Спецкурс численные методы.

91

Z(i) Z(i 1) K0 1((K0 K(Z(i 1) ))Z(i 1) P)

Z(i 1) Z(i 1) K0 1( K(Z(i 1) )Z(i 1) P)

K 1	(P(i 1) P).	(7.28)
0	fict

Таким образом, итерационный процесс модифицированного метода Ньютона принял форму метода фиктивных нагрузок Ильюшина

Z(i) K01(Pfict(i 1)

P),

(7.28`)

где K(Z)Z Pfict - фиктивная нагрузка по Ильюшину.

Иногда этот метод называют методом упругих решений, но в настоящее время чаще это название употребляют для обоих описанных выше методов.

Применяемые иногда методы начальных напряжений и начальных деформаций

также приводятся к виду метода фиктивных нагрузок.

3. Шагово-итерационные методы. Итерационный метод может применяться в случае, если порождаемый им итерационный процесс в условиях решаемой задачи сходится. В общем случае одним из необходимых условий, обеспечивающих сходимость, является принадлежность начального приближения области сходимости неподвижной точки оператора задачи (то-есть, решения данной нелинейной задачи). Кроме того, при выполнении практических расчётов важно, чтобы итерационный процесс сходился достаточно быстро. В то же время, чем выше нагрузка и, следовательно, чем выше уровень напряжений и деформаций, тем сильнее отклоняются упомянутые выше нелинейные зависимости от линейных и тем меньшей и труднее оцениваемой оказывается область сходимости и тем медленнее сходится вычислительный процесс. Для ускорения этого процесса нужно начальное приближение располагать как можно ближе к искомому (неизвестному заранее!) решению. Этого можно достигнуть, если в качестве начального приближения при данном уровне нагрузки использовать пусть приближённое, но достаточно точное решение, которое можно получить при несколько меньшей нагрузке. Можно построить процесс постепенного пошагового увеличения нагрузки, начиная со столь малой нагрузки, что начальным приближением для неё могло бы служить решение, полученное в предположении линейноупругой работы материала. При этом окончательное (на последней итерации) решение, полученное на предыдущем шаге нагрузки, принимается в качестве начального приближения для последующего шага нагрузки. Такие методы линеаризации называются в строительной механике шагово-итерационными и в математике - методами продолжения по параметру (в данном случае - по параметру нагрузки) с итерационным уточнением на каждом шаге.

Шагово-итерационные методы, использующие на каждом шаге процессы (7.23) и (7.28`), выглядят следующим образом

K(Z(j, i 1) )Z(j, i) P(j) ;			(7.29)
Z( j, i) K 1	(P( j, i 1)	P( j) ).	(7.30)
0	fict

92

Здесь j - номер шага по нагрузке; (j, i) - индекс i- ой итерации j - го шага по нагрузке. Как указано выше, в качестве начального приближения j - го шага принимается последняя итерация предыдущего j 1- го шага, на которой условие прекращения итераций было выполнено

Z(j, 0) Z( j 1, im ) ,

(7.31)

где im - номер итерации, на которой выполнилось условие выхода из итерационного цикла при выполнении j 1- го шага.

При выполнении расчётов реальных объектов обычно используются шаговоитерационные методы.

4. Инкрементальные методы. Идея постепенного наращивания нагрузки используется и в инкрементальных методах, однако, их главное отличие заключается в том, что на каждом шаге определяется приращение решения при заданном приращении нагрузки, а соответствующие коэффициенты разрешающей системы уравнений отвечают этой новой

постановке задачи. Обозначим матрицу этих коэффициентов K ( j) , где j- номер шага, на

котором началось заданное приращение нагрузки. Эта матрица зависит от неизвестных, определённых на предыдущем шаге, и их приращений. Так как эти приращения неизвестны (их только надлежит определить), зависимостью коэффициентов от них обычно пренебрегают, по крайней мере, для определения начального приближения на данном шаге. Разрешающая система уравнений в этом случае принимает вид

K ( j 1) Z( j) P( j) .

