Спецкурс численные методы.

61

2

(Ay, y) A y , (6.15)

то такой оператор называется положительно определённым.

Операторы, с которыми мы будем иметь дело, - положительно определённые. Механический смысл этого неравенства – действительная потенциальная энергия внутренних сил всегда положительна и её отношение к ненулевой норме нагрузки не может стать как угодно малым. Следует, однако, отметить, что все положения настоящей лекции могут быть распространены на более общий случай только положительных операторов (удовлетворяющих условию (Ay, y) 0), если у рассматриваемой краевой задачи имеется

только единственное решение.

Теперь мы можем перейти к условиям, которым должны удовлетворять координатные функции и их система в целом (напоминаем, что эти условия зависят от того, какой метод аппроксимации мы применяем).

Вначале рассмотрим случай, когда краевые условия (6.10) и (6.11) однородны.

Таких условий четыре. Три из них обеспечивают возможность реализации рассматриваемых методов в идеализированной ситуации, когда числа могут иметь сколь угодно большую длину и их округление не нужно. При вычислениях с округлением чисел эти три условия также должны выполняться, но возникает проблема неустойчивости счёта из-за потери точности, связанной с округлением. Эта проблема преодолевается, если выполняется четвёртое условие.

Условие 1.		Для	метода Ритца		HA	,	для метода	Бубнова-Галёркина
				k k 1
	DA , где	HA -	энергетическое	пространство			оператора A,	DA - его область
k k 1

определения.

Смысл требования для метода Бубнова-Галёркина очевиден: чтобы функция принадлежала области определения оператора краевой задачи, необходима и достаточна возможность

а) взять все производные дифференциального оператора, б) удовлетворить краевым условиям (однородным).

Итак, координатные функции в методе Бубнова-Галёркина должны быть n раз дифференцируемыми и удовлетворять заданным однородным граничным условиям.

Очевидно, сходимость последовательности приближённых решений этого метода может контролироваться обычной нормой разности (2.5), (2.12), (2.13) лекции ЧМ-2.

В случае метода Ритца должна использоваться энергетическая норма, описанная в лекции ЧМ-3. Следовательно, должны браться интегралы при определении энергетического скалярного произведения и, в частности, энергетического скалярного квадрата функции

l	Lu(x) u(x)dx.
Au,u		(6.16)
0

Кроме того, энергетическое пространство оператора отличается от его области определения наличием пределов всех последовательностей функций из его области определения. (сходимость к этим пределам теперь определяется энергетической нормой). Учёт краевых условий практически аналогичен их учёту в методе Бубнова-Галёркина.

62

Требование дифференцируемости n раз при однородных краевых условиях может

n

быть ослаблено (вплоть до дифференцируемости		раз) благодаря возможности понижения

2

порядка производной в (6.16) при выполнении интегрирования по частям (возможно – неоднократного), например,

l d4

(x)

(x)dx

(x)

d3

(x)

l

l d

3

(x) d j (x)

dx

i

j

j

i

i

dx4

dx3

dx3

dx

0

0

0

l

l

d3

(x)

d j (x) d3

(x)

l d2

(x) d2 j

(x)

j

(x)

i

i

i

dx

dx3

0

dx

dx3

0

0

dx2

dx2

l d2 i (x) d2 j				(x)
=					dx;	(6.17)
	dx2
0			dx2

здесь учтено, что однородные краевые условия обнуляют неинтегральные члены.

При n 2 учёт всех краевых условий затруднителен. В связи с этим используется факт, установленный в вариационном исчислении – математической дисциплине, объектом которой являются методы отыскания функций, сообщающих заданному функционалу минимальное значение (как мы выясним позднее, изучаемые нами методы сводят решение краевой задачи к задаче вариационной). Этот факт заключается в том, что среди краевых условий имеются такие, которые необходимо точно учитывать при выборе координатных функций (они называются главными) и такие, которые приближённо удовлетворяются автоматически при решении задачи (естественные краевые условия). Учёт естественных краевых условий при выборе координатных функций не обязателен.

