Спецкурс численные методы.

			71
Б. Заранее выбранные в D(A)	(для метода Ритца) и в	HA (для метода Бубнова-
Галёркина) функции, при помощи	линейной комбинации	которых	записывается

приближённое решение.

В. Разность между левой и правой частями дифференциального уравнения задачи.

Г. Правая часть дифференциального уравнения задачи.

6.3. Что называется координатной системой?

А. Система коэффициентов линейной аппроксимации решения.

Б. Система коэффициентов линейной аппроксимации свободного члена дифференциального уравнения задачи.

В. Система координатных функций k 1n ( k 1 ), удовлетворяющая определённым требованиям, обеспечивающим сходимость последовательности приближённых решений и повышающих устойчивость процесса счёта.

Г. Система ортов осей координат.

6.4. В чём заключается метод Ритца?

А. В использовании линейной аппроксимации решения.

Б. В следующих действиях 1) формулируется вариационная задача, эквивалентная данной краевой задаче;

2.) выбирается координатная система, отвечающая установленным требованиям;

3)поочерёдно выбираются координатные подсистемы с растущим количеством координатных функций в них и для каждой подсистемы

а) определяются коэффициенты Ритца; б) определяются свободные члены системы уравнений Ритца; в) решается система уравнений Ритца;

г) сравнивается норма разности решений с допускаемой величиной (можно сравнивать два последовательных набора коэффициентов, исключая последний коэффициент последующего набора);

д) принимается решение о продолжении счёта или выходе из цикла;

4)формируется линейная комбинация координатных функций с полученными коэффициентами последнего расчёта и вычисляются значения искомой функции в назначенных точках её области определения.

В. В использовании линейной апроксимации свободного члена дифференциального уравнения задачи.

Г. В сведении краевой задачи к вариационной.

6.5. В чём заключается метод Бубнова-Галёркина?

А. В использовании линейной аппроксимации решения

Б. В следующем 1) формулируется вариационная задача, эквивалентная данной краевой задаче;

2.) выбирается координатная система, отвечающая установленным требованиям;

3) поочерёдно выбираются координатные подсистемы с растущим количеством координатных функций в них и для каждой подсистемы

а) определяются коэффициенты Ритца; б) определяются свободные члены системы уравнений Ритца;

72

в) решается система уравнений Ритца; г) сравнивается норма разности решений с допускаемой величиной (можно

сравнивать два последовательных набора коэффициентов, исключая последний коэффициент последующего набора);

д) принимается решение о продолжении счёта или выходе из цикла; 4) формируется линейная комбинация координатных функций с полученными

коэффициентами последнего расчёта и вычисляются значения искомой функции в назначенных точках её области определения.

В. В использовании линейной апроксимации свободного члена дифференциального уравнения задачи.

Г. В следующем

1)выбирается координатная система, отвечающая установленным требованиям;

2)поочерёдно выбираются координатные подсистемы с растущим количеством координатных функций в них и для каждой подсистемы

а) записываются условия ортогональности невязки функциям координатной

подсистемы;

б) определяются коэффициенты системы линейных алгебраических уравнений

метода;

в) определяются свободные члены этой системы; г) решается эта система уравнений;

д) сравнивается норма разности решений с допускаемой величиной (можно сравнивать два последовательных набора коэффициентов, исключая последний коэффициент последующего набора);

е) принимается решение о продолжении счёта или выходе из цикла;

3)формируется линейная комбинация координатных функций с полученными коэффициентами последнего расчёта;

4)вычисляются значения искомой функции в назначенных точках её области определения.

73

				Ответы на тест-контроль							u U в
6.1. «Г» - Элементом наилучшего приближения элемента
подпространстве U(n) U называется такой элемент										u~(n) U(n) , для	которого
выполняется требование		u u~(n)			min		u u(n)		.
					u(n) U(n)

6.2. «А» - Заранее выбранные в HA (для метода Ритца) и в D(A) (для метода

Бубнова-Галёркина) функции, при помощи линейной комбинации которых записывается приближённое решение.

