Спецкурс численные методы.

21

В. (x,y) max( xi yi ).

i [1,n]

Г. ( f (x),g(x)) max ( f (x) g(x)).

x [a,b]

2.4. По какой формуле определяется расстояние между векторами при контроле сходимости в среднем?

n

1

А.

x

( xi2 )

.

2

i 1

n

yi )

1

2 )2 .

Б. (x,y) ( (xi

i 1

В. (x,y) max(

xi yi

).

i [1,n]

Г. ( f (x),g(x)) max

f (x) g(x)

.

x [a,b]

2.5. . По какой формуле определяется расстояние между функциями при контроле сходимости в среднем?

	b	1
А. ( f (x),g(x)) { [ f (x) g(x)]2 dx}							,
						2
	a
Б. ( f (x),g(x)) max			f (x) g(x)						.
	x [a,b]
n				1
	yi )2 )2 .
В. (x,y) ( (xi

i 1

b

Г. ( f ,g) f (x)g(x)dx.

a

2.6. . По какой формуле определяется расстояние между функциями при контроле равномерной сходимости?

А. ( f (x),g(x)) max	f (x) g(x)	.
x [a,b]
	1
b

Б. ( f (x),g(x)) { [ f (x) g(x)]2 dx}2

a

В.

f (x)

max

f (x)

.

x [a,b]

xi yi

Г.

(x,y) max

.

i [1,n]

2.7. Что называется полным пространством?

А. Пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность имеет предел.

22

Б. Пространство, в котором задана норма.

В.Пространство, которому принадлежат пределы всех сходящихся последовательностей его элементов.

Г. Пространство, на котором задано скалярное произведение.

2.8. Что называется скалярным произведением элементов пространства?

А. Норма их разности.

Б. Расстояние между ними.

В. Число, правила определения которого обеспечивают выполнение следующих требований:

а) симметрии (коммутативности) (x,y) (y,x);

б) дистрибутивности (x y,z) (x,z) (y,z);

в) однородности ( x,y) (x,y), где - действительное число; г) определённости (x,x) 0,(x,x) 0 x .

Г. Произведение их пределов.

2.9. Что называется банаховым пространством?

А. Полное метрическое пространство.

Б. Полное евклидово пространство.

В. Полное нормированное пространство.

Г. Пространство, на котором задано скалярное произведение. 2.10. Что называется гильбертовым пространством?

А. Полное метрическое пространство.

Б. Полное евклидово пространство.

В. Полное нормированное пространство.

Г. Пространство, на котором задано скалярное произведение.

Ответы на тест-контроль

2.1.«Г» - число, правила определения которого обеспечивают выполнение аксиом расстояния.

2.2.«А» - Множество, на котором введена метрика.

2.3.«В» - (x,y) max(xi yi ).

i [1,n]

n

1

2.4. «Б» - (x,y) ( (xi yi )2 )2 .

i 1

23

		b	1
2.5.	«А» -	( f (x),g(x)) { [ f (x) g(x)]2 dx}				.
					2
		a
2.6.	«А» -	( f (x),g(x)) max		f (x) g(x)				.
		x [a,b]

2.7.«А» - Пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность имеет предел.

2.8.«В» - Число, правила определения которог обеспечивают выполнение

требований:

симметрии (коммутативности) (x,y) (y,x);

дистрибутивности (x y,z) (x,z) (y,z);

однородности ( x,y) (x,y);

определённости (x,x) 0,(x,x) 0 x .

2.9.«В» - Полное нормированное пространство.

2.10.«Б» - Полное евклидово пространство.

.

24

ЧМ-3. ПОНЯТИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЧИСЛЕНЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОБЫКНОВЕННЫХ И ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

2.1. Входная информация для самопроверки

Для изучения данной темы Вам необходимо восстановить в памяти:

-из курса прикладной математики – разложение вектора по ортам; проектирование вектора на плоскость и ось; скалярное произведение векторов в векторной и линейной алгебре; определённый интеграл;

- из настоящего спецкурса - понятия: пространства, оператора, последовательности, функциональной последовательности, предела, сходимости.

