sopromat 2course

Таким образом, первоначальная система произвольно расположенных сил получила эквивалентную замену в виде одной результирующей силы и одного результирующего

момента, т.е.:

						Pi ; M o M
P1		... Pi ... Pn			R				(M i )
								o

Следует заметить, что вектор силы, который входит составной частью в эквивалент, всегда приложен в центре приведения, а векторный момент как вторая часть эквивалента может быть представлен моментом пары сил и поэтому он является свободным вектором.

Главным вектором системы сил при приведении её к одному центру является векторная сумма всех сил системы.

Таким образом, можно утверждать, что главный вектор системы сил всегда приложен в центре приведения и его величина определяется через проекции всех сил системы на координатные оси, как модуль вектора равнодействующей системы сходящихся сил.

*		P	;	*		P .
R				R
x		ix		y		iy

Главный момент системы сил при приведении её к одному центру представляет собой векторную суму моментов всех сил системы относительно выбранного центра приведения:

M o M		o	(Pi ).
	Рассмотрим случай, при котором и главный вектор и главный момент системы сил
					*	0			*	0 .
				R
равны нулю, т.е.:							;	M O

В этом случае твердое тело, на которое действует такая система сил, будет находиться в состоянии равновесия (1.1).

Исходя из значений главного вектора и главного момента системы сил, можно сформулировать условия равновесия твердого тела, на которое она действует: для того, чтобы абсолютно твердое тело под действием плоской системы произвольно расположенных сил находилось в состоянии равновесия, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и

	n
главный момент системы сил были равны нулю. R* Pi		0 ;	M O*

i 1

n

mO Pi 0 .

i 1

Аналитически условия равновесия тела на плоскости можно сформулировать в виде

	P			0;
		ix
системы уравнений:				0;	(2.3)
	P
		iy
				(P ) 0.
	M		0
				i

Следует отметить, что моментная точка (2.8) для 3-го уравнения системы (2.3) может выбираться произвольно.

2.4. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

Рассмотрим два частных случая системы произвольно расположенных сил на плоскости в виде системы сходящихся сил и системы параллельных сил.

Пусть к некоторому абсолютно твердому телу (1.2) приложена система сил, линии действия которых пересекаются в одной произвольной точке О (рис. 2.10). Приведем данную систему сил в точку О аналогично случаю для произвольной системы сил. В этом случае получим, что момент каждой силы системы относительно точки О равен нулю. Таким образом,

главный момент системы сил (2.13)	M o	0	. Для соблюдения
условия равновесия в этом случае	необходимо приравнять
			n
			Pi 0 .
главный вектор системы сил (2.12) к нулю R*

i 1

равной нулю

Очевидно, что в этом случае момент, создаваемый главным вектором системы сил, относительно любой точки на плоскости также будет равен нулю. Таким образом, условие равновесия абсолютно твердого тела при действии на него системы сходящихся сил может быть сформулировано следующим образом: для того, чтобы абсолютно твердое тело под действием плоской системы сходящихся сил находилось в состоянии равновесия, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на две координатные оси плоской системы координат, в которой лежит система, были бы равными

нулю

Pix

0

;

Piy

0

.

Рассмотрим теперь систему параллельных сил. Пусть к некоторому абсолютно твердому телу (1.2) приложена система сил, линии действия которых параллельны между собой (рис. 2.11). Рассуждая аналогично предыдущим случаям, приведем систему сил в произвольную точку О.

В этом случае получим некоторый главный момент

системы сил (2.13)

системы сил (2.12)

	M o
			n
			i
R				P
	*
			i 1

M	o	(Pi )

.

и главный вектор

Однако, поскольку силы параллельны для определения главного вектора системы сил выберем систему координат, в которой ось y параллельна силам Р, а ось х – перпендикулярна. Очевидно, что в этом случае сумма проекций все сил системы на ось х

равна нулю

Pix

0

.

Тогда условие равновесия абсолютно твердого тела при действии на него системы параллельных сил может быть сформулировано следующим образом: для того, чтобы абсолютно твердое тело под действием плоской системы параллельных сил находилось в состоянии равновесия, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на параллельную ось была бы равной нулю и алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил, была бы также

Piy 0 ; M O Pi 0 .