6.3. «В» -	n		),	удовлетворяющая
	Система координатных функций k 1	( k 1
определённым	требованиям, обеспечивающим сходимость			последовательности

приближённых решений и повышающих устойчивость процесса счёта.

6.4. «Б» - В следующем 1) формулируется вариационная задача, эквивалентная данной краевой задаче;

2.) выбирается координатная система, отвечающая установленным требованиям;

3)поочерёдно выбираются координатные подсистемы с растущим количеством координатных функций в них и для каждой подсистемы

а) определяются коэффициенты Ритца; б) определяются свободные члены системы уравнений Ритца; в) решается система уравнений Ритца;

г) сравнивается норма разности решений с допускаемой величиной (можно сравнивать два последовательных набора коэффициентов, исключая последний коэффициент последующего набора);

д) принимается решение о продолжении счёта или выходе из цикла;

4)формируется линейная комбинация координатных функций с полученными коэффициентами последнего расчёта и вычисляются значения искомой функции в назначенных точках её области определения.

6.5. «Г» - В следующем

1)выбирается координатная система, отвечающая установленным требованиям;

2)поочерёдно выбираются координатные подсистемы с растущим количеством координатных функций в них и для каждой подсистемы

а) записываются условия ортогональности невязки функциям координатной подсистемы;

б) определяются коэффициенты системы линейных алгебраических уравнений метода;

в) определяются свободные члены этой системы; г) решается эта система уравнений;

д) сравнивается норма разности решений с допускаемой величиной (можно сравнивать два последовательных набора коэффициентов, исключая последний коэффициент последующего набора);

е) принимается решение о продолжении счёта или выходе из цикла;

3)формируется линейная комбинация координатных функций с полученными коэффициентами последнего расчёта;

4)вычисляются значения искомой функции в назначенных точках её области определения.

74

ЧМ-7. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

7.1. Входная информация для самопроверки

Для изучения данной темы Вам необходимо восстановить в памяти:

- из курса прикладной математики - понятия и операции: линейной алгебры, векторной алгебры; понятия: интеграла, кратного интеграла, минимума функции нескольких переменных;

- из курса сопротивления материалов – понятия: напряжений, деформаций, обобщённых усилий, работы обобщённых внутренних сил, работы нагрузки; деформативные свойства материалов;

- из настоящего спецкурса – понятия: функционала, координатной функции, координатной системы, линейной аппроксимации, функционала энергии, невязки приближённого решения, ортогональности функций, последовательности решений, идея метода Ритца, идея метода Бубнова-Галёркина, идеи методов линеаризации.

7.2. Содержание темы

Метод конечных элементов. Методы, изложенные в лекции ММ-6, которые мы будем называть традиционными прямыми методами, в своё время сыграли значительную роль в численном решении ряда важных практических задач. Однако, при использовании этих методов расчётчики столкнулись с рядом трудноразрешимых проблем. Перечислим некоторые из них.

1. Подбор координатных систем для неканонических областей. Расчётная схема конструкции может представлять собой область одно-, двух- и трёхмерного пространства. Так, расчётная схеме стержня - отрезок прямой линии - является областью прямой, то-есть, одномерного пространства; расчётная схема изгибаемой плиты или нагруженной в своей плоскости пластинки является областью плоскости, то-есть, двумерного пространства; равно, как и областью криволинейной поверхности (то-есть, также двумерного пространства) является оболочка. Расчётная схема массива (например, столбчатого фундамента или основания) - это область трёхмерного пространства. Область двухили трёхмерного пространства будем относить к какой-либо фиксированной системе координат и называть канонической, если её граница состоит из участков, каждый из которых проходит:

- для двумерной области - по координатной линии xi					cij ,cij const,i,j 1,2;
-для	трёхмерной	области	-	по	координатной	поверхности

xi cij ,cij const,i 1,2,3, j 1,2.

