Условия монотонности функции на промежутке. Выпуклость функ­ции на промежутке. Точки перегиба функции.

Теорема Лагранжа и её геометрическое истолкование. Необходимое и достаточное условие постоянства функции на промежутке. Необходимое и достаточное условие монотонности функции на промежутке. Экстремумы функции. Условия существования точек экстремума функции. Определение выпуклости (вогнутости) функции на промежутке. Достаточное условие выпуклости дважды дифференцируемой функции. Точки перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба функции. Достаточное условие существование точки перегиба функции.

Th Ролля. Пусть на отрезке [а,b] задана функция f(x), причем выполнены условия:1. f(x) - непрерывна на [а,b]; 2. f(x)- дифференцируема на интервале (а,b); 3. f(a)=f(b), тогда найдется точкатакая, чтоf’(c)=0.

Th Лагранжа. Пусть: 1)f(x)определена и непрерывна в замкнутом промежутке[а,b];2) существует конечная производнаяf’(x),по крайней мере, в открытом промежутке(а,b).Тогда междуaиbнайдется такая точкаc(a<c<b), что для нее выполняется равенство .. Доказательство основана наThРолля. Обращаясь к геометрическому истолкованию теоремы Лагранжа, заметим, что отношениеесть угловой коэффициент секущей АВ, аf’(c)есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в точке с абсциссой x=c. Таким образом, утверждение теоремы Лагранжа равносильно следующему: на дуге АВ всегда найдется, по крайней мере, одна точка М, в которой касательная параллельна хорде АВ.

Th Необходимое и достаточное условие постоянства функции на промежутке. Пусть функция f(x) определена в промежутке X и имеет внутри него конечную производнуюf’(x),а на концах (если они принадлежат X) сохраняет непрерывность. Для того чтобы f(x) была в X постоянной, достаточно условиеf’(x)=0внутри X. Доказательство следует изThЛогранжа.Следствие. Пусть две функцииf(x) иg(x) определены в промежуткеXи внутри него имеют конечные производныеf’(x)иg’(x),а на концах (если они принадлежатX) сохраняют непрерывность. Если при этомf’(x)=g’(x)внутриX,то во всем промежуткеXэти функции разнятся лишь на постоянную:f(x)=g(x)+C(С =const). Для доказательства достаточно применить теорему к разностиf(x)−g(x), так как ее производнаяf’(x)−g’(x) внутриXсводится к нулю, то сама разность вXбудет постоянной.

Th Необходимое и достаточное условие монотонности функции на промежутке. Если функция f(x) дифференцируема на (a,b) и f’(x)≥0 (f’(x)≤0) на (a,b), то f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b).Замечание. Если требовать, что f‘(x)>0 (f’(x)<0), тогда функция строго возрастает (убывает).

Экстремумы. Рассмотрим функцию f(x) на множестве М⊆Д(f) .Число f(a) назовем наибольшим значением функции f на множестве М (абсолютным или глобальным максимумом) и обозначим , если точкаa∈М и f(x)≤f(a) при любыx x∈M .Если в качестве множества М рассмотреть некоторую окрестность точки a, то f(a) называют локальным максимумом функции f и обозначают .(∀x∈U(a))(f(a)≥f(x))−локальный max. (∀x∈U(b))(f(b)≤f(x)) - локальный min. Точка x называется внутренней точкой множества D, если она входит в это множество с некоторой своей окрестностью. Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками. Таким образом, все экстремумы являются критическими точками.

Th Ферма. Если функция f (x) дифференцируема в точке и достигает в ней экстремума, то. Теорема Ферма: касательная к графику функции в точке экстремума параллельна оси абсцисс.

Th Достаточное условие локального экстремума. Пусть точка - критическая точка функцииf и пусть функция f непрерывна в ней. Если функция f дифференцируема в некоторой выколотой окрестности в точкеи ее производная при переxоде через точкуменяет знак, тоесть локальный экстремум функции, причембудет локальным max, если производнаяf′ при переходе через точку меняет свой знак с + на - и- локальный min, еслиf′ при переходе через точку меняет свой знак с - на +.

Th Достаточное условие локального экстремума Пусть точка - стационарная точка функцииf. Если f дифференцируема в некоторой окрестности U(x0) точке, а в самой точкеона дважды дифференцируема и, тоf() - есть локальный экстремум функции f, а именно является локальным max, еслии- локальным min, если.

Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек ииз этого отрезка. Другими словами, если для любых точекиотрезка [a; b] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх. Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Th Достаточное условие строгой выпуклой функции. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) на множестве X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом множестве. Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вверх, если для любого Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вниз, если для любого .

Точка М(,f()) называется точкой перегиба графика функции f(x), если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции слева и справа от точкиимеет разные направления выпуклости. В окрестностях точки перегиба кривая графика функции располагается по разные стороны от касательной к ней в этой точке. Точки, не являющиеся точками перегиба: точка разрыва, точка возврата, угловая точка.

Th Необходимое условие точки перегиба. Пусть график функции имеет перегиб в точке М(,f()) и пусть функция y=f(x) имеет в точке непрерывную вторую производную, тогда. Доказательство от противного.

Th Достаточные условия точки перегиба. Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке Еслименяет знак при переходе через точкуто–точка перегиба функцииf (x).Если , то –точка перегиба функцииf(x).