Условия равновесия (2.4) могут быть использованы при определении опорных реакций. При решении системы уравнений равновесия некоторые неизвестные силы могут оказаться отрицательными. Это означает, что направление этой силы противоположно тому, которое было изображено на рисунке расчетной схемы.

Также следует учитывать, что для частных случаев плоской системы количество расчетных уравнений различно: для системы сходящихся сил – 2 расчетных уравнения, определяемых условием равновесия тела при действии системы сходящихся сил (2.15); для системы параллельных сил – 2 расчетных уравнения, определяемых условием равновесия тела при действии системы параллельных сил (2.16);

Оси декартовых координат целесообразно направлять так, чтобы одна из них оказалась параллельной всем силам, приложенным к твердому телу. Уравнение моментов рекомендуется составлять относительно точки, лежащей на линии действия неизвестной силы. Это даёт возможность, минуя решение системы уравнений равновесия, определить одну из неизвестных величин непосредственно из уравнения моментов.

Правильность решения задачи можно проверить, составив уравнение моментов всех сил (включая и те, которые определены решением задачи) относительно любой точки, которая лежит в плоскости действия сил и не лежит на линии действия тех сил, которые определяются. Если такое уравнение обращается в тождество типа «0=0», то задача решена верно.

МОДУЛЬ 3. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ Тема 5. Внутренние усилия в брусе, метод сечений, эпюры продольных сил в стержне.

Напряжения и деформации, закон Гука.

5.1. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ В БРУСЕ, МЕТОД СЕЧЕНИЙ, ЭПЮРЫ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ В СТЕРЖНЕ

Анализируя окружающие нас предметы, мы замечаем, что струна гитары и канат лифта растянуты. Колонны зданий, ножки стула, на котором мы сидим, сжаты. Это самые простые и очевидные виды деформаций растяжения и сжатия.

Связность тела в недеформированном состоянии обусловливается тем, что между его атомами существуют силы взаимодействия, и каждый атом находится в равновесии под действием приложенных к нему сил. Внешние силы вызывают деформацию тела, следовательно, меняются расстояния между атомами, меняется взаимное расположение атомов, меняются и силы взаимодействия между атомами. Изменение сил взаимодействия между атомами вследствие деформации мы будем называть внутренними усилиями, сопровождающими деформацию. Однако одного понятия внутренних усилий в этом случае будет мало, поскольку эти усилия могут иметь совершенно различные направления, а также создавать моменты сил (2.6), учет которых необходим при рассмотрении состояния равновесия тела (1.1). Поэтому, говоря о внутренних усилиях, будем употреблять понятие внутреннего силового фактора. Внутренний силовой фактор – есть некоторая обобщенная сила или момент силы, возникающие в сечении бруса, обусловленные силами взаимодействия элементов кристаллической решетки при ее деформации.

Изучая деформации растяжения и сжатия, будем для начала рассматривать такие загружения стержней, при которых равнодействующие всех сил и реакций лежат на одной прямой, совпадающей с продольной осью элемента. В этом случае в поперечном сечении элемента возникает один внутренний силовой фактор (5.1) – продольное усилие N (продольная сила).

Для определения внутренних усилий (продольных сил) используется метод сечений, сущность которого заключается в следующем (рис. 5.1).

Алгоритм метода сечений:

1.мысленно рассекаем стержень плоскостью, перпендикулярной продольной оси (m-n) стержня на две части и одну из частей заменяем действующими внутренними усилиями;

2.рассматриваем в равновесии одну из частей: верхнюю или нижнюю, правую или левую (в данном случае нижнюю); возникающее в сечении неизвестное усилие N, считаем положительным и направляем в сторону от сечения (в сторону отброшенной части);

3.записываем уравнение равновесия для рассматриваемой части элемента:

ΣFz = 0 Nz– P = 0, откуда Nz= P;

4.Полученный в результате решения знак «+» свидетельствует о том, что усилие растягивающее,

знак минус – сжимающее.