Для прямоугольной декартовой системы координат на плоскости это будет прямоугольник, в пространстве - параллелепипед; для полярной системы координат - часть сектора, выделенная сторонами c11, c12, c21, c22; для цилиндрической системы

координат c11, c12, c21, c22, z c31, z c32; для сферической системы координат

c11, c12, c21, c22, c31, c32.	На канонической	области легче проверять
соответствие систем функций требованиям,	предъявляемым к	координатным системам, в

особенности, выполнение условий на границе области. На неканонической области такая проверка становится проблематичной. Особенно трудно выполнить такую проверку, если количество гладких участков границы не такое, как у канонических областей, то-есть, не

75

равно четырём на плоскости или криволинейной поверхности и шести - у пространственной области.

2.Скачки или резкие изменения переменных коэффициентов дифференциального уравнения задачи. При расчёте конструкций это обстоятельство возникает, например, в случаях скачков или резких изменений свойств материалов или геометрии конструкций. При этом следует ожидать скачков или резкого изменения производных функции, описывающей перемещения, а придать координатным функциям способность отражать наличие таких скачков или резких изменений невозможно, так как эти функции должны иметь несколько непрерывных производных порядка не менее заданного.

3.Скачки или резкие изменения правой части неоднородного дифференциального уравнения задачи. Это обстоятельство возникает, например, когда интенсивность распределённой нагрузки описывается функцией, имеющей такой характер, вплоть до такой абстракции, как сосредоточенная сила или сосредоточенный момент. Сосредоточенной силе соответствует случай бесконечно большой интенсивности нагрузки на бесконечно малой области её локализации при конечном значении равнодействующей. Сосредоточенный момент моделируется парой сосредоточенных сил с бесконечно малым плечом (величина момента при этом конечна). . Для строгого описания таких нагрузок требуется аппарат обобщённых функций, но это выходит за рамки нашего спецкурса. У координатных функций такие особенности должны иметь их производные хотя бы того же порядка, что и порядок уравнения задачи, то0есть, мы опять сталкиваемся с проблемой несоответствия ожидаемых свойств решения и свойств координатных функций.

3.Сложность задачи конструирования координатной системы в общем случае.

Для решения этой задачи в общем случае требуется достаточно высокая квалификация, она для большого количества классов задач не поддаётся стандартизации и требует эвристического подхода.

4.Трудность учёта различных краевых условий. При наличии таких краевых условий, как податливые опоры, задании на одном участке границы нескольких типов опор, применении локальных опор, изменении нагрузок на край в пределах участка границы и в

ряде других случаев конструирование функции 0 (см. лекцию ЧМ-6) практически невозможно.

5. Сложность конструирования координатной системы в случае сопряжения областей, принадлежащих разным пространствам. На практике часто сопрягаются такие конструкции, расчётные схемы которых принадлежат разным пространствам. В качестве примеров можно привести сопряжение колонн и ригелей, расчётные схемы которых принадлежат разным прямым, сопряжение монолитных железобетонных стен и перекрытий, расчётные схемы которых принадлежат разным плоскостям; сопряжение стенки и купола защитной оболочки атомного реактора, расчётные схемы которых принадлежат разным криволинейным поверхностям, сопряжение элементов, расчётные схемы которых принадлежат областям разной размерности (колонны с плитой, колонны с массивом) и т.д.

Эти проблемы любой степени сложности достаточно легко преодолеваются в методе конечных элементов (МКЭ) – едва ли не самом мощном и универсальном численном методе для решения в первую очередь краевых задач для дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных) и систем таких уравнений.

Основная идея метода конечных элементов. Метод конечных элементов основан на использовании нового принципа конструирования координатных систем. В традиционных вариантах прямых методов координатные функции задавались на всей области определения оператора задачи, границы которой задавались краевыми условиями и были на этой области

76

достаточно гладкими. Это как раз и порождало практически все перечисленные выше противоречия.

В отличие от этого в МКЭ используются принципиально новые координатные функции. Их основной отличительный признак состоит в том, что они удовлетворяют заданным условиям не на всей области определения оператора задачи, а на её достаточно малой (но всё же конечной) подобласти, за пределами которой они тождественно равны нулю. Иными словами, можно сказать, что они заданы на этой малой подобласти.

