sopromat 2course

Главными осями инерции называется пара осей, относительно которой центробежный момент инерции площади (3.12) равен нулю.

Действительно, осевые моменты инерции площади Ix, Iy всегда положительны как суммы положительных слагаемых, а центробежный момент инерции площади Ixy может быть и положительным, и отрицательным, и, как следствие, нулевым. Таким образом, система осей x, y, относительно которой Ixy=0 называется главной, а оси главными осями инерции

(4.3).

Главные оси инерции (4.3), проходящие через центр тяжести (4.2) сечения, называют главными центральными осями инерции.

Найти положение главных осей инерции не сложно. Для этого достаточно воспользоваться выражением (4.9). Итак, пусть имеется некоторая система координат x, y, в которой все моменты инерции площади известны (рис. 4.5). Найдем угол 0, на который необходимо повернуть исходную систему координат, чтобы получить систему координат u, v, относительно которой Iuv=0. На основании (4.9)

I			I	x	I	y	sin
	uv				2

tg 2				2I		xy
	0		I		I
				y			x

2	0	I	xy	cos 2	0

.

0

,

(4.10)

Уравнению (4.10) удовлетворяют два значения 2 0, отличающиеся на 1800 или два значения 0, отличающиеся на 900. Таким образом, уравнение (4.10) дает нам положение двух осей, составляющих между собой прямой угол. Это и будут главные оси инерции (4.3) u и v.

Главные оси инерции обладают очень важным качеством – осевые моменты инерции

площади (3.11) относительно этих осей имеют экстремальные значения. Убедится в этом не
сложно. Достаточно исследовать на экстремум функцию	I	x		, приведенную в (4.6),
		1

dI		x
		1
d
I	x

I

I		x	2 cos sin
y	sin 2 I			xy	2

I	y	2 sin
cos 2

cos I		xy	2 cos 2
0	,

0

,

tg 2		2I		xy
	I		I
		y			x

.

Очевидно, что экстремальные значения будут при угле = 0, определяемое по (4.10). Значит осевые моменты инерции Iu и Iv – экстремальные, т.е. Iu > Ix, Iy > Iv.

Следует отметить, что если за исходную систему координат принять систему главных осей инерции (4.3) u, v, то выражения (4.6)-(4.8) преобразуются к виду.

I

I

cos

2

I

sin

2

x

u

v

I

I

sin

2

I

cos

2

y

u

v

I xy

Iu Iv

sin 2 .

2

,

,

(4.11)

(4.12)

(4.13)

Величины осевых моментов инерции площади (3.11) можно вычислить по формулам (4.6), (4.7) предварительно определив угол поворота систему координат по формуле (4.10). Однако можно обойтись и без вычислений угла. С этой целью используем зависимости

(4.10)-(4.12). Вычтем из (4.11) выражение (4.12)
I x I y Iu Iv cos 2 .	(4.14)

Используя (4.10), имеем

cos 2

1

I

x

I

y

.

I

1 tg

2

2

I

2

2

4I

x

y

xy

Поставляя полученное выражение в (4.14), получим

I x I y Iu Iv

I x I y

,

I x I y 2 4I xy2

Iu Iv

I x I y

2

4I xy2 .

(4.15)

На основании (4.8) запишем условие инвариантности суммы осевых моментов инерции площади:

I x I y Iu Iv .

Суммируя и вычитая последнее равенство с (4.15) получим

Iu			I x I y			1	I x I y 2 4I xy2 ,
			2			2
							(4.16)
			I x I y
Iv						1	I x I y 2 4I xy2 .
			2			2

Иногда,

I			I	x
	u, v

для сокращения записей формулы (4.16) записывают в виде:

I	y		1	I		I		2	4I	2
2			2		x		y			xy .

Имея значения осевых моментов инерции относительно главных осей Iu, Iv можно найти угол наклона каждой из главных осей к оси x исходной системы координат:

tg 2		2tg						2I xy
	1 tg			2			I		I
								y		x
2	I y	I x			tg 1 0
tg		I
			xy

Корни этого уравнения

, откуда

.

tg		1,2
		1		I
	2I		xy

1		I				I
			x					y
2					I
							xy
x	I			y					I	y

I				I					2
										4
		y					x
				I
					xy
I				2			4I		2	2I
	x								xy

		1		I		I
		2I			x
			xy
			I	u, v	I		y
y				I
					xy

		I		I		2	4I	2
y			y		x			xy

.