Следовательно, метод сечений – алгоритм последовательных действий, с помощью которых определяют внутренние усилия.

При приложении к стержню нескольких внешних сил, величина продольного усилия в стержне может изменяться в зависимости от расположения расчетного сечения. Рассмотрим стержень, представленный на рис. 5.2.а. К стержню приложены три силы Р1, Р2, Р3, находящиеся на одной прямой. Очевидно, что для такой системы сил (1.12) условия

равновесия (2.14) имеют вид Fz							0		. Запишем это уравнение и определим реакцию опоры
в точке А:
F	P P P H			A	0	, откуда		H		A	P P P 5 3			6 2 кН.
z	1	2	3								1	2	3

Определив опорные реакции, можно приступить к определению внутренних усилий в стержне. Разделим стержень на отдельные участки в точках приложения внешних нагрузок, т.е. получаем три участка – А-В, В-С, С-D.

В соответствии с методом сечений (5.2) рассечем стержень на две части сечение 1-1 и рассмотрим в равновесии левую отсеченную часть. Неизвестную продольную силу в сечении направляем в сторону растяжения (в сторону отброшенной части). Из условия равновесия получим

Fz	A B		H A 0 , откуда
	N z
A B	H A	2 кН
N z
			Аналогично в сечении 2-2, получим
				F N B C		P H	A	0 , откуда
			z		z	1
			N	B C	H A	1 2 5 3 кН
				z
						P

При рассечении сечением 3-3 на участке С-D, рассмотрим в равновесии правую отсечную часть:

Fz NzC D P3 0 , откуда NzC D P3 6 кН.

Очевидно, что на расчетные уравнения, а равно и на величину продольного усилия в элементе, место расположения сечения на каждом участке влияния не оказывает. Следовательно, величина продольного усилия на каждом участке постоянна. Построим диаграмму изменения продольного усилия по длине стержня (рис. 5.2.б). Такая диаграмма называется эпюрой продольной силы.

Эпюра – это диаграмма изменения какой-либо величины (усилия, напряжения, деформации и т. д.) по длине элемента или по высоте (ширине) поперечного сечения.

Ордината эпюры в определенном масштабе равна численному значению продольного усилия в рассматриваемом сечении элемента.

СУЩЕСТВЕННОЕ ЗАМЕЧАНИЕ!

!

Положительные значения продольных усилий откладываются вверх от оси, отрицательные – вниз в определенном масштабе или, как правило, соразмерно значениям величин усилий. На эпюрах (5.3) обязательно ставят знаки, обозначая положительную и отрицательную область эпюры. При этом сами значения ординат могут быть записаны по модулю. Также следует помнить, что обязательно должна быть указана величина, для которой построена эпюра (5.3), на участках с постоянной величиной значения указывают в начале и в конце участка, штриховка эпюры производится сплошными линиями, перпендикулярно оси элемента.

5.2. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ. ЗАКОН ГУКА

Определение внутренних силовых факторов (5.1) в элементах конструкций еще не дает возможности судить о прочности конструкции. Известно, что один и тот же груз может с легкостью порвать тонкий канат и удерживаться на более толстом. Поэтому для расчетов на прочность (3.1) необходимо иметь удельное внутреннее усилие, т.е. усилие, действующее на единицу площади поперечного сечения. Эта величина получила название напряжений. Напряжения – это усилие, действующее на единицу площади.

5.4. Напряжения (адрес файла блок VI)

Напряжения – это усилие, действующее на единицу площади. Вернитесь к тексту.

Если напряжения определяются в поперечном сечении стержня в направлении продольной оси, то такие напряжения (5.4) имеют название нормальные напряжения, поскольку направлены по нормали к плоскости сечения. По поверхности поперечного сечения напряжения могут распределяться равномерно и неравномерно (по какому-то закону). На основании определения можно записать

			dN	z
	z		dF

,

(5.1)

где dNz – величина усилия (элементарное усилие), приходящееся на некоторую бесконечно малую (элементарную) площадку dF.

Единицами измерения напряжений являются мегапаскаль МПа . Напомним, что

1МПа 1 мН2 .