(7.32)

Простейшим путём построения новой матрицы коэффициентов является использование для вычисления приращений соотношения для дифференциала векторфункции, заданной уравнением (7.20)

		K( j 1)				dZ dP ,	(7.33)
		Z
	K( j 1)
где			- по-прежнему якобиан матрицы жёсткости K(Z).
	Z
	Ограничиваясь линейной частью приращения (при условии, что приращения нагрузки
и неизвестных достаточно малы, а связь между ними непрерывна), запишем
		K( j 1)				Z( j) P( j) ,	(7.34)
		Z
где	Z( j) ,			P( j) - приращения векторов неизвестных и нагрузок, которые начались при

Z Z( j 1) . Таким образом, сравнение (7.32) и (7.34) приводит к выражению для матрицы коэффициентов

			93
K ( j 1)	K( j 1)	.	(7.35)
	Z

Для реальных сложных систем построение дифференцируемых матриц коэффициентов практически невозможно, поэтому записывают в приращениях исходные зависимости «напряжения – деформации» и «перемещения – деформации», а затем осуществляют процедуру МКЭ. При таком дифференцировании определяются производные механических и геометрических параметров, которые после этого называют иногда

касательными модулями. Сама матрица K ( j 1) называется касательной МЖ.

На каждом шаге по нагрузке возможно итерационное уточнение решения. Оно выполняется следующим образом. Решение уравнения (7.34) с матрицей жёсткости (7.35) принимается в качестве нулевого приближения данного шага. Получив на первой итерации

приближённое решение	Z(j,1) и первое приближение для полного вектора неизвестных
Z( j 1,1)) Z( j) Z( j,1) ,	определяем секущие модули для физических зависимостей и

формируем вместо касательной матрицы жёсткости новую, уже секущую, матрицу, которую и используем для второй итерации. Все последующие итерации данного шага выполняются аналогично, с уточнением секущей МЖ.

7.3. Критерии усвоения

После изучения содержания данной темы Вы должны:

знать

содержание понятий: ограниченный носитель, финитная функция, конечный элемент, узел КЭ и узел системы, сетка КЭ и сетка узлов, конечноэлементная расчётная схема системы, координатные функции МКЭ, матрица жёсткости КЭ, матрица жёсткости системы, ансамблирование, методы переменных параметров упругости, фиктивных нагрузок, шагово-итерационные;

укрупнённые алгоритмы методов конечных элементов, переменных пераметров упругости, фиктивных нагрузок, шагово-итерационных;

каким условиям должна отвечать система координатных функций МКЭ;

каковы требования к сеткам узлов и конечных элементов;

понимать

идею МКЭ;

смысл требований к сеткам узлов и КЭ;

смысл требований к координатным системам МКЭ;

почему МЖ элемента и системы вычисляются так, как это предлагается в данной лекции;

идею методов переменных пераметров упругости, фиктивных нагрузок, шаговоитерационных;

уметь

разбивать сетки узлов и КЭ;

94

формировать координатные системы для простейших КЭ;

определять МЖ для простейших КЭ и их систем;

7.4. Выход темы в другие темы и дисциплины

Данная тема имеет выход в спецкурсы по сопротивлению материалов, строительной механике, строительным конструкциям и механике грунтов, а также в дипломные, магистерские и диссертационные работы.

7.5.Тест - контроль для самопроверки

7.1.Что называется носителем функции?

А. Носителем функции называется достаточно малая подобласть области, на которой задана задача, если:

1) имеется группа координатных функций, для которых она является носителем; 2.) на её границе имеются точки, задание краевых условий (возможно – только

главных) в которых однозначно определяет на ней искомую функцию.

Б. Носителем функции называется замыкание области, за пределами которой выполняется условие f (x) 0.

