Конспект лекций электротехника

ЛЕКЦИЯ № 3

4.Электрическая цепь с активным и индуктивным элементами.

Цепь состоит из элементов, свойства которых нам уже известны. Проанализируем работу данной цепи.

Пусть ток в цепи изменяется по закону :

i = im sin t .

Тогда напряжение на активном сопротивлении определяется формулой :

uR = uRm sin t,

так как на этом участке ток и напряжение совпадают по фазе. Напряжение на катушке:

uL = uLm sin ( t + /2 ),

поскольку на катушке индуктивности напряжение опережает ток по фазе на угол равный /2. Построим векторную диаграмму для рассматриваемой цепи. Сначала откладываем вектор тока, затем вектор напряжения на активном сопротивлении, совпадающий по фазе с вектором тока. Вектор напряжения на индуктивном элементе, опережающий вектор тока на угол /2, приставим к концу вектора напряжения на активном сопротивлении.

Векторы UR , UL , U образуют прямоугольный треугольник. Выведем закон Ома для этой цепи. На

основании теоремы Пифагора, для прямоугольного треугольника напряжений имеем :

U = ( UR2 + UL2 )1/2.

Но UR = IR, а UL = IXL, следовательно

U = ( I2R2 + I2XL2 )1/2 =I( R2 + XL2 )1/2,

откуда следует закон Ома для этой цепи

I = U / ( R2 + XL2 )1/2.

Введем обозначение ( R2 + XL2 )1/2 = Z, где Z - полное сопротивление цепи. Тогда закон Ома приймет вид :

I = U / Z.

Так как полное сопротивление цепи Z определяется по теореме Пифагора, то ему соответствует треугольник сопротивлений :

Поскольку при последовательном соединении напряжения на участках прямо пропорциональны сопротивлениям, то треугольник сопротивлений подобен треугольнику напряжений.

Сдвиг фаз между током и напряжением определяется из треугольника сопротивлений :

tg = XL / R , cos = R / Z.

Для последовательной цепи условимся отсчитывать угол от вектора тока. Поскольку вектор полного падения напряжения сдвинут по фазе относительно вектора тока на угол против часовой стрелки, то этот угол имеет положительное значение.

Суммарное мгновенное напряжение в цепи определяется формулой:

u = um sin ( t + ),

Средняя или активная мощность для данной цепи характеризует расход энергии на активном сопротивлении и, следовательно

P = UR I.

Из векторной диаграммы видно, что

UR = U cos .

Тогда

P = UI cos .

Реактивная мощность характеризует интенсивность обмена энергией между катушкой индуктивности и источником электрической энергии:

Q = UL I

Из векторной диаграммы видно, что

UL = U sin .

Тогда

Q = UI sin .

Понятие полной мощности применяется для оценки предельной мощности электрических машин. Полной мощностью переменного тока является мощность, которая поступает от источника к потребителю и определяется по формуле:

S = UI.

Часть этой мощности в потребителе превращается в полезную - активную мощность, вследствие чего имеем механическое движение, тепло, свет и так далее.

Другая часть полной мощности, которая не идет на полезное действие потребителей, а только возбуждает в них магнитные поля.

Соотношение между величинами полной, активной и реактивной мощностей такое же, как и между полным, активным и реактивным напряжениями. Если все стороны треугольника напряжений умножить на силу тока I, то получим новый треугольник - треугольник мощностей, гипотенуза котрого равна полной мощности, горизонтальный катет - активной мощности, а вертикальный катет - реактивной мощности:

Соотношение между этими мощностями можно получить из треугольника:

S = ( P2 + Q2 )1/2.

Измеряется полная мощность в вольт-амперах ( В А). Мгновенная мощность выражается соотношением:

p = ui = um im sin ( t+ ) sin t = um im (sin t cos + sin cos t) sin t = um im (sin2 t cos + sin sin t cos t) = um im [ cos (1 - cos 2 t )/2 +

sin (sin 2 t )/2 ]= (um im /2) [cos - (cos 2 t cos - sin 2 t sin )] = UI cos - UI cos(2 t + ).

Таким образом, мгновенная мощность складывается в этом случае из UI cos - постоянной составляющей, и синусоидальной составляющей двойной частоты. Энергетический процесс в цепи содержащей L и R , складывается из двух рассмотренных энергетических процессов: во-первых, энергия безвозвратно передается из источника в активное сопротивление, где она превращается в другие формы энергии; во-вторых, энергия колеблется между источником и магнитным полем приемника. Чем меньше cos , тем большую роль играют эти бесполезные колебания энергии.