2.2. Содержание темы

При разработке численных методов возникает необходимость выразить какой-либо элемент некоторого пространства, искомый или заданный, через некоторые заранее выбранные элементы того же пространства. Для последующего использования эти элементы следует упорядочить, например, пронумеровать. В качестве примера можно привести

разложение вектора на компоненты a axi ay j azk (вектор a выражен через заранее

выбранные элементы, расположенные в определённом порядке – орты i, j, k ). Эти орты

иногда обозначают как нумерованные элементы i1,i2 ,i3 или e1,e2 ,e3 . Другим примером может служить разложение функции в функциональный ряд. В этой связи можно упомянуть:

	степенной ряд f (x) ak xk , где функция f (x) C выражена через заранее выбранные
					k
	элементы		–		функции	xk C ;	тригонометрический	ряд
		a0
	f (x)		(a	k	coskx b sinkx), где	функция	f (x) L2 выражена через	заранее
	2		k 1		k
						sinkx, также принадлежащие L2 . Упорядоченная
	выбранные элементы – функции 1, coskx,

совокупность таких заранее выбранных элементов некоторого пространства называют системой элементов этого пространства.

Систему элементов xi иногда обозначают {xi}.

Такую приближённую замену одного элемента другим называют аппроксимацией. Здесь мы будем рассматривать только один вариант аппроксимации – линейную

аппроксимацию, или аппроксимацию при помощи линейной комбинации заданных элементов линейного пространства (так как такая аппроксимация предусматривает умножение элементов на число и их сложение).

При изменении чисел ai изменяется линейная комбинация. Перебирая всевозможные сочетания этих чисел, мы получим множество линейных комбинаций элементов xi . Так можно прийти к понятию множества всех линейных комбинаций этих элементов (их бесконечно много).

Говорят, что линейная оболочка порождена элементами xi .

Линейная оболочка является также линейным пространством, так как каждая линейная комбинация вместе с порождающими оболочку элементами принадлежит ей.

25

Возможны случаи, когда требуется установить, является ли линейно независимой

бесконечная система элементов.(например, в пространстве L2 ).

Обычно приближённое решение выбирается не из всех элементов пространства, а из некоторого их подмножества. Это подмножество должно быть пространством, одноимённым данному (метрическим, линейным, нормированным, и т.д.). В наиболее важных случаях, когда процесс решения должен порождать последовательности приближённых решений, оно должно содержать в себе пределы всех сходящихся последовательностей своих элементов. Эти подмножества называются подпространствами..

Нулевой элемент линейного пространства и само линейное пространство являются подпространствами этого пространства.

Примеры подпространств. В трёхмерном пространстве элементарной геометрии, рассматриваемом как линейное пространство радиусов-векторов его точек, подпространствами являются трёхмерная область, плоскость, прямая; в метрическом

пространстве,

образованном

функциями

класса

C [a,b]

и

метрикой

( f (x),g(x)) max

f (x) g(x)

,

подпространством является множество

многочленов

x [a,b]

L2

заданной степени; в нормированном пространстве подпространством является класс

(можно доказать, что он является замкнутым множеством).

Все рассматривавшиеся линейные пространства, а также их подпространства

порождаются системами своих элементов.

Так, известное из линейной алгебры пространство

Rn векторов x (x ,x

2

,...,x

n

)

имеет конечную размерность n. Пространство L2

1

бесконечномерно.

Для того, чтобы можно было выразить каждый элемент какого-либо линейного пространства в виде линейной комбинации элементов какой-то системы элементов этого пространства, нужно подчинить выбор этой системы элементов определённым условиям. Система элементов, удовлетворяющая таким условиям, называется базисом этого пространства. У каждого пространства таких базисов может быть бесконечно много. Каждое подпространство пространства, имеющего базис, ведёт себя, как всё пространство, в котором оно содержится, поэтому также имеет базис.