(4.17)

Однако, корень 1, полученный подстановкой в выражение (4.17) Iu дает положение оси v, и наоборот, корень 2, полученный подстановкой в выражение (4.17) Iv дает положение оси u. Дабы избежать путаницы используем условие 1- /2= 2, и углы до соответствующих осей обозначим u и v. Тогда

tg u

tg 2

tg ( 1

) ctg 1

I xy

.

(4.18)

2

I

y

I

u

tg v

tg 1

tg ( 2

) ctg 2

I xy

.

(4.19)

2

I

y

I

v

Формулы (4.18), (4.19) наиболее удобны в плане практического использования, поскольку четко отражают какой угол, к какой из осей необходимо откладывать. Как и в формуле (4.10) положительный угол откладывается от оси x в направлении против часовой

стрелки. Однако формулы (4.18), (4.19) возможно использовать только при условии, что осевые моменты инерции площади (3.11) относительно главных осей известны, либо они должны быть предварительно вычислены по (4.16). Формула (4.10) позволяет вычислить угол до одной из главных осей инерции (причем какая это ось формула не указывает) без определения осевых моменты инерции площади относительно главных осей инерции (4.3).

В заключении следует отметить, что если хотя бы одна из координатных осей сечения является осью симметрии, то центробежный момент инерции площади (3.12) будет равен нулю, и, как следствие, такие оси будут главными осями инерции (4.3). Очевидно, что для фигур, имеющих много осей симметрии (круг, квадрат, правильные многоугольники и пр.) количество главных осей может быть больше двух.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ теоретической механики. Основные понятия статики. Аксиомы статики. Система сил.

Теоретическая механика изучает равновесие и движение твердого тела; состоит из трех частей: статики, кинематики, динамики. Сопротивление материалов и строительная механика изучают методы расчетов на прочность, жесткость и устойчивость соответствующих конструкций.

1.3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Статика - это учение о равновесии тел (1.1) под действием приложенных к ним сил. Равновесию тела соответствует равновесие сил, поэтому статика есть одновременно учением о равновесии сил, действующих на тело.

Сила – это мера механического взаимодействия между материальными объектами. Сила определяет интенсивность взаимодействия (некоторое её количественное

значение), его пространственную направленность и то место в пространстве, в котором взаимодействие происходит. Таким образом, сила имеет три основных параметра, - величину, направление и место (точку) действия, - и поэтому ее математически можно обозначить некоторой векторной величиной, которая имеет скалярное значение, направление и точку приложения. Количественное значение силы в системе СИ имеет размерность «Ньютон» («Н»). При решении задач, связанных со строительными конструкциями, как правило, силы имеют значения тысяч Ньютон, поэтому наиболее удобно использовать производную единицу - «килоНьютон» («кН»).

Ð

3

Ð

2

Ðèñ. 1.1

Ð

1

На расчетных схемах при решении инженерных задач сила показывается в виде вектора (рис. 1.1), который обязательно характеризуется точкой приложения.

Силы, являясь мерой механического

воздействия между материальными объектами, по характеру его проявления и по условиям решения какой-либо задачи классифицируются как сосредоточенные и распределенные, внешние и внутренние, активные и реактивные.

Сосредоточенная сила – это характеристика механического взаимодействия между двумя телами, которое происходит в одной конкретной точке рассматриваемого тела. Она изображается на схемах как вектор, приложенный к конкретной точке тела (рис.1.1).

Распределенная сила – это характеристика механического взаимодействия между двумя телами, которое происходит по линии или по поверхности.

Для распределенной силы должна быть обязательно известна ее интенсивность – некоторая сила, отнесенная к единице длины или площади поверхности распределения.

q
1

где:

f (L);

	q	H
	1
		м

		q	2			f (S)
		; q			H
				2		м	2

.

– интенсивность силы; при этом L и S – длина и площадь

распределения силы.

При решении инженерных задач методами статики распределенную силу заменяют сосредоточенной. При этом модуль сосредоточенной силы определяется как площадь или объем фигуры распределения силы, а ее точка приложения лежит в центре тяжести фигуры или объема фигуры распределенной силы (рис. 1.2).