При решении задач строительной механики в перемещениях (метод перемещений) главные, обязательно учитываемые условия – кинематические, или геометрические (перемещения и углы поворота краевых сечений). Статические (динамические) условия – естественные.

Если статические условия неоднородны, их иногда удобно включать в нагрузку.

В общем случае неоднородные краевые условия могут учитываться следующим образом. Линейная аппроксимация записывается в виде

~y 0 ak k 0 ~y1 , (6.18)

k 1

где 0 - любая функция, удовлетворяющая неоднородным краевым условиям (6.10) и (6.11) и условию 0 DL ( то-есть, требуется наличие производных порядка до n

включительно).При этом функции k при k 1 должны удовлетворять соответствующим однородным условиям (при c1 0,c2 0) и условию k DL . Подставим линейную

комбинацию (6.18) в уравнение (6.9). Вследствие линейности оператора L это приведёт к уравнению

k ,

63

L 0	~	q(x)		~	q(x) L 0	q1(x),	(6.19)
	Ly1			Ly1
n 1	y (n k)	(0) 0,					(6.20)
b
k 0 1k	1
n 1	y (n k)	(l) 0,					(6.21)
b
k 0 2k	1

то-есть, мы получили задачу, аналогичную (6.9)-(6.11), но с исправленной правой частью, однородными краевыми условиями и новой неизвестной функцией.

Учитывая изложенное, далее рассматриваем только случай однородных граничных условий.

Следует отметить большую роль ортонормированных координатных систем

удовлетворяющих условиям ( i , j ) 0 при i j и ( i , j ) 1 при i j. Такая система

полна в H , если в H нет элементов, которые ей не принадлежат, но ортогональны ко всем её элементам.

Роль таких систем обусловлена тем, что любой элемент H , ортогональный всем элементам полной в H ортонормированной системы, является нулевым элементом.

Если

для

любой функции

f (x)

вычислять

числа

ak ( f , k ) k [1,n] при

n,

n

возрастающих

то линейная комбинация a k

k

,

называемая частичной суммой

k 1

ряда Фурье функции

f (x) по отношению к системе k ,

стремится к f (x)

s

n

f ,

(6.22)

a

n

k 1

k

k

n

и, следовательно, остаток ряда

r

a

.

(6.23)

n

k n 1

k

k

n

В нашем случае k k (x)

или k

k (x1, x1,...,xm ).

Условие 2. Функции координатной системы должны быть линейно независимыми. Условие 3. Координатная система должна быть полной в HA

Понятия линейной независимости и полноты системы функций разъяснены в лекции

ММ-3.

Условие 4. В идеальном случае вычислений без округлений (с числами, записываемыми бесконечным количеством цифр) указанных трёх условий достаточно, чтобы система удовлетворяющих им координатных функций позволяла осуществить расчёт либо методом Ритца, либо методом Бубнова-Галёркина. Однако, в реальных условиях, при выполнении вычислений с округлением, погрешности могут сделать расчёт невозможным. Чтобы избежать подобной ситуации, необходимо, чтобы собственные числа введенной ниже формулой (6.28) матрицы Ритца были ограничены снизу и сверху постоянными, не зависящими от количества принятых координатных функций.

64

Итак, роль элементов базиса k в H (H1) аналогична роли координатных ортов в трёхмерном пространстве векторной алгебры. Эти элементы называются координатными элементами, или, в случае функциональных пространств H (H1) (и, прежде всего,

пространства L2 ) координатными функциями.

Теперь мы можем перейти к методам аппроксимации – то-есть, к методам определения коэффициентов ak(n)* , которые аналогичны координатам вектора (в

косоугольной системе координат, если координатная система неортогональна, и в прямоугольной системе координат – если эта система ортогональна).