В основе расчета на прочность (3.1) стержней в случае сжатия растяжения лежит условие:

	z

R

, где

(5.2)

R – расчетное сопротивление – величина максимально допустимых напряжений (5.4) в элементе, при которых прочность считается обеспеченной.

В настоящем курсе величина расчетного сопротивления R будет задана для каждого конкретного материала конструкции. Однако следует знать, что в курсах строительных конструкций (железобетонных, металлических и пр.) расчетное сопротивление будет также зависеть от вида расчетной схемы, ответственности конструкции и пр., иными словами от необходимого уровня надежности полученных результатов расчета.

Рассмотрим стержень с постоянной площадью поперечного сечения F, к концам которого приложена распределенная нагрузка (1.6) (рис. 5.3). На некоторую бесконечно малую (элементарную) площадку dF действует некоторое усилие dNz. Просуммировав все такие площадки по всему сечению, получим результирующую величину продольной силы Nz в стержне:

N z	dN z	z	dF
	F	F

(5.3)

В формуле (5.3) неизвестен закон распределения нормальных напряжений по площади поперечного сечения. Для ответа на этот вопрос на боковую поверхность элемента нанесем систему линий, перпендикулярных продольной оси элемента. После приложения нагрузки отмечаем, что эти линии не деформируются, а перемещаются поступательно. Это возможно в том случае, когда напряжения (5.4) по площади поперечного сечения распределены равномерно.

Это предположение впервые высказал голландский ученый Д. Бернулли.

Гипотеза Бернулли – сечения плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.

Тогда, в случае равномерного распределения напряжений выражение (5.3) приобретает вид:

N	z

z dF F

	z	F

, откуда

	z		N z	(5.4)
			F

Полученное выражение (5.4) совместно с условие прочности (5.2) дает возможность осуществить расчет на прочность (3.1). Так, например, пусть требуется определить площадь поперечного сечения для стержня на рис. 5.2, если он выполнен из стали с расчетным сопротивлением R=200МПа. На основании (5.4) и (5.2) запишем условие прочности

	z			N z		R , откуда
				F
	F		N z
					.
			R
			По длине стержня продольное усилие изменяется и принимает значения +2кН, -3кН и

-6кН, что четко иллюстрирует эпюра (5.3) продольных сил (рис. 5.2.б). Очевидно, что в последнее неравенство необходимо подставлять максимальное по модулю усилие Nz, тогда для всех остальных случает выполнение этого условия гарантировано. Максимальным по

модулю в нашем случае является усилие N z 6 кН, которое и подставим в неравенство

	N			6 10	3
F		z
	R			200 10		6

3 10	5	(м	2	)

0,3(см	2	)

.

Нужно заметить, что в связи с тем, что в расчетные формулы входят величины с различными производными единицами размерностей (МПа, см2, кН), рекомендуется при расчетах переводить все величины в систему СИ. Тогда конечный результат также будет иметь размерность единиц системы СИ.

Полученная величина площади позволяет подобрать сечение стержня. Например, для

круглого сечения получим минимальную величину диаметра	d	4 F			или d 0,697см .

Таким образом, для данного стержня подходит круглое сечение диаметром d=7мм.

Для определения деформаций рассмотрим стержень прямоугольного сечения длиной L с размерами поперечного сечения a и b. После приложения нагрузки стержень удлинился и

длина его стала равной L1, а размеры поперечного сечения уменьшились и стали равными a1

и b1 (рис. 5.4).

На некотором расстоянии z выделим участок стержня длиной dz. После приложения нагрузки его длина станет равной dz+ dz. Относительная деформация, т.е. отношение величины деформации к первоначальной длине

		dz	, откуда
		dz
	dz dz .

С учетом гипотезы Бернулли (5.5), если σ=const, следовательно, и ε=const, тогда получим:

L=ε

l

0

dz =εL.

Продольная деформация при простом растяжении равна
	L	.	(5.5)
	L

Здесь L – абсолютная продольная деформация.