Примеры базисов конечномерных пространств. Базисом трёхмерного пространства элементарной геометрии может быть система его ортов {i, j,k} . Для множества n-мерных

векторов линейной алгебры базисом может служить система единичных векторов {e }n			, где
		i 1
e (0,...,0,1,	0,...,0)	T , то-есть, это вектор, единственный ненулевой элемент которого
i
i 1	n i

(единичный) стоит на i-ом месте.

Любой элемент конечномерного пространства может быть разложен в линейную комбинацию элементов базиса.

Бесконечномерное пространство в общем случае может не иметь базиса. Если он всё же существует, он обязательно бесконечен. Для нас интересен случай, когда он счётен.

Пространство L2 имеет счётный базис (на самом деле – бесконечно много счётных базисов). Определения счётного базиса практически бесполезны для приложений, так как неконструктивны (не дают непосредственно пути построения такого базиса). Ими также трудно воспользоваться для отбраковки систем, не являющихся базисом.

26

В этом смысле базис – полная система элементов любого нормированного

пространства, в том числе – пространств Rn и L2 . Система элементов нормированного пространства полна в этом пространстве, если любой элемент этого пространства может быть представлен в виде линейной комбинации элементов указанной системы либо в виде предела последовательности таких комбинаций.

Пространство, в котором можно указать конечный или счётный базаис, называется

сепарабельным. Для нас важно, что пространство L2 сепарабельно.

Примеры базисов бесконечномерных пространств. Базисом линейного

пространства C [ R,R] бесконечно дифференцируемых на отрезке [ R,R] функций			f (x)
является система {xn}n 0 (здесь	R - наименьший радиус сходимости функций,
принадлежащих данному пространству). Базисом линейного пространства L2[ , ]			(с его
среднеквадратичной метрикой) является, например, система {1,coskx,sinkx}		.
	k 1
В некоторых случаях в L2	могут быть более удобными другие базисы (например,
системы ортогональных полиномов).

Множество конечных линейных комбинаций элементов такого базиса плотно вE.

Это значит, что для любого, сколь угодно малого 0 для								произвольного элемента x E
							~	n
можно указать такую конечную линейную комбинацию xn ai xi , что будет выполняться
		~						i 1
условие						.	Иначе говоря, можно подобрать	такую	конечную линейную
		x xn
комбинацию элементов							этого базиса, которая будет сколь	угодно	близка к указанному

элементу x; в численных методах обычно для этого требуется достаточно большое n.

Если из базиса какого-либо пространства вычеркнуть элемент, мы не сможем аппроксимировать с любой точностью любой элемент этого пространства. Если же к базису дописать ещё один элемент этого пространства, полученная система будет линейно зависимой, и этот элемент не добавит базису никаких новых возможностей (он итак позволял описать любой элемент пространства). В этом смысле базис может быть назван

минимальной системой.

Очень важную роль в прикладной математике играют базисы, которые называют

ортогональными. Примерами ортогональных базисов являются: система ортов i, j, k

трёхмерного пространства, знакомого нам из векторной алгебры и аналитической геометрии; система {1,cos kx, sin kx}k 1, используемая в рядах Фурье. Применение таких базисов в

большом количестве случаев оказывается очень удобным, и прежде всего потому, что каждый коэффициент при орте в разложении по ортам определяется независимо. Система коэффициентов получается единственной и соответствующая линейная комбинация ортов даёт единственный элемент.

Для ортогональной системы это означает, что в E нет элемента, который нельзя было бы разложить в линейную комбинацию её элементов, то-есть, что она полна в E в обычном смысле ( в смысле определения 3.15).

Почти всегда при численном решении краевых задач явно или без специального упоминания используется понятие проекции элемента в подпространство.

27

Говорят, что элемент x x1 ортогонален к подпространству H1 .