Метод Ритца. В основе этого метода лежит устанавливаемый в функциональном анализе факт: решение краевой задачи (6.9) - (6.11), операторное представление которой

имеет вид
Ay f	(6.24)

с положительно определённым оператором A, можно поставить в соответствие задачу поиска такой функции y(x), которая сообщает минимум функционалу

L	(y)	1	(Ay, y) ( f , y) .	(6.25)
	2

И, наоборот, каждой задаче поиска минимума этого функционала соответствует краевая задача указанного вида. Это соответствие означает, что, если некоторая функция является решением задачи (6.9) - (6.11), то она, будучи подставлена в выражение (6.24), одновременно сообщает минимум функционалу (6.25), а если она сообщает минимум функционалу (6.25), то она одновременно является решением краевой задачи (6.9) - (6.11).

Заметим, что выражение (6.25) в задачах строительной механики линейно упругих систем имеет чёткий физический смысл. Так, в упрощенном случае, (например, прогиб в случае чистого изгиба) первое слагаемое

U(y)	1	(Ay, y)	(6.26)
2

является половиной скалярного произведения обобщённой внутренней силы, действующей на элемент конструкции, на перемещение этого элемента, то - есть. действительной работой внутренних сил, взятой с обратным знаком, или потенциальной энергией деформирования.

Аналогично этому в указанном случае

€	(6.27)
(y) (f,y)

равно действительной работе внешних сил, то - есть, -(f,y) равно изменению потенциальной энергии внешних сил.

В общем случае указанный физический смысл сохраняется, однако, y(x) уже является не функцией, а вектор-функцией, координаты которой имеют смысл обобщенных перемещений элемента конструкции; при этом Ay(x)является вектор - функцией внутренних усилий.

65

Выражение (6.25) является, таким образом, изменением полной потенциальной энергии системы. Иногда его называют функционалом Лагранжа. Вне зависимости от физического смысла задачи, если её оператор обладает указанными в настоящей лекции

свойствами, этот функционал называют функционалом энергии.
Задачи	поиска экстремума			функционала L (y) (то-есть,			поиска такой				функции
y*(x), что U(y ) minU(y))			тоже в подавляющем большинстве случаев не могут быть
	y H
решены в замкнутом виде, поэтому они решаются численно.
Обычно	решение	этой	задачи		сводится	к поиску такой			последовательности
приближённых	решений	~		что	~			),	~		. Такая
		yn (x),			limU(yn ) minU(y) U(y				lim yn y
					n	y H			n

последовательность называется минимизирующей для функционала (6.25).

Каждое приближённое решение из этой последовательности разыскивается «прямым методом». Для этого используется линейная аппроксимация (6.4), которая и подставляется в

(6.9). При		этом функционал преобразуется в	функцию	нескольких	переменных
~	~	,a2,...,an ) , для которой необходимо	разыскать	минимум, то-есть, такие
U(yn ) U(a1
значения	a1,a2,...,an , при которых эта функция		приобретает	минимум.	Эта задача в

принципиальном плане легко выполнима и изучалась в курсе прикладной математики. Её решение осуществляется в два этапа - 1) поиск стационарных (иначе - критических) точек и 2) проверка выполнения достаточных условий наличия минимума. В большинстве случаев (например, если возможность потери устойчивости сжатыми стержнями исключена) второй этап излишен - стационарная точка единственна и является точкой минимума.

Поиск стационарной точки функции U~(a1,a2,...,an ) сводится к её

дифференцированию (а для линейной задачи она является квадратичной формой), приравниванию производных нулю и решению полученной системы линейных алгебраических уравнений. Дифференцирование квадратичных форм выполняется элементарно в общем виде, что будет продемонстрировано ниже; решение системы линейных алгебраических уравнений прекрасно обеспечено компьютерными программами.