Рассуждая аналогично найдем поперечные деформации, которые берутся со знаком «-», так как сечение сужается:

		a					b
				,			.
a			a			b
							b
Величины –						a и b – абсолютные поперечные деформации.
Для изотропных материалов
						.
a	b

Французский ученый Пуассон установил, что отношение продольной поперечной есть величина постоянная, и равная коэффициенту Пуассона.

		.

Коэффициент Пуассона (5.6) μ меняется в пределах

0 0,5 .

деформации к

(5.6)

Многочисленные экспериментальные наблюдения за поведением деформируемых тел показывают, что в определенных диапазонах перемещения точек тела пропорциональны действующим на него нагрузкам. Впервые указанная закономерность была высказана в 1776 году английским ученым Гуком и носит название закона Гука.

В соответствии с законом Гука перемещение произвольно взятой точки нагруженного тела по некоторому направлению, прямо пропорционально действующему в этом направлении усилию:

L kN .

Очевидно, что коэффициент k зависит от физико механических свойств материала, взаимного расположения расчетной точки и точки приложения и направления внешней нагрузки, а также от геометрических особенностей системы.

В современной трактовке закон Гука (5.7) определяет линейную	зависимость между
напряжениями (5.4) и деформациями (3.5), а не между силой	и перемещением.

Коэффициенты пропорциональности в этом случае представляют собой физико механические характеристики материала и уже не связаны с геометрическими особенностями системы в целом:

E ,

(5.7)

где Е – модуль упругости Юнга материала конструкции. Модуль упругости Юнга E является справочной величиной и характеризует упругие свойства материала конструкции. Измеряется модуль упругости в МПа, так же как и напряжения (5.4).

	E	L	E	или	N		L	E	, отсюда
		L			F		L

	L	NL	.	(5.8)
		EF

Формула (5.8) – закон Гука (5.7) для абсолютной деформации элемента.

EF – называют продольной жесткостью элемента или жесткостью при растяжении.

5.3. ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА

Формулы (5.4) и (5.8) получены для случая растяжения стержня распределенной нагрузкой, приложенной к его торцам. В том случае, когда нагрузка прикладывается другим способом (рис. 5.5), гипотеза Бернулли (5.5) наблюдается только в тех сечениях, которые удалены от места приложения ее на расстояние, превышающее 1,5- 2 раза больший его поперечный размер.

Напряжения (5.4) у мест приложения нагрузки распределены не равномерно, о чем свидетельствуют деформации у мест приложения нагрузки. Это явление по имени французского ученого называется принципом Сен-Венана.

Принцип Сен-Венана – при нагружении элемента статически эквивалентной нагрузкой, у которой главный вектор (2.12) и главный момент системы сил (2.13) одинаковы, в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки, напряжения мало зависят от способа приложения нагрузки.

Тема 6. Поперечный изгиб бруса. Внутренние усилия, понятие чистого изгиба. Дифференциальные зависимости при изгибе. Эпюры внутренних усилий при плоском изгибе в балках.

6.1. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БРУСА

Одной из распространенных деформаций конструкций является изгиб. Изгибу подвержены стволы деревьев при действии ветровой нагрузки, балки мостов, перекрытий и пр. Такой вид деформации появляется при действии на брус поперечных сил и характеризуется изменением кривизны бруса. В том случае, когда все силы, действующие на

брус, располагаются в плоскостях, проходящих через продольную ось стержня, изгиб называется поперечным.

Поперечный изгиб – такой вид деформации, при котором действующая нагрузка расположена в плоскостях, совпадающих с продольной осью стержня (рис. 6.1).

В том случае, когда действующая нагрузка расположена в одной плоскости, проходящей через одну из главных осей поперечного сечения, изгиб называется плоским поперечным или просто плоским.

Таким образом, плоский изгиб (6.2) является частным случаем поперечного изгиба (6.1). Изгиб стержня в вертикальной плоскости относительно главной центральной оси

чаще всего называют просто изгибом. Стержни, подверженные деформации изгиба, называются балками.

Балки прикрепляются к неподвижным основаниям при помощи опорных устройств – внешних связей (1.14), среди которых выделяют четыре основных: шарнирно-подвижная опора (2.3), шарнирно-неподвижная опора (2.4), жесткая заделка (2.5) и ползун.