Для применения очень мощных прямых численных методов важно понятие

энергетического произведения. Действительно,	при формулировании этих методов требуется
определять скалярное произведение (Au,v),	u,v D(A) H , где		A-		положительно
определённый самосопряжённый оператор. Он действует из		D(A) в H ,				- гильбертово
пространство, D(A)- область определения оператора A.		Оператор,	удовлетворяющий

условию (Au,v) (u,Av) u,v H (обычно также требуют, чтобы он был ограниченным,

то-есть, чтобы существовало такое вещественное 0, что

Au

u

,

u E),

называется самосопряжённым. Положительно определённым он называется в случае, если0 такое, что u E (u ) справедливо соотношение (Au,u) (u,u), 0.

Можно доказать, что энергетическое произведение удовлетворяет определению скалярного произведения, попросту, также является скалярным призведением. Если на множестве D(A) в качестве скалярного произведения ввести энергетическое произведение,

то мы получим новое евклидово пространство, в общем случае не обязательно полное. Для того, чтобы исследовать сходимость последовательностей его элементов, на нём нужно ввести норму. Она вводится по аналогии с обычной нормой.

Энергетическая норма одновременно может служить (и является) обычной нормой и, в частности, может использоваться при определении сходимости последовательностей.

Для построения численных методов необходимо, чтобы пространство, которому принадлежат все получаемые последовательности, было замкнутым (чтобы пределы всех получаемых последовательностей принадлежали тому же пространству). Поэтому принято добавлять: «Полученное евклидово пространство пополняем пределами всех его сходящихся последовательностей», хотя это не всегда легко осуществимо в численно анализе, но часто выполняется автоматически. Полученное замыкание [D(A)] в энергетической норме является гильбертовым пространством и называется энергетическим пространством оператора A.

Введенные определения скалярого произведения произведения, нормы и сходимости используются при построении численных методов решения краевых задач для дифференциальны уравнений строительной механики в обыкновенных и частных производных и анализе условий сходимости последовательности решений при при увеличении длины отрезка координатной системы, используемого для аппроксимации их решения.

Энергетическое пространство оператора A обозначается HA .

Это понятие чрезвычайно важно для численных методов, так как используемые в них системы элементов должны принадлежать энергетическому пространству дифференциального оператора левой части дифференциального уравнения задачи. Кроме того, как мы позже увидим, эти системы должны быть полны в HA и любые их конечные подсистемы дожны быть линейно независимыми.

3.3. Критерии усвоения

После изучения содержания данной темы Вы должны:

28

знать

что такое система элементов;

что такое линейная комбинация элементов данной системы;

что такое линейная оболочка системы элементов;

как определяется линейная независимость элементов системы;

как определяются подпространства в различных пространствах;

что такое размерность пространства;

что такое базис пространства;

какая система называется ортогональной;

какая ортогональная система называется полной;

что такое проекция в подпространство;

что такое энергетическое произведение;

что такое энергетическая норма;

что такое энергетическое пространство;

понимать

смысл понятия «линейная комбинация»;

смысл понятия «линейная оболочка»;

смысл понятия «линейная независимость»;

смысл понятия «подпространство» для различных пространств;

смысл понятия «размерность»;

смысл понятия «базис»;

смысл понятий «ортогональная система», «полная ортогональная система»;

смысл понятий «энергетическое произведение», «энергетическая норма», «энергетическое пространство»;

Уметь

определять, может ли какая-либо система быть базисом заданного пространства;

проверять, является ли заданная система ортогональной.

3.4. Выход темы в другие темы и дисциплины

Данная тема имеет выход в дипломные, магистерские и диссертационные работы.

3.5.Тест - контроль для самопроверки

3.1.Что такое линейная оболочка системы элементов {xk }?

А. Сумма их норм.

n

Б. Сумма расстояний между ними.В. Выражение ak xk , где ak - числа;

k 1

29

Г. Множество всех линейных комбинаций каждых n элементов, где n -любое конечное количество этих элементов.

3.2. Что такое линейная независимость элементов конечной системы {xk }nk 1 ?