5.Электрическая цепь с активным и емкостным элементами.

Методика изучения R-C цепи аналогична изучению R-L цепи.

Задаемся током i = im sin t. Тогда напряжение на активном сопротивлении :

uR = uRm sin t.

Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на угол /2 :

uC = uCm sin ( t - /2).

Построим векторную диаграмму для этой цепи :

Из векторной диаграммы следует, что

U = ( UR2 + UС2 )1/2.

Но UR = IR, а UС = IXС, следовательно

U = ( I2R2 + I2XС2 )1/2 =I( R2 + XС2 )1/2,

откуда

I = U / ( R2 + XС2 )1/2.

Введем обозначение ( R2 + XС2 )1/2 = Z, где Z - полное сопротивление цепи. Закон Ома для этой цепи :

I = U / Z.

Треугольник сопротивлений для этой цепи имеет вид:

Расположение его сторон соответствует расположению сторон треугольника напряжений на векторной диаграмме. Сдвиг фаз в этом случае отрицателен, так как напряжение отстает по фазе от тока :

tg = - XС / R , cos = R / Z.

В энергетическом отношении эта цепь не отличается от цепи с резистивным и индуктивным элементами

p = ui = UI cos - UI cos (2 t + ).

Средняя мощность определяется постоянной состовляющей мгновенной мощности:

P = UI cos .

Реактивная мощность характеризует интенсивность обмена энергией между конденсатором и источником электрической энергии:

Q = UС I sin .

Так как < 0, то реактивная мощность Q < 0. Физически это означает, что когда емкость отдает энергию, индуктивность ее потребляет, если они находятся в одной цепи.

Треугольник мощности для рассматриваемой цепи имеет вид:

Соотношение между этими мощностями можно получить из треугольника:

S = ( P2 + Q2 )1/2.

6.Электрическая цепь с активным, индуктивным и емкостными элементами.

Электрическая цепь с последовательным соединением активных, индуктивных и емкостных элементов называется последовательным колебательным контуром.

Ток в цепи:

Напряжение на активном сопротивлении :

Напряжение на катушке индуктивности :

i = im sin t.

uR = uRm sin t.

uL = uLm sin ( t + /2 ).

Напряжение на конденсаторе :

uC = uCm sin ( t - /2 ).

Построим векторную диаграмму при условии, что XL < XC, то есть UL=IXL < UC=IXC.

Вектор результирующего напряжения U замыкает многоугольник векторов UR, UL, UC. Вектор (UL + UC) определяет напряжение на индуктивности и емкости. Как видно из диаграммы, это напряжение может быть меньше напряжения на индуктивности и емкости. Это объясняется процессом обмена энергией между индуктивностью и емкостью.

Получим закон Ома для рассматриваемой цепи. Модуль вектора (UL + UC) рассчитывается как разность действующих значений (UL - UC) , из векторной диаграммы следует, что

U = ( UR2 + ( UL - UC )2 )1/2.

Но UR = IR, а UС = IXС и UL = IXL, следовательно

U = I ( R2 + ( XL - XC )2 )1/2 ,

откуда

I = U / ( R2 + XС2 )1/2.

Введем обозначение ( R2 + ( XL - XС )2 )1/2 = Z, где Z - полное сопротивление цепи. Закон Ома для этой цепи :

I = U / Z.

Разность между индуктивным и емкостным сопротивлением (XL - XС) называют реактивным сопротивлением цепи.

Треугольник сопротивлений для этой цепи имеет вид:

При XL > XС реактивное сопротивление положительно и сопротивление носит активно-индуктивный характер. При XL < XС реактивное сопротивление отрицательно и сопротивление цепи носит активноемкостной характер. Знак сдвига фаз между током и напряжением получим автоматически, так как реактивное сопротивление - величина алгебраическая :

tg = X / R .

Таким образом, при XL XС преобладает или индуктивное или емкостное сопротивление, то есть с энергетической точки зрения цепь с R, L и C сводится к цепи с R, L или R, C.

Мгновенная мощность :

p = ui = UI cos - UI cos (2 t + ).

Знак определяется из tg = X / R. Активная, реактивная и полная мощность такой цепи определяется равенствами :

P = UI cos , Q = U I sin , S = UI = ( P2 + Q2 )1/2.

Треугольник мощности для этой цепи имеет вид:

Коэффициент мощности.