Рассмотрим процедуру подстановки аппроксимации в уравнение (6.9) подробнее:

~(n)

~(n)

m

dm k

~(n)

x

m

dm k

n

(n)

Ay

Ly

p

(x)

y

p

(x)

a

k 0

k

dxm k

k 0

k

dxm k j 1

j

j

n

m

d

m k

n

a(jn) pk

(x)

j

a(n)L(

j

) ;

dx

m k

r 1

k 0

r 1

j

~(n)

1

~(n)

~

(n)

1 n

(n)

n

(n)

U(y

)

(Ay

,y

)

a

(L(

), a

)

2

2 j 1

j

j

i 1

i

i

=1 n n a(jn) (L( j ), i ai(n) . 2i 1i 1

(6.28)

(6.29)

Из (6.29) ясно, почему мы наложили на k условие k HA : это условие означает,

что должно существовать скалярное энергетическое произведение (L( j ), i при заданных краевых условиях (как минимум - главных краевых условиях). Само это произведение,

66

будучи по определению равно определённому интегралу от произведения функций L( j ) и

i , равно постоянной величине; обозначим её rij :

l	l	m	dm k j (x)
rij (L( j ), i (L( (x)j ) i(x) dx		pk (x)			i (x)dx .	(6.30)
			dx	m k
0	0
		k 0

При однородных краевых условиях (когда k D(A), то-есть, все координатные функции тоже удовлетворяют этим условиям) A k L k .

На основании теоремы о взаимности работ rji (L( i ), j (L( j ), i rij .

Таким образом, при однородных главных краевых условиях матрица R rij симметрична

и положительна. Она называется матрицей Ритца.

Если координатные функции таковы, что собственные значения матрицы Ритца ограничены снизу и сверху величинами, не зависящими от количества функций в координатной системе, то, как указывалось выше, вычисления будут устойчивыми к погрешностям вычислений.

Теперь на основании (6.29), (6.30) мы можем записать приближённое выражение для функционала (6.26) на линейной аппроксимации (6.4)

U

~ ( n )

)

n

n

( n )

rij

a

( n )

.

(6.31)

( y

a i

j

i 1

j 1

Это положительно

определённая

квадратичная

форма

коэффициентов

ak(n)

с

симметричной матрицей.

Аналогично приближённое значение функционала (6.27) на (6.4)

€

~(n)

l

n

(n)

n (n)

l

n

(n)

ai

i

ai

f(x) i (x)dx

a

q

,

(6.32)

Б(y) (f,y

) f(x)

dx

i

i

0

j 1

j 1

0

j 1

l

f(x) i (x)dx.

где qi

0

Окончательно значение функционала аппроксимации согласно (6.25)

~(n)

1 n n

(n)

(n)

n

(n)

L (y

)

ai

rijaj

ai

qi .

(6.33)

2i 1 j 1

j 1

Необходимое условие стационарности (6.33), как функции n переменных, на искомой аппроксимации

~(n)	)	n
L (y		rij a(jn) qi	0	i 1,n .	(6.34)
ai
		j 1

67

При выводе (6.34) было учтено, что

1) rij rji и слагаемые

ai(n)rija(jn) a(jn)rjiai(n) ;

2)			1	a(n)r		a(n)
	a(jn) 2 j				jj	j

ai(n)rija(jn) повторяются дважды, так как

		1	r		(a(n) )2	r		a(n) .
a(jn) 2				jj	j		jj	j

Таким образом, определение коэффициентов линейной аппроксимации заключается в решении системы линейных уравнений n-го порядка. Можно доказать, что если системаk линейно независима, то определитель системы уравнений (6.34) не равен нулю и вектор

ak(n) 1n существует и единствен. Её решение существенно упрощается благодаря симметрии матрицы Ритца. Доказано, что при предположениях, сформулированных в этой лекции,

~
последовательность y	(n)		при	каждом nметодом
		1 с коэффициентами, определёнными
Ритца, является минимизирующей для функционала (6.25), то-есть,			~(n)		y* , где	y* -
			lim y
точное решение исходной		задачи.	n

Метод Бубнова-Галёркина. Рассмотрим первоначальный наиболее простой вариант этого метода. Он может быть применён при гораздо более слабых ограничениях на оператор задачи; в частности, он не требует, чтобы этот оператор был положительным.