à)

á)

q x L

â)

Q=q x S

1

L

Q=q x L

Q=

1

2

2

2

L

2

1

q

3

q

1

1

q

L

L

2

Рис. 1.2. Расп ределен н ая сила: а) равн о м

åðí î

ï î

длин е; б) н еравн о м ерн о

ï î

äëèí å;

â) ðàâí î ì åðí î

ï î

ï ëî ù àäè

Внешней силой называется такая сила, которая проявляется в результате взаимодействия рассматриваемого тела с другими телами, которые в данный момент не рассматриваются.

Внутренняя сила характеризует взаимодействие между собой отдельных материальных частиц, принадлежащих рассматриваемому телу. Если рассматривается не одно материальное тело, а их система, то в этом случае взаимодействие между телами системы также относится к понятию внутренних сил.

Активными силами называются такие силы, которые проявляются в результате воздействия на рассматриваемое тело со стороны других тел и которые стремятся изменить состояние рассматриваемого тела.

Реактивные силы проявляются со стороны тех тел и материальных объектов, которые стремятся удержать рассматриваемое тело в прежнем состоянии.

На одно и то же твердое тело могут действовать сразу несколько других тел и тогда механическое взаимодействие каждого из них, определяемое силой, создает систему сил. Так на рис. 1.1 показано, как к некоторому абсолютно твердому телу приложено несколько сосредоточенных сил. Совокупность этих сил определяет систему сил. Однако если две силы приложены к разным телам, то они не являются системой сил.

Система сил – это совокупность сил, приложенных к одному телу.

Система сил, которая не изменяет состояния тела, называется уравновешенной системой сил.

Одним из ключевых понятий теоретической механики является понятие внешних связей. Внешней связью называется тело, ограничивающее движение данного, рассматриваемого нами тела. Примеры связей: стол, поддерживающий книгу; рельсы, на которые опирается железнодорожный вагон; трос, на котором висит груз; подшипник, в котором вращается вал и т.д. В машинах и конструкциях для любой детали связями являются все другие детали, которые с ней взаимодействуют.

В качестве примера рассмотрим фонарь, закрепленный при помощи двух тросов в точках А и В (рис. 1.3).

S1 À

S	Â
2
	Ðèñ. 1.3	G

Фонарь обладает некоторым собственным весом G, который можно представить в виде сосредоточенной силы (1.5), приложенной в центре тяжести фонаря. Сила G является внешней силой (1.8) по отношению к рассматриваемой системе, поскольку она обусловлена взаимодействием рассматриваемого тела – фонаря, с другим телом – Землей, которое в данный момент не рассматривается. Сила G является активной силой (1.10), так как стремится изменить положение фонаря. Однако в результате наличия тросов, закрепленных в точках А и В к некоторой внешней конструкции, положение фонаря не изменяется. Таким образом, тросы в точках А и В имеют внешние связи (1.14).

Отсутствие изменения состояния фонаря во времени позволяет также говорить о том, что к фонарю приложена уравновешенная система сил (1.13). При этом силы S1 и S2, позволяющие уравновесить вес фонаря G, появляются в связях и носят название реакций связей.

Реакцией связи называется механическое взаимодействие рассматриваемого тела с тем телом, которое ограничивает его перемещение. Направление реакции связи противоположно направлению, в котором внешняя связь (1.14) препятствует движению тела. Если в месте соприкосновения тела и связи отсутствует трение, то связь называется идеальной связью.

1.4. АКСИОМЫ СТАТИКИ

Все основные положения статики выводятся на основании нескольких аксиом, которые сформулированы на основе наблюдения и изучения явлений окружающего нас реального мира.

Аксиома инерции: под действием уравновешенной системы сил (1.13) тело находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно.

Аксиома равновесия двух сил (рис.1.4): тело находится в состоянии равновесия, если к нему приложены две равные по величине и противоположные по направлению силы, имеющие общую линию действия.

Â

À Ð

Ðèñ. 1.4

Ð

Прямая A-B, вдоль которой действуют силы P, называется линией действия силы.

Аксиома присоединения или исключения уравновешенных систем сил: состояние абсолютно твердого тела (1.2) не изменится, если к нему присоединить или отбросить уравновешенную систему сил (1.13).

Проиллюстрировать суть аксиомы присоединения или исключения уравновешенных систем сил можно на основе рис. 1.5. Пусть некоторому абсолютно твердому телу была приложена уравновешенная система сил P. Добавим к этому телу дополнительную систему сил F. Тогда, если система сил F является уравновешенной, то состояние абсолютно твердого тела не изменится.