На современных промышленных предприятиях большинство потребителей электрической энергии переменного тока представляют собой активно-индуктивную нагрузкув виде асинхронных электродвигателей, силовых трансформаторов, сварочных трансформаторов, преобразователей и так далее. В такой нагрузке в результате протекания переменного тока индуктируются э.д.с. самоиндукции, обуславливающие сдвиг по фазе между током и напряжением. Этот сдвиг по фазе обычно увеличивается, а cos уменьшается при малой нагрузке. Например, если cos двигателей переменного тока при полной нагрузке составляет 0,75 - 0,8, то при малой нагрузке он уменьшается до

0,2 - 0,4.

Если мощность потребляемая всеми приемниками в данных цепях, является вполне определенной, то при неизменном напряжении на зажимах приемника их ток:

I= P / (U cos )

Суменьшением cos ток нагрузки электростанций и подстанций будет увеличиваться при одной и той же отдаваемой мощности.

Вместе с тем электрические генераторы, трансформаторы и линии электропередач расчитываются на

определенное напряжение и ток. Увеличение тока потребителя при снижении cos не должно превышать определенных пределов, так как питающие их генераторы расчитываются на определенную номинальную мощность Sном = Uном Iном, вследствие чего они не должны оказаться перегруженными. Для того чтобы ток генератора не превышал номинального значения при снижении cos потребителя, необходимо снижать его активную мощность. Таким образом, понижение cos потребителей вызывает неполное использование мощности синхронных генераторов, трансформаторов и линий электропередач. Они бесполезно загружаются засчет индуктивного реактивного тока

cos , характеризующий использование установленной мощности, часто называют коэффициентом мощности.

Коэффициентом мощности называют отношение активной мощности к полной : cos = P/S

Коэффициент мощности показывает, какая часть электрической энергии необратимо преобразуется в другие виды энергии и, в частности, используется на выполнение полезной работы. Нормальным считается cos 0,85 - 0,9. При низком коэффициенте мощности на предприятия, потребляющие электроэнергию, накладывается штраф, при высоком - предприятия премируются.

Для улучшения коэффициента мощности проводится ряд мероприятий:

1.заменяются двигатели переменного тока, нагруженные относительно мало, двигателями меньшей мощности; 2.включаются параллельно приемникам конденсаторы.

ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ПРИЕМНИКОВ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из двух приемников, подключенных параллельно к зажимам источника синусоидального напряжения

u = um sin t.

В первом приемнике последовательно соединены элементы R1 и L, во втором соответственно R2 и С. Оба приемника находятся под действием одного общего напряжения.

Электрические цепи такого вида называют параллельными колебательными контурами.

Выражения для мгновенных значений токов в первой и второй ветвях рассматриваемой цепи имеют соответственно индуктивный и емкостной характер:

i1 = i1m sin ( t- 1); i2 = i2m sin ( t + 2);

Действующее значение тока и угол сдвига фаз между током и напряжением определяется из следующих выражений:

для первой ветви

I1 = U / ( R12 + XL2 )1/2 ; cos 1 = R1 / (R12 + XL2 )1/2;

для второй ветви

I2 = U / ( R22 + XC2 )1/2 ; cos 2 = R2 / (R22 + XC2 )1/2;

Зная токи в ветвях, нельзя определить значение тока в неразветвленной части цепи простым сложением токов i1 и i2 , так как при этом необходимо учитывать их фазовые углы 1 и 2. Поэтому ток в неразветвленной части цепи определяют как геометрическую сумму токов в ветвях. Построим соответствующую векторную диаграмму. При построении векторной диаграммы токов принято за начальный вектор принять вектор напряжения. Векторы токов в ветвях направлены с учетом их сдвига по фазе по отношению к вектору напряжения. Векторная диаграмма имеет вид:

Из этой векторной диаграммы определяют величину тока в неразветвленной части цепи и угол сдвига фаз между током и напряжением в неразветвленной части цепи.

Метод векторных диаграмм, как всякий графический метод, не дает возможности получить высокую точность. Эти же величины можно определить и аналитически. Для этого вводят понятия активной и реактивной составляющих тока для ветви при последовательном соединении активных и реактивных элементов. Активная составляющая тока совпадает по фазе с приложенным напряжением. Реактивная составляющая тока сдвинута относительно приложенного напряжения на на угол /2:

Активная состовляющая тока в неразветвленной части цепи равна сумме активных состовляющих токов в каждой ветви :

Ia = I1a + I2а.

Где I1a = I1cos 1, I2a = I2cos 2.

Реактивная составляющая тока в пер вой ветви отстает по фазе от напряжения на /2 , а реактивная составляющая тока второй ветви

опережает напряжение на /2. Таким образом, реактивная составляющая тока в неразветвленной части цепи равна разности реактивных токов в первой и второй ветвях, то есть

Iр = I1р - I2р.