Для расчета балки необходимо знать всю внешнюю нагрузку как активные силы (1.10) так и реактивные силы (1.11). Поскольку опорные реакции (1.15) чаще всего не задаются, то расчет балки (6.3) нужно начинать с вычисления опорных реакций. Для этого используют условия равновесия тела (2.14). Для системы сил (1.12) на плоскости могут быть составлены лишь три независимых уравнения равновесия тела (1.1). При этом для контроля правильности вычислений рекомендуется определение опорных реакций балок производить по следующему алгоритму.

Алгоритм определения реакций в балке:

1.ΣFz = 0 → Ha

2.ΣMa = 0 → Rb

3.ΣMb = 0 → Ra

4.Требуется доказать ΣFy = 0.

Проиллюстрируем действие алгоритма определения опорных реакций в балке (6.4) на следующем примере.

Пример 6.1. Определить опорные реакции (1.15) балки (6.3) при заданных значениях нагрузки (рис. 6.3): q= 5 кН/м, Р = 20 кН, М=10 кНм, =450.

В точке А балка имеет внешнюю связь (1.14) в виде шарнирно-неподвижной опоры (2.4). В соответствии с аксиомой освобождаемости от связей (1.22) данную связь можно заменить силами реакций НА и RА. В точке В балка имеет внешнюю связь (1.14) в виде шарнирно-подвижной опоры (2.3). Аналогично данную связь

можно заменить силой реакции RВ. Определение реакций ведем в соответствии с алгоритмом определения опорных реакций в балке (6.4):

1.ΣFz = 0, Pcos -Ha = 0, → Ha= Pcos=200,707=14,14 (кН)

2.ΣMА = 0, -Psin 2-q4 (2+2)+RB6+M=0, →

R		P sin 2 q 4 4 M
B		6

20 0,707 2 5 4 4 10 6

16,38

(кН)

3. ΣMB = 0, Psin 4+q4 2 – RA6 +M=0, →

R			Psin 4 q 4 2 M		20 0,707 4 5	4 2 10
	А		6		6

4. Проверка: ΣFy = RB + RA –Psin –q4=16,38+17,76 –

17,76 (кН)

20 0,707 – 5 4=31,14 – 31,14 0.

Реакции определены верно.

6.2. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ, ПОНИЯТИЕ ЧИСТОГО ИЗГИБА

Внутренние усилия в балке (6.3) определяются при плоском поперечном изгибе (6.2) общим методом сечений (5.2). Для этого балка разрезается поперечным сечением и рассматривается одна из отсеченных частей в равновесии под действием внешних и внутренних сил, приложенных к отсеченной части. На рис. 6.4 показана балка, загруженная сосредоточенной силой Р. Разрежем ее поперечным сечением m-m на некотором расстоянии z от левой опоры. Внешняя нагрузка на балку, представленная реакцией RA, может быть уравновешена потоком касательных усилий, направленных вниз. Равнодействующая потока касательных усилий в сечении называется поперечной силой.

ИзFy

условия

0	,	Q	y

R

равновесия получим:

A .

Однако только поперечной силой Qy обеспечить равновесие левой части балки нельзя, поскольку поперечная сила (6.5) Qy и реакция RA составляют пару силу, момент которой составит RA z.

Для обеспечения равновесия в поперечном сечении появляются нормальные (перпендикулярные к плоскости сечения) усилия. Очевидно, что нормальные усилия должны

быть уравновешены, поскольку

Fx

0

, т.е. одна их часть направлена вправо, другая влево.

При этом, не рассматривая закон распределения этих усилий по площади сечения, можно заметить, что они образуют момент равный по величине и противоположный по направлению моменту, образованного силами Qy и RA. Момент внутренних нормальных усилий в сечении балки называется изгибающим моментом.

Из условия равновесия балки получим M x RA z .

Аналогично рассмотрим правую часть балки. Из условия равновесия правой части балки следует, что поток касательных усилий в рассматриваемом сечении направлен вверх.