F

Ð

1

Ð

2

Ð

2

Ðèñ. 1.5

На основании этой аксиомы можно доказать справедливость утверждения о том, что силу можно

переносить вдоль линии ее действия в любую точку.
Ð
1
Такое действие не изменит состояние тела, на которое
она действует.	При	этом	следует	отметить, что
F
подобное действие, а также и сама аксиома
присоединения	или	исключения		уравновешенных
систем сил, имеет		место	только	для абсолютно

твердого тела (1.2).

Аксиома параллелограмма сил (рис. 1.6): если линии действия двух сил пересекаются, то их равнодействующая есть диагональ параллелограмма, построенного на этих силах, как

на сторонах.
Величина			равнодействующей							при
этом определяется по теореме косинусов:
R	F 1 F 2
R	F	2	F		2	2F F		cos(180	0	)
	1		2			1	2
	F	2	F		2	2F F cos ;
	1			2		1		2

Направление равнодействующей может быть определено по теореме синусов:

F		F		R
1		2
sin		sin		sin .
		F		F
				3
		1

R

R=F +F +F
1	2	3

F 2

Ðèñ. 1.7

Аксиома параллелограмма сил дает возможность найти равнодействующую нескольких сил, приложенных к телу. Для этого необходимо сложить последовательно вектора сил по правилу параллелограмма (рис. 1.7).

Аксиома равенства действия и противодействия (рис. 1.8): всякому механическому

действию всегда есть равное и противоположно направленное противодействие.
			Эту аксиому следует понимать в такой трактовке: если
	F	тело A действует на тело B с некоторой силой					FA B , то тело B
A	Â-À
		в свою очередь действует на тело A с силой				FВ А		FA B . По
	F		-F	равенства действия и		противодействия
		сути, аксиома
	Â-À=		À-Â
	B	представляет собой 3-й закон Ньютона.
	F		Следует заметить, что сила действия				FA B		и сила
	À-Â
		противодействия		FВ А	не являются системой			сил	(1.12),
	Ðèñ. 1.8	поскольку они приложены к разным телам.

Аксиома затвердевания: если деформируемое тело под действием системы сил находится в равновесии, то последнее не изменится, если тело затвердеет.

С помощью этой аксиомы устанавливается, в частности, связь между условиями равновесия сил, приложенных к абсолютно твердому телу (1.2) и деформируемому телу. Из аксиомы следует, что условия равновесия сил, приложенных к абсолютно твердому телу, необходимы и для равновесия деформируемого тела.

Аксиома освобождаемости от связей: состояние тела не изменится, если отбросить

какие-либо из наложенных связей, заменив их действие силами реакций.
à)		á)		Пусть некоторое тело находится в состоянии
				равновесия и имеет внешнюю связь (1.14) в точке K
F	F	F	RK	F	Тогда, в соответствии с	аксиомой
1	2	1		(рис. 1.9.а).
				2
				освобождаемости от связей, тело может быть
K			K	представлено освобожденным от связи, но с
	Ðèñ. 1.9			приложением	дополнительной внешней	силы –
				реакции RK в точке K (рис. 1.9.б).

Величина реакции в этом случае определяется из условия равновесия исходного тела. Направление силы реакции связи принимается совпадающим с направлением запрещенного перемещения точки K тела в месте наложения внешней связи.

Тема 4. Виды связей и реакции связей. Понятие момента силы, момент пары сил. Условие равновесия плоской системы сил. Система сходящихся и параллельных сил.

2.1.ВИДЫ СВЯЗЕЙ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ

Вокружающем нас реальном мире в пределах поверхности земли все твердые тела являются трехмерными, т.е. они имеют три линейных независимых друг от друга измерения.

Вевклидовой геометрии независимость линейных измерений обеспечивается их взаимным перпендикулярным друг к другу направлением, т.е. иначе: осями декартовой системы координат.

Каждое абсолютно твердое тело (1.2) состоит из континуума материальных точек, представляющих собой неизменную совокупность. Перемещение тела в пространстве может быть выполнено тремя одновременными прямолинейными перемещениями всех его точек вдоль координатных осей и тремя независимыми вращениями всего тела вокруг каждой из них.

Вмеханике каждое независимое перемещение абсолютно твердого тела называется его степенью свободы.