Таким образом, носителем каждой координатной функции метода конечных элементов является замыкание подобласти, на которой она определена, другими словами, объединение подобласти и её границы.

Таким образом, в качестве координатных функций в МКЭ выбираются финитные функции.

Воссоздание искомой функции на её носителе в МКЭ выполняется по а) дифференциальному уравнению (системе дифференциальных уравнений) или

вариационному принципу, как в традиционных прямых методах; б) краевым условиям в отдельных точках границы носителя, а не на всей границе, как

это было в традиционных прямых методах.

Точки границы носителя, в которых задаются краевые условия, называются узлами. Как правило, в узлах задаются главные краевые условия. Их достаточно для определения искомой функции (в случае системы уравнений – искомой вектор-функции).

Примечание. Иногда рассматриваются случаи расположения узлов внутри носителя; мы такими случаями не занимаемся.

Отсюда естественным образом можно перейти к ключевому в МКЭ понятию –

конечный элемент (КЭ).

КЭ могут иметь различную форму, и это позволяет более точно (хоть в ряде случаев всё равно приближённо) отразить форму области на расчётной схеме, а также некоторые априори известные особенности искомого решения.

Примеры конечных элементов для расчётных схем конструкций различной размерности приведены на рис. 7.1. Здесь на рис. 7.1а показан КЭ одномерной области (стержня), на рис. 7.1б – прямоугольный КЭ двумерной области (изгибаемой плиты или плосконапряжённой пластины), на рис. 7.1в – их же треугольный КЭ, на рис. 7.1г, д – КЭ трёхмерной области (массива) в виде параллелепипеда или тетраэдра. На этих рисунках 1 – узлы, 2 – границы, 3 – рёбра границ.

В криволинейных системах координат границы КЭ также удобно принимать криволинейными.

77

1

1

1

2

	а)	б)		в)	1
	1,2
		1,2,
		1	2	1
		2
1	1		3	1	1

д)

г)

		1
1	3	2	1

Рис. 7.1. Примеры конечных элементов

Граница одномерного КЭ – всегда точка; она же является узлом. Граница двумерного КЭ - линия, которая состоит из гладких, обычно, прямых, участков; разделяющая их точка называется узлом. Граница трёхмерного КЭ – поверхность, которая состоит из гладких, часто - плоских, участков. Линии, разделяющие эти участки, называются ребрами; точка пересечения рёбер называется узлом. Узел трёхмерного элемента, таким образом, это, чаще всего, вершина многогранника (например, параллелепипеда, тетраэдра), двумерного – вершина многоугольника (например, прямоугольника, треугольника).

Таким образом, конечный элемент – ограниченный носитель координатной функции, узел конечного элемента является узлом носителя координатной функции.

Можно сказать, что у одномерного КЭ понятия узла и границы совпадают; у двумерного КЭ границей является замкнутая линия, имеющая изломы (скачки касательной), и эти изломы являются узлами; у трёхмерного КЭ границей является замкнутая поверхность, эта поверхность имеет изломы, называемые рёбрами, а изломы рёбер называются узлами. Повторим, что для воссоздания координатной функции в пределах КЭ необходимо указать уравнение или вариационный принцип задачи и значения функции в узлах.

Для выполнения расчёта методом конечных элементов вся область, на которой задана краевая задача (вся область, занятая конструкцией) разбивается на отдельные КЭ таким образом, что

-вся область занята КЭ без разрывов;

-любые два КЭ либо не имеют общих точек, либо имеют общий участок границы (включая узлы), который может выродиться в одну точку (узел); никакие внутренние точки двух и более КЭ не могут быть общими (пересечение двух КЭ либо пусто, либо состоит только (!) из точек их общего участка границы). Можно сказать, что конечные элементы либо не соприкасаются, либо соприкасаются на их общем участке границы без нахлеста.