В. Носителем функции называется:

а) для одномерного элемента – один из его концов; б) для двумерного элемента – одна из точек излома его границы;

в) для трёхмерного элемента – одна из точек излома рёбер (в узле могут встречаться более двух участков рёбер, например, в вершине тетраэдра встречаются три ребра.

Г. Носителями функции называются такие функции i (x) в линейной

аппроксимации (6.4), (7.1), которые обладают следующими специфическими для МКЭ свойствами:

1)они связаны с одним конкретным узловым параметром одного конкретного узла одного конкретного КЭ данной сетки КЭ;

2)они являются финитными функциями;

3)их носитель – область, занятая данным конкретным КЭ;

4)они равны единице на данном узле, с которым они связаны, и нулю – на остальных узлах донного КЭ;

5)они удовлетворяют специальным требованиям, обеспечивающим совместность КЭ и сходимость конечно-элементных аппроксимаций к точному решению при сгущении сетки.

Кроме того, они удовлетворяют общим требованиям, предъявляемым в прямых

методах к координатным функциям.

7.2. Что называется финитными функциями?

А. Финитными функциями называются такие функции i (x) в линейной

аппроксимации (6.4), (7.1), которые обладают следующими специфическими для МКЭ свойствами:

-они связаны с одним конкретным узловым параметром одного конкретного узла одного конкретного КЭ данной сетки КЭ;

-их носитель – область, занятая данным конкретным КЭ;

95

-они равны единице на данном узле, с которым они связаны, и нулю – на остальных узлах донного КЭ;

-они удовлетворяют специальным требованиям, обеспечивающим совместность КЭ и сходимость конечно-элементных аппроксимаций к точному решению при сгущении сетки.

Б. Финитными функциями называются коэффициенты линейной аппроксимации свободного члена дифференциального уравнения задачи

В. Финитными функциями называются координатные функции k 1n ( k 1 ),

удовлетворяющие определённым требованиям, обеспечивающим сходимость последовательности приближённых решений и повышающих устойчивость процесса счёта.

Г. Финитными функциями называются кусочно-непрерывные функции с ограниченным носителем.

7.3. Что называется конечным элементом?

А. Конечным элементом называется достаточно малая подобласть области, на которой задана задача, если:

1) имеется группа координатных функций, для которых она является носителем; 2.) на её границе имеются точки, задание краевых условий (возможно – только

главных) в которых однозначно определяет на ней искомую функцию.

Б. Конечным элементом называется замыкание области, за пределами которой выполняется условие f (x) 0.

В. Конечным элементом называется а) для одномерной области – один из её концов;

б) для двумерной области – одна из точек излома её границы; в) для трёхмерной области – одна из точек излома рёбер её границы.

Г. Конечным элементом называется точка области, в которой совмещены два или более узлов сопрягаемых конечных элементов, а также точка на границе области, где расположен хотя бы один узел КЭ.

7.4.Что называется узлом конечного элемента?

А. Узлом конечного элемента называется точка области, в которой сопрягаются два или более конечных элементов, а также точка на границе области, общая хотя бы с одним КЭ.

Б . Узлом конечного элемента называется замыкание области, за пределами которой выполняется условие f (x) 0.

В. Узлом конечного элемента называется:

а) для одномерного элемента – один из его концов; б) для двумерного элемента – одна из точек излома его границы;

в) для трёхмерного элемента – одна из точек излома рёбер (в узле могут встречаться более двух участков рёбер, например, в вершине тетраэдра встречаются три ребра.

Г. Узлом конечного элемента называется матрица K(e) kij(e) , элементы которой определяются по формуле

kij(e) L j (x) i (x) d(x)

Be

96

или её аналогу, полученному путём понижения порядка дифференциального оператора.

7.5. Что называется координатными функциями МКЭ?

А.	Заранее выбранные в HA			(для метода Ритца) и в D(A) (для метода Бубнова-
Галёркина)	функции,	при	помощи	линейной		комбинации	которых	записывается
приближённое решение.
Б.	Заранее выбранные в D(A)				(для метода Ритца) и в		HA (для метода Бубнова-
Галёркина)	функции,	при	помощи		линейной	комбинации	которых	записывается

приближённое решение.

