Первообразная и неопределенный интеграл функции. Методы интегрирования функций.

Задачи, приводящие к восстановлению функции по её производной (задача о вычислении пройденной пути по мгновенной скорости, задача о вычислении мгновенной скорости по ускорению, задача о вычислении переменной массы по известной плотности). Понятие первообразной функции. Свойства первообразных функций. Понятие неопределенного интеграла и его свойства. Таблица интегралов основных элементарных функций. Метод непосредственного интегрирования. Интегрирование методом подстановки и по частям.

Задачи. Предполагая известным уравнение движения s=f(t), т.е. закон изменения пути с течением времени, мы путем дифференцирования можем найти скорость и затем ускорение. Часто требуется решить обратную задачу, т.е. найти перемещение тела, зная, как изменяется его скорость, ускорениеa задано в функции от времени t: a=a(t), требуется определить скорость v и пройденный путь s в зависимости от t. Т.о., здесь оказывается нужным по функции a=a(t) восстановить ту функцию v=v(t), для которой a является производной, а затем, зная функцию v, найти ту функцию s=s(t), для которой производной будет v.

Аналогичная задача, зная массу m=m(x), непрерывно распределенную вдоль прямолинейного отрезка [0,x] оси x, дифференцируя можно найти “линейную” плотность ρ=ρ(x). Возникает вопрос, как по заданному закону изменения плотности ρ=ρ(x) найти величину самой распределенной массы, т.е. по известной формуле ρ(x) найти ту функцию m=m(x), для которой ρ служит производной. Эти и подобные задачи решаются при помощи интегрирования – операции, обратной дифференцированию. Интегральное исчисление решает задачу: Найти F(x), зная F’(x)=f(x).

Функция F(x) на некотором промежутке X называется первообразной для функции f(x) или интегралом от f(x), если для любого x∈X f(x) является производной для функции F(x) или f(x)dx служит дифференциалом для F(x), F′(x) =f(x) или dF(x) =f(x)dx.

Th основное свойство первообразных. Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на интервале (a;b), то множество всех первообразных f(x) задается формулой F(x)+c, c=const-любая постоянная. Из теоремы следует, что достаточно найти для данной функции f(x) только одну первообразную функцию F(x), чтобы знать все первообразные, т.к. они отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми. Геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу.

Множество всех первообразных F(x)+c для f(x) называется неопределенным интегралом (НИ) от функции f(x) и обозначается , где произведениеf(x)dx называется подынтегральным выражением, а функция f(x)-подынтегральной функцией, x-переменной интегрирования.

Свойства НИ	Таблица НИ
1º 2º . 3º 4º

Метод непосредственного интегрирования. Осуществляется с использованием свойств интеграла и сведением интеграла к табличному.

Операции подведения под знак диф-ла: .

Интегрирование методом подстановки ( замена переменной ). Если функция f(z) определена и имеет первообразную при , а функцияимеет непрерывную производную приx и её область значений , то функцияимеет первообразную на Х и