Иногда используются конечноэлементные разбивки с зазорами между элементами, однако требуется, чтобы: 1) зазоры в узлах отсутствовали; 2) зазоры между узлами стремились к нулю при неограниченном сгущении узлов. В частности, такое разбиение на КЭ

78

выполняется иногда при расчёте оболочек, очерченных по криволинейным поверхностям, с использованием плоских КЭ.

Часто бывает удобным, чтобы участки границы двумерной области были направлены вдоль координатных линий (особенно, если таких участков четыре), участки границы трёхмерной области совпадали с координатными поверхностями, а рёбра – с координатными линиями.

Обычно наиболее сложным вопросом является разбивка двумерной или трёхмерной области задания задачи в пределах её приопорной зоны, так как границу области часто невозможно составить из участков границы КЭ. В таких случаях приходится приближённо аппроксимировать границу области участками границы КЭ, но так, чтобы зазор между ними стремился к нулю вместе с размером самого большого КЭ. При этом внешние узлы КЭ надо располагать на границе области. Таким образом мы получаем конечно-элементную аппроксимацию границы области.

У КЭ не может быть узлов, которые бы не совмещались с узлами соседних элементов или узлами конечно-элементной аппроксимации границы области. При этом в процессе разбивки заданной области на КЭ на указанной области выделяются точки, на которых совмещаются либо узлы соприкасающихся КЭ, либо узлы КЭ и границы; эти узлы называются узлами рассчитываемой системы (точнее, её расчётной схемы). Другие правила разбивки сетки узлов будут изложены после описания МКЭ.

Рис.7.2. Пример разбивки плоской области на конечные элементы

Если вычертить схему разбивки области на КЭ, отметить на ней узлы, занумеровать и те, и другие, а затем указать на КЭ информацию о свойствах системы (отражённых в коэффициентах этого уравнения), на узлах - данные о взаимодействии с внешней средой (отражённые в свободном члене дифференциального уравнения и в краевых условиях), то мы получим конечно-элементную расчётную схему системы. Методы определения этих данных будут сообщены ниже.

Нумерация КЭ и узлов позволяет организовать ввод остальной информации в компьютер.

79

Обычно широко используемые программы, реализующие МКЭ, ориентируясь на конкретную область приложений (прочностные расчёты, расчёты теплопередачи, расчёты электрических или гидравлических сетей и т.п.) содержат библитеки КЭ, позволяющие вычислить определённым образом организованные данные о естественных краевых условиях КЭ при заданных его главных краевых условиях для различных типичных часто встречающихся случаев. При выполнении конкретного расчёта необходимо выбрать тип КЭ, проставить его размеры и указать величины параметров, характеризующих физические свойства материала. Информация о главных и естественных краевых условиях КЭ по определённым правилам приведена к его узлам – в каждом узле указывается некоторая функция искомого решения и его производных, обычно – сама искомая функция и её производные.

Одна из центральных идей МКЭ состоит в том, что приближённое решение должно полностью определяться конечным количеством параметров, указываемых в каждом из конечного числа узлов системы. Таким образом, мы состояние континуальной системы описываем дискретным множеством параметров; в этом и состоит дискретизация задачи в МКЭ.

Количество параметров, указываемых в узлах, определяется порядком дифференциального уравнения и применяемым методом поиска коэффициентов линейной аппроксимации решения (в нашем случае – метод Ритца или метод Галёркина)..

Каждому параметру каждого узла ставится в соответствие одна координатная функция. Она равна единице в этом узле и нулю - в остальных узлах ЕЭ. Благодаря этому

а) линейная аппроксимация искомой функции включает слагаемое в виде произведения параметра на значение координатной функции, то-есть, узловой параметр является коэффициентом этой линейной аппроксимации и одновременно значением аппроксимации в узле;

б) в других узлах параметр умножается на нулевое значение координатной функции, то-есть, не влияет на значение аппроксимации в других узлах.

Действительно, выделим одно слагаемое линейной аппроксимации (см. лекцию ЧМ- 6, формула (6.4))

(7.1)

y(x) ... ai i (x) ...