В. Разность между левой и правой частями дифференциального уравнения задачи.

Г. Координатными функциями МКЭ называются такие функции i (x) в линейной

аппроксимации (6.4), (7.1), которые обладают следующими специфическими для МКЭ свойствами:

1)они связаны с одним конкретным узловым параметром одного конкретного узла одного конкретного КЭ данной сетки КЭ;

2)они являются финитными функциями;

3)их носитель – область, занятая данным конкретным КЭ;

4)они равны единице на данном узле, с которым они связаны, и нулю – на остальных узлах данного КЭ;

5)они удовлетворяют специальным требованиям, обеспечивающим совместность КЭ и сходимость конечно-элементных аппроксимаций к точному решению при сгущении сетки.

Кроме того, они удовлетворяют общим требованиям, предъявляемым в прямых методах к координатным функциям

7.6.Что называется матрицей жёсткости конечного элемента?

А. Матрицей жёсткости конечного элемента называется матрица K(e) kij(e) ,

элементы которой определяются по формуле

kij(e) L j (x) i (x) d(x)

Be

или её аналогу, полученному путём понижения порядка дифференциального оператора.

В случае задач строительной механики МЖ КЭ связывает вектор узловых обобщённых усилий Qe с вектором узловых обобщённых перемещений Ze формулой

Q(e) K(e)Z(e) .

Б. Матрицей жёсткости конечного элемента называется матрица K коэффициентов разрешающей системы уравнений, вычисляемая по формулам

Km Ke(,gm) , e Em

97

K Km .

Она связывает узловые параметры системы и нагрузку разрешающей системой уравнений.

В. Матрицей жёсткости конечного элемента называется матрица Якоби её узловых параметров, отражающих естественные граничные условия, по узловым параметрам, отражающим главные граничные условия.

Г. Матрицей жёсткости конечного элемента называется матрица значений его координатных функций в его узлах.

7.7. Что называется матрицей жёсткости системы?

А. Матрицей жёсткости системы называется вектор-столбец значений искомой функции в её узлах.

Б. Матрицей жёсткости системы называется вектор-столбец значений свободных

членов .

В. Матрицей жёсткости системы называется матрица, устанавливающая соответствие между номерами узлов и номерами КЭ, которым этот узел инцидентен.

Г. Матрицей жёсткости системы называется матрица K коэффициентов её разрешающей системы уравнений, вычисляемая по формулам

Km Ke(,gm) , e Em

K Km ,

где суммирование осуществляется по множеству КЭ, которым инцидентны узлы mи, а Ke(,gm) - блоки МЖ этих КЭ.

Она связывает главные узловые параметры системы и её естественные узловые параметры (вектор неизвестных со свободным вектором).

7.8. Какой метод прикладной математики реализует метод переменных параметров упругости и в чём он заключается?

А. Метод переменных параметров упругости является реализацией методов дискретного продолжения по параметру нагрузки в сочетании с итерационными методами, уточняющими решение на каждом шаге по нагрузке. Он заключается в том, что в процессе расчёта нагрузка прикладывается достаточно малыми шагами и на каждом шаге выполняется итерационный процесс, в котором в качестве нулевого приближения используется результат расчёта на предыдущем шаге.

Б. Метод переменных параметров упругости - это реализация модифицированного метода Ньютона, ориентированная на решение задач механики деформируемого твёрдого тела и, прежде всего,- строительной механики. Он заключается в пересчёте поправок к МЖ на каждой итерации по секущим модулям, определённым по деформациям предыдущей итерации, и преобразовании их к поправкам к вектору нагрузок, называемым фиктивными нагрузками. На каждой итерации осуществляется определение вектора неизвестных по сумме действительных и фиктивных нагрузок.