Введём понятие невязки уравнения L~y(n) (x) f (x) для решения ~y(n) , где L - оператор (в рамках нашего курса – дифференциальный), а именно, назовём его невязкой функцию

~(n)

~(n)

(x) f (x).

(6.35)

r

(x) Ly

~(n)

(x) C

m

2

2

, то и

~(n)

2

Так как y

L ,

f (x) L

r

(x) L .

При подстановке в уравнение точного решения y*(x) невязка равна нулю

r*(x) Ly*(x) f (x) 0.

(6.36)

Пространство L2

сепарабельно, поэтому в

нём

можно указать

счётную систему

координатных

функций

образующих

базис.

Как

установлено в

функциональном

k 1 ,

анализе, нулевой элемент должен быть ортогональным ко всем элементам базиса. Если мы используем приближённое решение, то оно должно быть элементом наилучшего приближения в подпространстве H(n)A HA , натянутом на «усечённую» координатную

систему i 1n . Как можно доказать, это проекция точного решения на указанное подпространство, следовательно, невязка должна быть ортогональна к нему. Это обеспечивается ортогональностью невязки ко всем i , i 1,n

68

~(n)

~(n)

(x) f (x), i

~(n)

(x), i (x)

f , i .

(6.37)

r

(x), i (x) Ly

(x) Ly

По аналогии с (6.28), (6.29)

~(n)

(x), i (x)

n

(n)

n

(n)

n

a

L(

), i

a

(n)

.

(6.38)

Ly

j

j

j

L(

j

), i

rijaj

r 1

j 1

r 1

Обозначим

f , i

fi.

(6.39)

Подставив (6.38), (6.39) в (6.37)

и перенеся fi

в правую часть, получим

условия

ортогональности невязки к базису подпространства H(n)A

n

i 1,n.

rija(jn) fi

(6.40)

j 1

Это

система

линейных

алгебраических

уравнений

n-го

порядка

относительно

коэффициентов a(n)j . Если координатные функции линейно независимы, то её матрица -

неособенная, она имеет решение и притом единственное.

Если оператор задачи положителен и симметричен, а дифференциальное уравнение имеет решение и притом единственное, то эта матрица совпадает с матрицей Ритца и оба метода приводят к одному и тому же результату. Преимущество метода Бубнова-Галёркина заключается в том, что он имеет более широкую область применения.

По мере увеличения размерности подпространства H(n)A невязка становится ортогональной ко всё большему количеству элементов базиса исходного пространства HA ;

								невязка будет всё «ближе» к
при соблюдении всех отмеченных выше требований к k 1
тождественному нулю, а приближённое решение будет стремиться к точному
lim		~(n)					0,	(6.41)
		r
n
~(n)			y*.					(6.42)
limy

n

Общие замечания по поводу методов Ритца, Бубнова –Галёркина и других прямых методов.

1. Необходимость многократного выполнения расчёта. Иногда при использовании приближённых методов, основанных на представлении искомой функции конечной линейной комбинацией координатных функций, расчётчики ограничиваются однократным расчётом при выбранном заранее количестве координатных функций. Это допустимо только при наличии каких-то предварительных соображений, опыта расчёта подобных объектов, предварительной информации о характере решения(например, эмпирических данных). Конечно, в литературе встречаются оценки погрешности приближённых решений. Их можно разделить на априорные и апостериорные. Первые оценки выполняются до расчёта, но для их

69

реализации обычно требуется такая информация о задаче или о её решении, которой расчётчик не располагает. Вторые осуществляются на основании результатов расчётов того же объекта с меньшим количеством координатных функций, то-есть, требуют неоднократного выполнения расчёта с увеличивающимся количеством координатных функций. Так как последовательность таких решений сходится, а пространство L2 полно, то любая сходящаяся в L2 последовательность фундаментальна, и достаточно прослеживать норму разности двух последовательных решений.