где ai

- один из параметров m-го узла; i (

x

)

- соответствующая координатная функция

одной,

двух или трёх координат

x

x, или

x

(x1,x2), или

x

(x1,x2,x3), причём

i (xm ) 1, i (xq ) 0 при q m.

Отсюда легко заметить, что, если линейная аппроксимация уже найдена, то узловой параметр данного узла равен значению аппроксимации в этом узле и не влияет на значения аппроксимации в других узлах.

В случае одномерной области в качестве параметра могут выступать искомая функция, её обыкновенные производные и их линейные комбинации, а в случае двумерных и трёхмерных областей – функции и её частные производные, в том числе – смешанные, а также их линейные комбинации. Наибольший порядок указанных производных на единицу меньше порядка дифференциального уравнения в методе Галёркина или порядка дифференциального оператора в методе Ритца (если он сформулирован в энергетически сопряжённых переменных - момент - кривизна, нормальная сила - осевое удлинение и т.п.). В случае применения интегрирования по частям при использовании метода Галёркина этот порядок может быть уменьшен вдвое.

80

При наличии общего участка границы у двух смежных КЭ координатная система должна обеспечить возможность приравнивания хотя бы главных краевых условий данной задачи. В задачах строительной механики обычно это перемещения точек границы и (при наличии изгибного состояния) повороты нормали в этой точке вокруг границы. Таким образом, в условиях сопряжения КЭ участвуют искомая функция и (при наличии изгиба) её производные вдоль нормали к границе. Для того, чтобы обеспечить возможность приравнивания производных, взятых по нормали к границе в сопрягаемых КЭ, на всём их общем участке границы, приходится использовать в качестве узловых параметров смешанные производные. Однако, это требование иногда нарушается и возникают так называемые несогласованные координатные функции.

Ещё одно условие, накладываемое на координатные функции в МКЭ: при стремлении размеров КЭ к нулю они должны обеспечивать возможность соответствующим подбором узловых параметров получать любые постоянные (в том числе – нулевые) значения искомой функции и её производных (порядка менее порядка дифференциального оператора) на КЭ и его границе.

Часто наиболее удобными для использования в качестве координатных функций являются многочлены. В случае одномерной области полные многочлены степени p имеют p 1 независимых параметров - его коэффициентов. Следовательно, если порядок старшей производной оператора задачи равен s (и таково же количество параметров), то необходим полином степени p s 1.

Каждая координатная функция имеет вид многочлена и его коэффициенты должны обеспечивать выполнение заданного набора граничных условий в узлах (когда один из узловых параметров равен единице, а остальные – нулю, а данная координатная функция равна единице на одном узле и нулю – на остальных).

Для определения его коэффициентов в простых случаях удобно использовать метод неопределённых коэффициентов – записывается общий вид такого многочлена и определяются дифференцированием все его производные, участвующие в формулировании граничных условий КЭ (если производные участвуют в формулировании граничных условий).

Это позволяет записать граничные условия в узлах КЭ, выраженные через общий вид многочлена и его производных, и получить систему p линейных алгебраических уравнений относительно p неизвестных коэффициентов полинома. Решение этой системы – коэффициенты полинома, который должен стать координатной функцией, отвечающей заданному набору краевых условий.

Следует отметить, что в различных источниках при изложении МКЭ координатные функции называются также функциями формы или функциями распределения.

Пример 1. Дано: одномерная область, порядок дифференциального уравнения s 2. В этом случае число степеней свободы КЭ N s 2 . Конечный элемент - отрезок прямой длиной l Задавая на каждом конце КЭ по одному параметру - значению искомой функции на границе элементов, мы полностью определим приближённое решение на носителе. Выберем в качестве координатных функций многочлены степени p s-1 2-1 1, то-есть, линейные

функции. Первая из них удовлетворяет условию 1(0) 1, 1(0) 0,вторая -

2(0) 0, 1(0) 1.

Общий вид многочлена первой степени

i (x) aix bi .