98

В. Метод переменных параметров упругости - это реализация метода простых итераций, ориентированная на решение задач механики деформируемого твёрдого тела и, прежде всего,- строительной механики. Он заключается в пересчёте МЖ на каждой итерации по секущим модулям, определённым по деформациям предыдущей итерации.

Г. Метод переменных параметров упругости - это реализация метода продолжения по параметру нагрузки в сочетании с методом секущих. Он заключается в том, что в процессе расчёта нагрузка прикладывается достаточно малыми шагами и на каждом шаге выполняется итерационный процесс метода секущих, в котором в качестве нулевого приближения используется результат расчёта на предыдущем шаге.

7.9.Какой метод прикладной математики реализует метод фиктивных нагрузок и в чём он заключается?

А. Метод фиктивных нагрузок является реализацией методов дискретного продолжения по параметру нагрузки в сочетании с итерационными методами, уточняющими решение на каждом шаге по нагрузке. Он заключается в том, что в процессе расчёта нагрузка прикладывается достаточно малыми шагами и на каждом шаге выполняется итерационный процесс, в котором в качестве нулевого приближения используется результат расчёта на предыдущем шаге.

Б. Метод фиктивных нагрузок - это реализация модифицированного метода Ньютона, ориентированная на решение задач механики деформируемого твёрдого тела и, прежде всего,- строительной механики. Он заключается в пересчёте поправок к МЖ на каждой итерации по секущим модулям, определённым по деформациям предыдущей итерации, и преобразовании их к поправкам к вектору нагрузок, называемым фиктивными нагрузками. На каждой итерации осуществляется определение вектора неизвестных по сумме действительных и фиктивных нагрузок.

В. Метод фиктивных нагрузок - это реализация метода простых итераций, ориентированная на решение задач механики деформируемого твёрдого тела и, прежде всего,- строительной механики. Он заключается в пересчёте МЖ на каждой итерации по секущим модулям, определённым по деформациям предыдущей итерации.

Г. Метод фиктивных нагрузок - это реализация метода продолжения по параметру нагрузки в сочетании с методом секущих. Он заключается в том, что в процессе расчёта нагрузка прикладывается достаточно малыми шагами и на каждом шаге выполняется итерационный процесс метода секущих, в котором в качестве нулевого приближения используется результат расчёта на предыдущем шаге.

7.10.Какие методы прикладной математики реализуют шагово-итерационные методы и в чём они заключаются?

А. Шагово-итерационные методы являются реализацией методов дискретного продолжения по параметру нагрузки в сочетании с итерационными методами, уточняющими решение на каждом шаге по нагрузке. Они заключаются в том, что в процессе расчёта нагрузка прикладывается достаточно малыми шагами и на каждом шаге выполняется итерационный процесс тем или иным итерационным методом, в котором в качестве нулевого приближения используется результат расчёта на предыдущем шаге.

Б. Шагово-итерационные методы - это реализация модифицированного метода Ньютона, ориентированная на решение задач механики деформируемого твёрдого тела и, прежде всего,- строительной механики. Они заключаются в пересчёте поправок к МЖ на каждой итерации по секущим модулям, определённым по деформациям предыдущей итерации, и в использовании их для вычисления поправок к вектору нагрузок, называемых

99

фиктивными нагрузками. На каждой итерации осуществляется определение вектора неизвестных по сумме действительных и фиктивных нагрузок.

В. Шагово-итерационные методы - это реализация метода простых итераций, ориентированная на решение задач механики деформируемого твёрдого тела и, прежде всего,- строительной механики. Они заключаются в пересчёте МЖ на каждой итерации по секущим модулям, определённым по деформациям предыдущей итерации.

Г. Шагово-итерационные методы - это реализация метода продолжения по параметру нагрузки в сочетании с методом секущих. Они заключаются в том, что в процессе расчёта нагрузка прикладывается достаточно малыми шагами и на каждом шаге выполняется итерационный процесс метода секущих, в котором в качестве нулевого приближения используется результат расчёта на предыдущем шаге.