В общем случае необходимо организовывать последовательность расчётов при возрастающем количестве координатных функций.

2. Необходимость выбора полной (то-есть, бесконечной) координатной системы, с использованием при каждом последовательном расчёте первых n,n 1,n 2 и т.д.

функций. Как указывалось выше, в общем случае произвольную функцию y(x) L2 можно

описать при помощи координатной системы, полной в этом пространстве; так как оно бесконечномерное, то и указанная система должна быть бесконечной. Однако, расчёт можно выполнять только с конечной её подсистемой. Поэтому в общем случае следует выбирать бесконечную систему, полную в пространстве, которому принадлежит точное решение. В

	качестве таких систем можно указать		систему		степенных		функций	в C ,
		k x		k x
	тригонометрическую систему 1 sin		,cos			или	системы	различных
		l		l
					1

ортогональных многочленов, определяемых областью D(A), - в L2 .

Вто же время эта система должна быть минимальной, то-есть. Такой. чтобы вычёркивание любой её функции изменяло размерность натянутого на неё подпространства, сужало возможность описания произвольной функции линейной комбинацией координатных функций – среди функций системы не должно быть «лишних», «бесполезных», линейно зависящих от других функций системы.

Вобщем случае необходимо выбирать полную минимальную систему (бесконечную) систему и, при каждом расчёте – её конечную подсистему с возрастающим количеством функций.

.

6.3.Критерии усвоения

После изучения содержания данной темы Вы должны:

знать

содержание понятий «линейная аппроксимация», «координатная функция», «координатная система», проекция точного решения в подпространство»;

в чём заключается соответствие «краевая задача – вариационная задача»;

каким условиям должен отвечать оператор задачи, чтобы это соответствие имело место;

каким условиям должна удовлетворять координатная система;

к какой задаче сводится краевая задача на последнем шаге метода Ритца;

как определить элементы матрицы Ритца и сбодный член получаемой этим методом системы уравнений;

70

каким условиям необходимо подчинить невязку, чтобы получить элемент наилучшего приближения методом Бубнова-Галёркина;

каковы преимущества метода Бубнова-Галёркина;

сколько разнеобходимо выполнять расчёт прямыми методами.

Понимать

смысл понятия «проекция в подпространство»;

связь этого понятия с понятием «приближённое решение»;

смысл ограничений, налагаемых на оператор задачи;

смысл требований к координатной системе;

зачем ищется решение вариационной задачи в методе Ритца;

смысл требований к невязке при поиске элемента наилучшего приближения в методе Бубнова-Галёркина.

Уметь

Уметь приводить краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений методом Ритца и методом Бубнова-Галёркина, определять коэффициенты и свободные члены этой системы;

применять каждый из изложенных методов при решении простых задач расчёта балок на упругом основании, сжато-изогнутых элементов

6.4. Выход темы в другие темы и дисциплины

Данная тема имеет выход в дипломные, магистерские и диссертационные работы.

6.5.Тест - контроль для самопроверки

6.1.Что называется элементом наилучшего приближения?

А.

Элементом

наилучшего

приближения

элемента

u U

в

подпространстве

U(n) U называется линейная комбинация координатных функций..

Б.

Элементом

наилучшего

приближения

элемента

u U

в

подпространстве

U(n) U называется работа внутренних сил на возможных перемещениях.

В.

Элементом наилучшего

приближения

элемента

u U

в

подпространстве

U(n) U называется работа внутренних сил на действительных перемещениях.

Г.

Элементом

наилучшего

приближения

элемента

u U

в

подпространстве

U(n) U

называется такой элемент u~(n) U(n) ,

для

которого

выполняется требование

u u~(n)

min

u u(n)

.

u(n) U(n)

6.2. Что называется координатными функциями?

А.

Заранее выбранные в HA

(для метода Ритца)

и в

D(A)

(для метода Бубнова-

Галёркина) функции, при помощи линейной

комбинации

которых

записывается

приближённое решение.