Свободное абсолютно твердое тело в пространстве имеет шесть степеней свободы: три прямолинейных перемещения вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений и три поворота (по одному вокруг каждого из этих направлений). Если абсолютно твердое тело движется так, что все его точки перемещаются в параллельных плоскостях, то можно рассматривать перемещение одного из его характерных сечений в плоскости, совпадающей с плоскостью самого сечения тела. В этом случае перемещение тела называется плоским, при котором оно имеет три независимых перемещения, т.е. три степени свободы (1.2): два линейных перемещения вдоль двух взаимно перпендикулярных направлений, лежащих в плоскости сечения, и один поворот сечения тела вокруг любой точки, которая лежит в плоскости сечения.

Таким образом, свободное абсолютно твердое тело (1.2) при перемещении в пространстве имеет шесть степеней свободы (2.1), а при перемещении в плоскости – три степени свободы.

Тем не менее, при решении задач, связанных с расчетом и анализом сооружений, практически всегда приходится иметь дело с рассмотрением несвободных абсолютно твердых тел. В своем естественном состоянии каждое из них обязательно взаимодействует некоторым образом с другими телами, т.е. их перемещение в пространстве всегда ограничено внешними связями (1.14).

Аксиома освобождаемости от связей (1.22) позволяет рассматривать несвободное твердое тело как свободное. Но при этом обязательно выполняется операция замены связей силами реакций связей (1.15) (или замены связей их реакциями). Направление реакции связи всегда противоположно направлению, в котором связь препятствует движению тела (рис. 2.1).

Для понимания сути взаимодействия тел необходимо ввести понятие шарнирного соединения. Шарнирным соединением называется такой вид соединения тел между собой, при котором возможен беспрепятственный поворот одного тела относительно другого вокруг точки соединения.

Упрощенно шарнирное соединение изображают в виде окружности, к точкам которой примыкают соединяемые тела (рис. 2.2).

Для плоских задач различают следующие основные типы внешних связей: шарнирно-подвижная опора, шарнирно-неподвижная опора, жесткая заделка.

1. Шарнирно–подвижной опорой называется такой вид связи, который запрещает перемещение тела на плоскости только в одном из возможных линейных направлений.

Шарнирно-подвижную опору (2.3) обычно условно изображают в виде абсолютно жесткого стержня, который при помощи двух шарниров соединяется с внешней средой и рассматриваемой конструкцией (рис. 2.3.а). Запрещенное линейное перемещение при этом совпадает с линией абсолютно жесткого стержня. При замене связи реакцией линия ее действия совпадает с направлением запрещенного перемещения. Также встречаются и другие изображения данной опоры (рис. 2.3.б).

2. Шарнирно–неподвижной опорой называется такой вид связи, который запрещает перемещение тела на плоскости во всех возможных линейных направлениях.

Шарнирно-неподвижную опору (2.4) обычно условно изображают в виде двух абсолютно жестких стержней, которые жестко соединяется с внешней средой, и шарнирно соединяются (2.2) с рассматриваемой конструкцией (рис. 2.4.а). В качестве запрещенных направлений линейных перемещений могут быть выбраны любые два взаимоперпендикулярных направления. Также встречаются и другие изображения данной опоры

(рис. 2.4.б).

3. Жесткой заделкой называется такой вид связи, который запрещает все возможные перемещения тела на плоскости.

Условное изображение жесткой заделки (2.5) приведено на рис. 2.5. В качестве запрещенных перемещений могут быть выбраны любые два взаимоперпендикулярных направления линейных перемещений и поворот вокруг точки с наложенной связью.

Помимо указанных основных видов связей существуют и другие типы связей. В частности распространенным видом связи в механических системах являются ползуны (рис. 2.6).

2.2. ПОНЯТИЕ МОМЕНТА СИЛЫ, МОМЕНТ ПАРЫ СИЛ

Одним из важнейших понятий статики является момент силы, который характеризует вращательное воздействие силы на твердое тело.

Моментом силы относительно точки называют произведение модуля силы на плечо этой силы относительно данной точки.

Плечом силы является кратчайшее расстояние (длина перпендикуляра) от данной точки до линии действия силы.

Точка, относительно которой определяется момент, называется моментной.

