конспект лекций по геодезии

Для определения постоянного числа планиметра Q обводим площадь какой-

либо фигуры с полюсом вне фигуры и получаем первую разность отсчетов n2 -

n1 . Потом устанавливаем полюс внутри той же фигуры и после обвода получаем вторую разность отсчетов n2I -n1I .Вычитая из первой разности вторую получаем q в делениях планиметра q = (n1 – n2) - (n1I – n2I), а значение Q определяем по формуле Q = сq.

4.7. Решение задач на топографических картах и планах.

При разработке проектов планировки и застройки населенных пунктов на картах и планах могут решаться следующие задачи:

определение географических координат точек;

определение прямоугольных координат точек;

определение длин линий;

определение ориентирных углов;

определение высот точек;

определение крутизны скатов;

построение профиля местности по заданному направлению;

проектирование по карте горизонтальных и наклонных площадок.

4.7.1. Определение географических координат.

Для определения географических координат из определяемых точек опускают перпендикуляры на ближайшие рамки карты. Используя географические координаты углов рамки (широты и долготы) определяют величины ∆φ и ∆λ. Тогда φВ=φ0+∆φ, λВ=λ0+∆λ, где φ0 , λ0 - координаты юго-

западного угла рамки карты, а ∆φ , ∆λ- приращения координат до оснований перпендикуляров определенные до 1 секунды.

4.7.2. Определение прямоугольных координат.

Для определения прямоугольных координат из определяемых точек

31

опускают перпендикуляры на стороны квадрата километровой сетки, в которой расположена точка. Выходы километровой сетки в км подписаны на рамке карты.

Приняв за начало отсчета координат юго-западный угол квадрата километровой сетки (в котором расположена точка), с помощью поперечного масштаба определяют приращение координат, тогда ХВ = Х0 + ∆Х, УВ = У0 + ∆У.

4.7.3. Измерение расстояний.

Горизонтальные проложения линий (длину) между определяемыми точками измеряют с помощью поперечного масштаба, который должен быть расписан применительно к масштабу карты. Например, масштаб 1:25000, в 1 см –

250 м, основание поперечного масштаба 2 см – 500 м, одно деление отсчетной шкалы по горизонтали – 50 м, по вертикальной 5 м. Следовательно, измерение линий осуществляется кратным 5 м.

4.7.4. Определение ориентирных углов.

Для измерения дирекционного угла линии, через начальную точку проводят прямую параллельную оси Х. Угол измеряется транспортиром по ходу часовой стрелки от оси Х до данной линии (ноль транспортира совмещается с положительным направлением оси Х).

Для измерения географического азимута, через начальную точку линии проводят прямую, параллельную западной или восточной рамке, ноль транспортира направлен на север, угол измеряется по ходу часовой стрелки до данной линии. Контроль А – α = γГр, γГр – γКарты ≤ ± 10.

4.7.5. Определение высот точек.

Для нахождения высот точек,

проводят кратчайшую линию через определяемую точку до пересечения с горизонталями (Рис. 4.11.). Измеряют d, dВ в мм, зная сечение рельефа ∆h

32

Рис.4.11. Определение отметок точек	вычисляют превышение h = ∆h dВ/d; и НВ
	= Нr + h; например, d = 8 мм, dВ = 3 мм, ∆h
	= 5 м, h = 5*3/8 = 1,88 м; НВ = 160,00 +
	1,88 = 161,88 м.

4.7.6. Определение крутизны ската

Крутизна ската может быть выражена в угловой мере или в единицах уклона (в промилле).

Для определения крутизны ската используют график заложений. Измерив,

заложение рельефа между определенными точками прикладывают этот отрезок параллельно вертикальным линиям графика до пересечения с кривой, а по горизонтальной шкале берут отсчет в градусах или единицах уклона.

4.7.7. Построение профиля местности.

Для построения профиля местности по заданному направлению прикладывают полоску миллиметровой бумаги, на которой отмечают пересекающие линию горизонтали. Затем эту полоску переносят на горизонтальную линию (шкалу d). В графе расстояний заносят данные в м между смежными точками профиля, в графе высот записывают отметки начальной и конечной точек линий и горизонталей. В масштабе в 10 раз крупнее масштаба данной карты перпендикулярно шкале расстояний восстанавливают высоты всех точек, которые соединяют ломаной линией.

4.7.8. Проектирование на карте горизонтальных и наклонных площадок.