Ответы на тест – контроль.

7.1.«Б» - Б. Носителем функции называется замыкание области, за пределами которой выполняется условие f (x) 0.

7.2.«Г» - Финитными функциями называются кусочно-непрерывные функции с ограниченным носителем.

7.3.«А» - Конечным элементом называется достаточно малая подобласть области, на которой задана задача, если:

1) имеется группа координатных функций, для которых она является носителем; 2.) на её границе имеются точки, задание краевых условий (возможно – только

главных) в которых однозначно определяет на ней искомую функцию.

7.4.«В» - Узлом конечного элемента называется:

а) для одномерного элемента – один из его концов; б) для двумерного элемента – одна из точек излома его границы;

в) для трёхмерного элемента – одна из точек излома рёбер (в узле могут встречаться более двух участков рёбер, например, в вершине тетраэдра встречаются три ребра.

?.5. «Г» - Координатными функциями МКЭ называются такие функции i (x) в

линейной аппроксимации (6.4), (7.1), которые обладают следующими специфическими для МКЭ свойствами:

1)они связаны с одним конкретным узловым параметром одного конкретного узла одного конкретного КЭ данной сетки КЭ;

2)они являются финитными функциями;

3)их носитель – область, занятая данным конкретным КЭ;

4)они равны единице на данном узле, с которым они связаны, и нулю – на остальных узлах донного КЭ;

5)они удовлетворяют специальным требованиям, обеспечивающим совместность КЭ и сходимость конечно-элементных аппроксимаций к точному решению при сгущении сетки.

Кроме того, они удовлетворяют общим требованиям, предъявляемым в прямых методах к координатным функциям.

7.6. «А».- Матрицей жёсткости конечного элемента называется матрица

K(e) kij(e) , элементы которой определяются по формуле

kij(e) L j (x) i (x) d(x)

Be

100

или её аналогу, полученному путём понижения порядка дифференциального оператора.

В случае задач строительной механики МЖ КЭ связывает вектор узловых обобщённых усилий Qe с вектором узловых обобщённых перемещений Ze формулой

Q(e) K(e)Z(e) .

7.7. «Г» -. Матрицей жёсткости системы называется матрица K коэффициентов её разрешающей системы уравнений, вычисляемая по формулам

Km Ke(,gm) , e Em

K Km ,

где суммирование осуществляется по множеству КЭ, которым инцидентны узлы mи, а Ke(,gm) - блоки МЖ этих КЭ.

Она связывает главные узловые параметры системы (вектор неизвестных) и её естественные узловые параметры (свободный вектор).

7.8.«В» - Метод переменных параметров упругости - это реализация метода простых итераций, ориентированная на решение задач механики деформируемого твёрдого тела и, прежде всего,- строительной механики. Он заключается в пересчёте МЖ на каждой итерации по секущим модулям, определённым по деформациям предыдущей итерации.

7.9.«Б» -. Метод фиктивных нагрузок - это реализация модифицированного метода Ньютона, ориентированная на решение задач механики деформируемого твёрдого тела и, прежде всего,- строительной механики. Он заключается в пересчёте поправок к МЖ на каждой итерации по секущим модулям, определённым по деформациям предыдущей итерации, и преобразовании их к поправкам к вектору нагрузок, называемым фиктивными нагрузками. На каждой итерации осуществляется определение вектора неизвестных по сумме действительных и фиктивных нагрузок.

7.10.«А».- Шагово-итерационные методы являются реализацией методов дискретного продолжения по параметру нагрузки в сочетании с итерационными методами, уточняющими решение на каждом шаге по нагрузке. Они заключаются в том, что в процессе расчёта нагрузка прикладывается достаточно малыми шагами и на каждом шаге выполняется итерационный процесс тем или иным итерационным методом, в котором в качестве нулевого приближения используется результат расчёта на предыдущем шаге.