Где I1р = I1sin 1, I2a = I2sin 2.

Выражение полного тока в неразветвленной части цепи имеет вид

I = ( Ia2 + Iр2 )1/2.

Угол сдвига фаз, как следует из векторной диаграммы, определяется соотношением :

tg = Iр / Ia

В общем случае, когда параллельно соединяют n электроприемников :

N N N

Ia IRn ,Ip ILn ICn .

n 1

n 1

n 1

РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЦЕПЯХ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА.

В электротехнике под резонансным режимом работы цепей переменного тока понимают режим, при котором сопротивление цепи является чисто активным. По отношению к источнику питания элементы цепи ведут себя в резонансном режиме как активное сопротивление, поэтому ток и напряжение в неразветвленной части цепи совпадают по фазе.

Реактивная мощность цепи при этом равна нулю.

Возможны два основных случая резонанса: при последовательном соединении реактивных элементов контура с источником возможен резонанс напряжений, а при параллельном соединении - резонанс токов.

Резонанс напряжений. Резонансом напряжений называют явление в цепи с последовательным соединением элементов, когда ток в цепи совпадает по фазе с напряжением источника.

Найдем условия резонанса напряжений. Для того чтобы ток в цепи совпадал по фазе с напряжением, реактивное сопротивление должно равняться нулю, так как

tg = X / R = ( XL - XC ) / R.

Таким образом, условием резонанса напряжений является равенство реактивного сопротивления цепи нулю, или

XL = XC.

Но XL = L, а XC = 1 / С, где - частота источника питания. В результате можно записать :

L = 1 / С.

Решая это урвнение относительно находим :

= 1 / (LC)1/2 = 0.

При резонансе напряжений частота источника равна собственной частоте колебаний контура. Резонансу напряжений соответствует векторная диаграмма :

На основании этой диаграммы и закона Ома для этой цепи сформулируем признаки резонанса напряжений.

1.Полное сопротивление цепи минимально и чисто активное.

2.Ток в цепи совпадает по фазе с напряжением источника и достигает максимального значения. 3.Напряжение на катушке индуктивности равно напряжению на конденсаторе и каждое в отдельности может во много раз превышать напряжение на зажимах всей цепи ( в 10 раз ). Поэтому резонанс при последовательном соединении элементов называют резонансом напряжений.

Режим резонанса напряжений может быть получен изменением частоты напряжения источника при неизменных параметрах элементов колебательного контура или изменением параметров элементов колебательного контура.

В электроэнергетических устройствах в большинстве случаев резонанс напряжений - явление нежелательное, связанное с неожиданным возникновением перенапряжений, то есть напряжений в несколько раз превышающих рабочее напряжение установки, причем плавкие предохранители не защищают от возникновения этих перенапряжений.

Резонанс токов. В электрической цепи при параллельном соединении двух ветвей, когда в одной ветви включены элементы R1 и L, а в другой R2 и C, может устанавливаться режим резонанса токов, при котором ток в неразветвленной части цепи будет совпадать по фазе с напряжением.

Резонансная частота определяется выражением:

0 = ( 1 / LC )1/2((L/C - R12)/(L/C - R22))1/2.

Отсюда следует, что состояние резонанса токов в цепи можно получить изменением частоты источника или изменением параметров цепи L, C, R1, R2. Векторная диаграмма соответствующая резонансу токов имеет вид :

При резонансе токов реактивный ток замыкается в кольце, образуемом индуктивностью и емкостью, а провода, соединяющие колебательный контур с источником энергии, и самый источник полностью разгружается от реактивного тока.

В режиме резонанса токов рассматриваемая цепь ведет себя по отношению к источнику питания так, как будто она состоит только из элементов с активной проводимостью. В действительности же в параллельных ветвях с реактивными элементами могут протекать токи, даже превышающие полный ток, протекающий в источнике питания. Но эти токи всегда противоположны по фазе друг другу. Это означает, что через каждую четверть периода происходит обмен энергиями между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, который поддерживается напряжением источника питания.

При резонансе токов токи в ветвях могут превосходить ток в неразветвленной части цепи не только при резонансе, но и с приближением к нему. Поэтому резонанс при параллельном соединении элементов называют резонансом токов.

Резонанс токов в отличие от резонанса напряжений - явление, безопасное для электрических установок. Большие токи в ветвях при резонансе токов возникают лишь в том случае, если созданы большие реактивные проводимости ветвей - установлены большие батареи конденсаторов, мощные реактивные катушки.