, вместо ма­тематического ожидания М[X] (является первым основным па­раметром нормального закона распределения), т.е. значения величины, вокруг которого группируются результаты отдельныхизмерений(при бесконечном числеизмерений), определяется его оценка, которая представляет собой среднее арифметическое:

М[X] » = ,

(1)

где X_i-результат i -гоизмерения;

n – число измерений.

Второй параметр нормального закона распределения - среднеквадратическое отклонение s, характеризующее рассеяние результатов отдельных измеренийотносительно математического ожидания, опре­деляется оценкой по формуле:

s » S = ,

(2)

Оценка среднеквадратического отклонения результата измерений определяется по формуле:

S() = = .

(3)

При обработке экспериментальных данных прямых многократных измерений принято вычислять интервальную оценкупогрешности,которая определяется с использованиемпогрешностиS(), на­зываемой точечной, и представлений одоверительном интервалеидоверительной вероятности.

Доверительным интерваломс границами (или доверительными граница­ми) от - до+называют интервал значений случайнойпогрешности,который с заданной вероятностью Р_д, называемойдо­верительной, накрывает истинное значение измеряемой величины. Обычно задаются значением доверительной вероятности (чаще всего Р_д= 0.95) и определяют значение доверительного интерва­ла.

При малом числе измерений(n 20) и использовании нормального закона не представляется возможным определить доверитель­ный интервал, так как нормальный закон распределения описывает поведе­ние случайной погрешностив принципе при бесконечно большом числеизмерений. Поэтому, при малом числеизмерений используют распределе­ние Стьюдента или t - распределение (предложенное английским статистиком Госсетом, публиковавшимся под псевдонимом «студент»), которое обеспечивает возможность определения доверительных интер­валов при ограниченном числеизмерений. Границы доверительного интервала при этом определяются по формуле

= t S() ,

(4)

где t - коэффициент распределения Стьюдента, зависящий от задаваемой доверительной вероятности Р_ди числаизмеренийn.

Коэффициент t обычно определяется по таблице или рассчитывается по сложной формуле, описывающей распреде­ление Стьюдента. Предполагается, что:

-результаты измеренийявляются исправленными, т.е. из них исключены систематическиепогрешности;

-неисключенные систематические погрешностинастолько малы, что ими можно пренебречь;

-результаты измерений являются равнорассеянными (равноточными) одинаково распределенными величинами (такие результаты получаются при выполненииизмерений одним оператором с помощью одних и тех же средствизмерений);

-из результатов измеренийисключены промахи и грубые погрешнос­ти

-число измеренийне превосходит 15 (в этом случае признается и не проверяется нормальность распределения случайных погрешнос­тей).

1.	Получение n результатов наблюдений
2.	Вычисление среднего арифметического по формуле (1)
3.	Вычисление оценки среднеквадратического отклонения результата измерения по формуле (2)
4.	Принятие значения доверительной вероятности Рд (обычно Рд = 0.95)
5.	Определение коэффициента t в зависимости от Рд и n по таблице распределения Стьюдента
6.	Определение доверительных границ случайной погрешности по формуле (4)
7.	Запись результата измерений с использованием правил округления в виде: А = ± (Рд= ; n= )

Обработка экспериментальных данных прямых однократных измерений.

Ввиду того, что однократные измеренияпроводятся при условиях, когда всемипогрешностями,кромепогрешностей средствизмерений(инструментальныепогрешности) можно пренебречь, результат прямого однократного измеренияпредставляется в виде

А = ± D ,

(5)

где- значение физической величины, найденное по шкале измерительного прибора;

D - абсолютная погрешностьдля найденного значения , определяемая классом точности L средстваизмерений.

Класс точности средства измерений - обобщенная характеристика точности средстваизмерений.

В подавляющем большинстве случаев класс точности нормируется приведенной g или относительной d погрешностью:

L = g = ,

(6)

или

L = d = ,

(7)

где X_ви X_нверхний и нижний пределыизмеренийиспользуемого средстваизмерений.

Значение класса точности указывается на шкалах или корпусах изме­рительных устройств. При этом, если число, определяющее класс точ­ности, заключено в окружность - ‚, то класс точности устройства следует определять по формуле (7), в противном случае - по формуле (6).

Таким образом, в каждом конкретном случае для определения значения D в формуле (5) необходимо выполнить вычисления по формулам, полученным из выражений (6) и (7), соответственно:

D = ,

(8)

D = .

(9)

Выводы:Обработка экспериментальных данных прямых многократныхизмерений регламентируется государственным стандартом, который в общем случае предусмат­ривает выявление закономерности поведения случайнойпогрешности(определения закона распределения) и статистические процедуры исключения грубыхпогрешностей.

Литература:

1. Барчуков И.С. Методы научных исследований в туризме. - М.: Академия, 2008. – 224с.

2. Основы научных исследований: учебное пособие / Шкляр М.Ф. – М.: Дашков и К^о, 2008. - 244с.

3. Основы научных исследований: учебник для технических вузов / Крутов В.И., Грушко И.М., Попов В.В. – М.: Высшая школа, 1989. - 400с.

4. Шкляр М.Ф. Основы научных исследований. – М.: Центр, 2006. – 397с.

5. Рузавин Г.И. Логика и методология научного поиска. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1996. – 328 с.