При организации поверхности, удобной для застройки или благоустройства

возникает необходимость проектирования горизонтальных и наклонных площадок. Для этого на карте или плане строят сетку квадратов или прямоугольников, отметки вершин которых определяют по карте (плану).

Отметка горизонтальной площадке с нулевым балансом земляных работ вычисляется по формуле:

Пр	= (∑Н1i + 2∑H2j + 4∑H4k)/ 4n, где
Н0

∑Н1i – сумма отметок вершин, связанных с одним квадратом ( угловых);

33

∑H2j – сумма отметок вершин, связанных с двумя квадратами; ∑H4k – сумма отметок вершин, связанных с четырьмя квадратами; n – количество квадратов.

Рабочие отметки вычисляют по формуле: ri = Н0Пр – Нi;

Составляют картограмму земляных работ и вычисляют объемы.

При проектировании наклонной площадки, задают продольный ix и

поперечный iy уклоны, относительно отметки точки Н0Пр , принятой за исходную.

Тогда проектные отметки остальных вершин вычисляются по формуле: НіП=Н0Пр

+ixdx+ iydy. Остальные вычисления выполняют аналогично горизонтальной

площадке. Значение общего уклона вычисляют по формулеiобщ ix2 i2y , а его

направление по формуле tgα = iy / ix.

РАЗДЕЛ 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОШИБОК

5.1. Классификация погрешностей измерений

Все измерения сопровождаются погрешностями. Различают грубые,

систематические и случайные погрешности.

Грубые погрешности, к которым относятся просчеты, при повторных измерениях обнаруживаются и их из результатов измерений исключают.

Систематические погрешности действуют на результаты измерения по определенному закону, изменяя результат на одну и ту же величину. Для того чтобы выявить, а затем исключить или учесть систематическую погрешность необходимо сделать исследование и юстировку инструментов.

Случайные погрешности неизбежны в процессе измерений и не могут быть исключены из результатов измерений.

Изучение свойств этих ошибок позволяет разработать методы для оценки точности результатов измерений и определить вероятнейшие значения измеренных величин.

Решением этих вопросов занимается теория ошибок геодезических

34

измерений, в основу которой положены основные свойства случайных ошибок.

35

5.2.Свойства случайных погрешностей

1.Для данных условий измерений погрешности не могут превышать по абсолютной величине известного предела.

2.Малые по абсолютной величине погрешности встречаются чаще, чем большие.

3.Одинаковые по абсолютной величине и разные по знакам погрешности возможны одинаково.

4.Среднее арифметическое из случайных погрешностей измерений величины стремиться к нулю при неограниченном числе измерений.

Последнее свойство вытекает из предыдущих. Действительно, взяв ряд измерений l1, l2, , , , ln одной и той же величины Х получим случайные погрешности ∆1, ∆2, , , , , , ∆n, где l1 – Х = ∆1,

l2 – Х = ∆2,

…………..

…………..

ln – Х = ∆n.

Положительные ошибки в сумме компенсируются отрицательными,

вследствие чего среднее арифметическое из случайных погрешностей будет стремиться к нулю

lim (∆1 + ∆2 + … + ∆n)n = lim ([∆1]/n)=0
n → ∞	n → ∞
Примечание: в обозначении Гаусса ∑∆ = [∆]

5.3. Принцип арифметической средины.

Среднее арифметическое или арифметическая средина равноточных измерений одной и той же величины стремится к истинному значению при неограниченном возрастании числа измерений.

Пусть l1; l2; … ln - результаты равноточных измерений, истинное значение которых Х. Тогда истинные погрешности получаем как разности:

36

l1 – Х = ∆1,

l2 – Х = ∆2,

…………..

…………..

ln – Х = ∆n. [l] – nХ = [∆],

где Х= [l]/n - [∆]/n;

На основании четвертого свойства случайных погрешностей при увеличении числа измерений [∆]/n стремиться к нулю.

Таким образом, среднее арифметическое Х0= [l]/n стремиться к истинному значению измеряемой величины Х.

5.4. Средняя квадратическая погрешность. Предельная и относительная

погрешность.

