sopromat 2course

τ- касательные напряжения в поперечном сечении балки на расстоянии у от нейтрального слоя;

Qy – поперечная сила (6.5) в сечении балки, в котором вычисляются касательные напряжения;

Sxотс – статический момент площади (3.10) отсеченной части поперечного сечения, расположенного выше или ниже уровня у, относительно нейтральной оси х;

b – ширина сечения балки в том месте по высоте сечения, где определяются касательные напряжения,

Ix – осевой момент инерции площади (3.11) всего поперечного сечения относительно

оси х.

Формула (7.7) получена русским ученым Журавским и носит его имя.

7.4. АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ НА ПРИМЕРЕ БАЛКИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ

Рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения с размерами b и h (рис. 7.6). В произвольном сечении балки действует изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy. Определим нормальные и касательные напряжения на уровне у от нейтральной оси х.

			Нормальные напряжения определяем по формуле (7.6):
					M			x	y .
					I	x
			Момент инерции прямоугольного поперечного сечения:
I			bh3					, тогда
	x
		12
					12M x					y . Очевидно, что нормальные напряжения линейно зависят от координаты y в
					bh3

сечении. Максимальные нормальные напряжения возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной оси x и составляют:

max 6M2x .

bh

Эпюра (5.3) распределения нормальных напряжений в сечении приведена на рис. 7.6. Касательные напряжения определяем по формуле (7.7):

	Q	y	S отс
			x	.
		I x b

Статический момент площади (3.10) отсеченной части поперечного сечения, лежащей выше уровня у, можно определить как

Следовательно,

S отс F отс y

;

F

h

y

y

y

1

h

y

h

y

отс b

;

x

c

c

2

2

2

4

2

h

h

y

bh

2

4 y

2

y

S отс b

1

x

2

2

4

2

8

h

4 y

2

12Q

bh

2

1

2

2

y

h

3Qy

4 y

1

.

bh

3

8b

2F

h

2

Из полученной зависимости следует, что касательные напряжения по высоте сечения балки изменяются по параболическому закону.

При y 0,					3Qy	,
			max
					2F
при y	h		0.
2

Эпюра (5.3) распределения касательных напряжений в сечении приведена на рис. 7.6. Анализируя эпюры касательных и нормальных напряжений, можно сделать вывод о том, что

в точках максимальных нормальных напряжений касательные равны нулю, и, наоборот, в точках максимальных касательных напряжений нулю равны нормальные. В

этих точках условие прочности может быть записано в виде:

max	6M		x	R	-1 теория прочности;
	bh	2
max	3Q	y		Rср	- 2 теория прочности.
	2F

Здесь Rср – расчетные сопротивления срезу.

Как было показано ранее, условие прочности заключается в сравнении величины

действующих напряжений с максимально допустимой величиной – расчетным сопротивлением. Однако в нашем случае существуют точки, в которых действует не одно, а два напряжения различного направления. В этом случае для расчетов на прочность (3.1) используются так называемые теории прочности. Полное изучение теорий прочности выходит за рамки настоящего курса, поэтому остановимся лишь на расчетных формулах, применяющихся при расчетах металлических и бетонных конструкций. Расчетные напряжения по третьей теории прочности определяются как

σ	III		σ	2	4τ	2
	р

R

.

Третья теория хорошо согласуется с опытными данными по испытанию материалов как хрупких, так и пластичных, одинаково работающих на растяжение и сжатие.

Расчетные напряжения по четвертой теории прочности определяются как

σIVр σ2 3τ2 R .

Четвертая теория применяется обычно для материалов пластичных и положена в основу современных норм расчета стальных конструкций.