А. Невозможность указать такой набор коэффициентов ak , k [1,n], одновременно не равных нулю, чтобы линейная комбинация указанных элементов с этими коэффициентами равнялась нулю.

Б. Их принадлежность к разным пространствам.

В. Возможность указать такой набор коэффициентов ak , k [1,n], одновременно не равных нулю, чтобы линейная комбинация указанных элементов с этими коэффициентами равнялась нулю.

Г. Ортогональность элементов системы.

3.3. Что называется подпространством нормированного пространства? А. Линейная оболочка любой системы элементов этого пространства.

Б. Множество всех линейных комбинаций каждых n элементов, где n -любое конечное количество этих элементов.

В. Всякое его замкнутое линейное подмножество. Г. Множество элементов с одинаковой нормой. 3.4. Что называется размерностью пространства?

А. Число n такое, что в пространстве имеется конечное число nлинейно независимых элементов, а любые n 1 его элементов линейно зависимы. Если в пространстве (или его подпространстве) можно указать произвольное сколь угодно большое (конечное) количество линейно независимых элементов, то оно бесконечномерно.

Б. Число элементов пространства.

В. Наибольшее расстояние между его элементами.

Г. Наибольшая норма его элемента.

3.5. Что такое базис конечномерного пространства?

А. Любая система его элементов.

Б. Система элементов, количество которых равно размерности пространства.

В. Система ортогональных элементов этого пространства.

Г. Любая система n линейно независимых элементов этого пространства, где n- размерность пространства.

3.6. Что такое базис бесконечномерного пространства?
А. Любая бесконечная система его элементов.
Б. Система ортогональных элементов этого пространства.
В. Такое счётное множество элементов xi E, которое каждый элемент	x E

позволяет представить в виде x ai xi , причём это представление единственно и должно

i 1

пониматься по аналогии с тем, как понимается сумма ряда.

Г. Множество элементов с одинаковой нормой.

3.7. Что такое ортогональная система элементов, полная в данном евклидовом пространстве?

30

А. Любая система ортогональных элементов этого пространства.

Б. Ортогональная система элементов {xi} E, где E - евклидово пространство,

называется полной в E, если в E нет элемента x* , ортогонального всем элементам системы.

В. Система элементов, ортогональных ко всем элементам данного пространства. Г. Ортогональная система, все элементы которой имеют единичную норму.

3.8. Что называется энергетическим пространством оператора A? А. Полное метрическое пространство, в котором задан этот оператор.

Б. Полное нормированное пространство, в котором задан этот оператор.

В. Замыкание [D(A)] области определения этого оператораD(A) с введенным в

него скалярным произведением в виде энергетического произведения и нормой в виде энергетической нормы.

Г. Область определения оператора .

Ответы на тест-контроль

3.1.«Г» - Множество всех линейных комбинаций каждых n.элементов этой системы

3.2.«А» - Невозможность указать такой набор коэффициентов ak , k [1,n], одновременно

не равных нулю, чтобы линейная комбинация указанных элементов с этими коэффициентами равнялась нулю.

3.3.«В» - Всякое его замкнутое линейное подмножество.

3.4.«А» - Число n такое, что в пространстве имеется конечное число nлинейно независимых элементов, а любые n 1 его элемент линейно зависимы. Если в пространстве можно указать произвольное сколь угодно большое конечное количество линейнонезависимых элементов, то оно бесконечномерно.

3.5.«Г» - любая система n линейно независимых элементов этого пространства, где n - размерность пространства.

3.6. «В» - Такое счётное множество элементов xi E, которое каждый элемент в E E

позволяет представить в виде x ai xi , причём это представление единственно и должно

i 1

пониматься по аналогии тем, как понимается сумма ряда.

3.7.«Б» - Ортогональная система элементов {xi} E, где E - евклидово пространство, если в E нет элемента, ортогонального всем элементам системы.

3.8.«В» - Замыкание области определения этого оператора с введенным в него скалярным произведением в виде энергетического произведения и нормой в виде энергетической нормы.