Среднее арифметическое из случайных погрешностей не может объективно характеризовать точность измерений, так как на его величину оказывают влияние знаки случайных ошибок (происходит компенсация) и кроме того она не отражает влияние отдельных больших по абсолютной величине ошибок. Поэтому для оценки точности ряда равноточных измерений l1; l2; … ln одной и той же величины Х, сопровождающейся случайными погрешностями ∆1, ∆2, , , , , , ∆n,

пользуется средней квадратичной ошибкой m, равной:

m		21 22 2n			2
					n
		n

Пример: дан ряд случайных ошибок измерений некоторой величины: +4, - 2, 0, -4, +3.

	m		16 4 0 14 9		3
			5

Предельной погрешностью называют такое наибольшее по абсолютной величине значение случайной ошибки, которой она может достигнуть при данных условиях измерений. Установлено, что случайная ошибка может достигать

37

удвоенной средней квадратической ошибки в пяти случаях из ста, утроенной – в

трех из тысячи. Поэтому за предельную ∆пр. принимают утроенную среднюю квадратическую ошибку ∆пр. = 3m.

Относительной ошибкой называют отношение абсолютной ошибки к измеренной величине. Она выражается простой дробью, числитель которой равен

единице. Обычно относительной ошибкой характеризуют линейные измерения.

Например, измерена линия длиной l=221,16 с абсолютной ошибкой ∆=0,11

м.

		0,11м		1		1
		221,16		2010		2000
l

5.5. Средняя квадратическая погрешность арифметической средины.

Арифметическая средина является наиболее надежным результатом из многократных измерений. Ее точность характеризуется ошибкой, величина которой должна быть меньше заданной величины, чем количество измерений.

Средняя квадратическая погрешность арифметической средины определяется по формуле

М

m

n

5.6.Оценка точности по вероятнейшей погрешности.

В большинстве случаев истинное значение измеряемой величины не известно, поэтому для вычисления средней квадратической ошибки используют отклонения результатов измерений от их среднего арифметического. Эти отклонения называют вероятнейшими погрешностями.

Для вычисления средней квадратической погрешности по вероятнейшим вычисляют разности между каждым результатом измерения и арифметической срединой Х0, эти разности возводят в квадрат и получают среднюю квадратическую погрешность по формуле Бесселя

38

m V 2 , где n - число измерений n 1

l1 – Х0 = V1…V12 l2 – Х0 =V2…V2 2

…………..

…………..

ln – Хn =Vn…Vn 2

[l] – nХ0 = [V], Суммарное уравнение,

Откуда [l] /n -Х0 = [V] /n т.к. [l] /n = Х0, то [V] /n = 0;

Но n ≠ 0, следовательно [V] = 0.

Среднюю квадратическую погрешность арифметической средины по вероятнейшим ошибкам определяют по формуле

М	m			,	M		V 2
							n n 1
		n

Среднюю квадратичную ошибку результата по разностям двойных измерений вычисляют по формуле:

m	d2	, где n – число двойных измерений.
	2n

5.7. Неравноточные измерения.

Измерения могут быть равноточные и неравноточные. Неравноточными называются измерения одной и той же величины, которые выполняют разными приборами или исполнителями. По разным технологиям или в различных условиях. Неравноточные измерения имеют разный вес, тогда как равноточные измерения имеют одинаковый вес, т.е.степень доверия к результату.

Весом Р называют отношение целого числа С к квадрату средней квадратической погрешности

Р = С/m2..

Из полученных неравноточных измерений, зная их вес, получают общую арифметическую средину или весовое среднее L0 по формуле

39

L l1P1 l2P2 lnPn lP ,
0	P1	P2	Pn	P

где l1, l2 , … l n являются средними арифметическими из рядов равноточных

измерений.

Пример 1. Линия измерена два раза и получили первый раз среднее арифметическое l1 = 212,45 с весом Р = 2.

Вторично эту же линию измеряли четыре раза и нашли среднее арифметическое l2 = 212,38 с весом Р = 4, тогда

L0		212,45x2	212,38x4	212,40	с весом Р = 6.
			4
	2

РАЗДЕЛ 6. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ.

6.1.Принцип измерения горизонтального угла.

Угловые измерения необходимы при развитии триангуляционных сетей,

проложении полигонометрических, теодолитных ходов, выполнении топографических съемок и решении геодезических задач при разбивке сооружений.

Принцип измерения горизонтального угла теодолитом можно понять из рисунка 6.1. Пусть имеются три точки ОАВ,

расположенные на местности на разных высотах. Требуется измерить горизонтальный угол при вершине О между направлениями ОА и ОВ.

Как видно из рисунка этот угол определяется проекцией оав угла

ОАВ на горизонтальную плоскость

Рис.6.1. Схема измерения углов на местности

Q.

40