Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

Определение функции - определенного интеграла с переменным верхним пределом. Свойства функции F (х): непрерывность и дифференцируемость. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница и её значение для интегрального исчисления. Связь между определенным и неопределенным интегралами функции.

Пусть функция f(x)интегрируема на [a,b]. Тогда,каково бы ни было число x из [a,b], функция f(x) интегрируема и на сегменте [a,x]. Поэтому на интервале (a,b) определена функция, которую называютинтегралом с переменным верхним пределом.

Дифференцируемость F(x). Еслиfинтегрируема на [a,b] и непрерывна в, тодифференцируема ви, но было установлено существование производной от интеграла с переменным верхним пределом и эта производная равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, то есть.

Непрерывность F(x).Если функцияf(x)интегрируема на интервале( => интегрируема на любом сегменте, содержащихся в интервале), то интеграл с переменным верхним пределом представляет собой непрерывную нафункцию от верхнего предела. Чтобы убедиться в этом, докажем, что приращениефункциистремится к нулю при.

Th (существование первообразной для непрерывной функции). Любая непрерывная на интервалефункция f(x) имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция. Достаточно доказать, что для любого фиксированногоxиз интервала (a,b) существует предельное значение, причем это предельное значение равноf(x).

Th. Если- любые первообразные для функциина интервале, то всюду на этом интервале, гдеC- некоторая постоянная. Следствие. Если- одна из первообразных функций для функциина интервале, то любая первообразнаядля функциинаимеет вид, гдеC- некоторая постоянная.

Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функцияfнепрерывна на [a,b]. Если функция Ф является произвольной её первообразной на этом отрезке, тоТ.к. любые две первообразные данной функцииf(x)отличаются на постоянную, то согласно теореме существования первообразной для непрерывной функции можно утверждать, что любая первообразнаяΦ(x) непрерывной на сегменте [a,b] функцииf(x) имеет вид, гдеC- некоторая постоянная. Полагая в, а затем, найдем,Из этих равенств вытекает соотношение, называемое формулой Ньютона-Лейбница, для вычисления определенных интегралов от функцийf(x), для которых известны первообразные на сегменте [a,b].

Итак, для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции f(x)нужно составить разность значений произвольной ее первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования. Из формулыследуетсвязь между определенным и неопределенным интегралами

Приложения определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат. Объем тела вращения. Вычисление длины кривой. Вычисление площади поверхности вращения. Работа силы. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести кривой

Площадь криволинейной трапеции. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью абсцисс, прямымии графиком функцииf. Для такой трапеции (рис.3) если функцияf неотрицательна на отрезкеи непрерывна на нем, то площадь соответствующая ей криволинейной трапеции равнаЕсли криволинейная трапеция ниже оси абсцисс, тогда. Площадь фигуры ограниченной кривыми, прямымиравна

Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат.Рассмотрим кривуюв полярной системе координат, где– непрерывная и неотрицательная нафункция. Фигура, ограниченная кривойи лучами, называется криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора равна

Объем тела вращения. Пусть тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной на отрезке [a;b] функциейf(x).Его объем выражается формулой. Пусть тело заключено между плоскостями, а площадь его сечения плоскостью, проходящей через точку x, – непрерывная на отрезке [a;b] функцияТогда его объем равен

Вычисление длины кривой.

Пусть задана кривая Тогда длина ее участка, ограниченного значениямивыражается формулой. В частности, длина плоской кривой, задаваемой на координатной плоскости OXY уравнением , выражается формулой

Вычисление площади поверхности вращения.

Пусть поверхность задается вращением относительно оси OX графика функции , и функцияf имеет непрерывную производную на этом отрезке. Тогда площадь поверхности вращения определяется формулой

Задачи физики. 1)Пусть материальная точка движется с ускорением a (t). Тогда ее скорость равна а перемещение –где,– постоянные, определяемые из начальных условий,иt – начальный и конечный моменты времени.

2) Пусть плотность ρ (x) стержня с постоянным сечением S зависит от расстояния до начала стержня. Тогда масса стержня равна гдеL – длина стержня, а центр масс стержня находится на расстоянии .

3 )Работа газа при его расширении от объема V₁ до объема V₂ равна , гдеP (V) – давление газа в этом процессе.

Источники:

http://matan-photo2.ru/matan.html

http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan2.htm

http://e-science.sources.ru/math/theory/?t=163

http://www.fizmatik.ru/index.php?option=com_content&view=article&id=24&Itemid=25

http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana11.htm