Момент силы имеет направление, которое определяется направлением поворота тела относительно моментной точки по часовой или против часовой стрелки (рис. 2.7). Обычно знак плюс принято принимать в том случае, когда сила стремится повернуть тело вокруг точки против часовой стрелки.

Пусть твердое тело, к которому приложена сила Р (рис.2.7) имеет одну закрепленную точку А, вокруг которой в плоскости чертежа оно может поворачиваться. В результате воздействия силы тело будет поворачиваться, т.е. сила создает в данном случае только вращательное воздействие, которое измеряется её моментом относительно центра А и согласно определению он равен произведению модуля силы

Р на плечо (2.7) h, т.е	M	А	(P) P h	.

При этом вращение тела происходит по часовой стрелке и, следовательно, момент имеет алгебраический знак минус (-).

Математическая символика "МА(P)" читается следующим образом: момент силы Р относительно точки А (наименование точки указывается обязательно).

Если на тело действуют силы, лежащие в одной плоскости с центром, вокруг которого создается вращательный эффект, то моменты этих сил относительно центра могут выражаться алгебраическими их значениями.

Момент силы (2.6) имеет три параметра: скалярную величину, плоскость поворота и направление поворота.

Единицей измерения скалярной величины момента силы, является «ньютонометр» (Н·м) или «килоньютонометр» (кН·м).

Моменты силы относительно центра, имеющие единую плоскость поворота, могут алгебраически складываться.

Рассматривая математическое значение вращательного эффекта силы, несложно сделать следующее утверждение: если линия действия силы проходит через центр, то момент этой силы относительно центра равен нулю, так как плечо (2.7) силы относительно центра равно нулю.

Рассмотрим систему двух сил параллельных друг другу и направленных в противоположные стороны – антипараллельных сил (рис. 2.8).

Очевидно, что сумма проекций сил Р на произвольную ось будет равна нулю, т.е. представленная система сил не имеет равнодействующей. Величина суммарного момента сил относительно

точки А определится как: M А P a P (a b) P b .

Таким образом, суммарный момент двух сил Р не зависит от расстояния до моментной точки. Следовательно, суммарный момент для данной системы сил относительно любой точки на плоскости является постоянной величиной, равной произведению силы Р на расстояние между силами.Такая система сил называется парой сил.

Кратчайшее расстояние b (рис.2.8) между линиями действия сил, составляющих пару, называется плечом пары сил.

Действие пары сил на твердое тело характеризуется её моментом. Момент пары сил определяется произведением модуля одной из сил пары на её плечо (2.10): M P b .

На расчетных схемах приложенные к твердому телу пары сил изображаются условными знаками, которые указывают на направление поворота в плоскости расчетной схемы. При этом величина момента пары сил или указывается в условии задачи или её необходимо определить.

Момент пары сил (2.1) считают положительным, если пара сил стремится вращать плоскость чертежа в сторону, противоположную вращению часовой стрелки, и отрицательным – в сторону вращения часовой стрелки.

2.3. УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Понятие момента силы дает возможность осуществлять перенос силы на плоскости не только по линии ее действия, но и параллельно самой себе. В этом случае при переносе силы P из точки А в точку B необходимо в точку B также добавить момент силы (2.6) P относительно точки B (лемма о

параллельном переносе).

Пусть на тело действует система сил, в которой силы расположены на плоскости произвольным образом (рис.2.9).

Выберем произвольную точку О, которую назовём центром приведения и, используя лемму о параллельном переносе силы, перенесем последовательно каждую силу системы параллельно самой себе в центр приведения. При этом каждый раз прибавляем момент переносимой силы относительно центра приведения. В результате выполнения таких операций мы получаем две системы сходящихся векторов. Одна из них состоит из совокупности векторов сил, которые по величине и направлению равны и параллельны соответствующим силам первоначальной системы, а вторая представляет собой совокупность добавленных векторных моментов переносимых сил относительно центра приведения.

(В целях упрощения на рис. 2.9 вторая система векторов изображена в виде системы моментов пар сил (2.9).)

Используя возможность замены системы сходящихся векторов одной равнодействующей и учитывая, что силы и моменты сил имеют разное физическое содержание, для системы сил получаем:

						(2.1)
	R P1 ... Pi ... Pn Pi

Для системы сходящихся векторных моментов равнодействующая равна:

							(2.2)
	M o M o (P1 ) ... M o (Pi ) ... M o (Pn ) M o (Pi )