sopromat 2course

Обозначив его также Qy, найдем, что Qy= P-RB. Поскольку P- RB= RA, то получаем, что Qy – это та же самая поперечная сила, которая была приложена к левой части балки вниз, но теперь она приложена к правой части балки вверх. Таким образом, направление поперечной силы зависит от того, какая из отсеченных частей в данный момент рассматривается. Если балку не разрезать, то нельзя ставить вопрос об изображение поперечной силы, поскольку поперечная сила является внутренней силой (1.9), которую можно показать только в месте разреза. Действительно, сложив две части балки, получим целую балку, и поперечные силы при этом будут уравновешены. Поэтому на расчетной схеме балки (6.3) (не разрезанной) поперечные силы не показываются, а есть только внешняя нагрузка.

Таким же образом из условий равновесия правой части балки находим изгибающий момент: Mx=RB(a+b-z)-P(a-z).

Подставив сюда значение реакции RB=P-RA, получим значение

Mx=P(a-z+b)-RА(a+b-z)-P(a-z)=[P b-RА(a+b)]+ RА z= RА z.

(Здесь выражение в квадратных скобках представляет собой момент всех внешних сил (1.8) относительно точки B, который из условия равновесия равен нулю.)

Таким образом, поперечная сила (6.5) равна сумме проекций всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения, на направление перпендикулярное продольной оси стержня, и взятых с определенным знаком. Необходимо отметить, что при вычислении поперечной силы, нагрузка, направленная вверх слева от сечения, принимается положительной, а при рассмотрении правой части балки отрицательной. С помощью метода сечений эти знаки получаются автоматически. Однако на практике при вычислении внутренних силовых факторов все этапы метода сечений, как правило, выполнять нет необходимости, просто учитывается вся нагрузка с одной стороны от сечения. При этом нужно строго придерживаться правила знаков. Положительные направления поперечных сил при различных расположениях сечения представлены на рис. 6.5а.

Изгибающий момент (6.6) равен сумме моментов всех внешних нагрузок (сил и пар сил), расположенных по одну сторону от сечения и взятых с определенным знаком.

Изгибающий момент считается положительным, если он вызывает растяжение нижних волокон балки. Положительные направления изгибающих моментов при различных расположениях сечения представлены на рис. 6.5б.

Использование правила знаков (рис. 6.5) при определении внутренних силовых факторов в некотором сечении m-m, позволяет сразу (без записи уравнений равновесия) составить выражение суммы проекций сил или суммы моментов сил, расположенных на отсеченной части балки, с учетом их знака. Для этого при рассмотрении левой отсеченной части положительными считают направления поперечных сил и моментов, расположенных по левую сторону от сечения m-m правила знаков. При рассмотрении правой отсеченной части положительными считают направления поперечных сил и моментов, расположенных по правую сторону от сечения m-m правила знаков.

В случае, когда в поперечном сечении балки действует только изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю, изгиб называется чистым.

6.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ПРИ ИЗГИБЕ

Рассмотрим некоторую консольную балку (рис. 6.6), к которой приложена нагрузка, изменяющаяся по произвольному закону. Вырежем из балки бесконечно малый элемент длиной dz, в пределах которого распределенную нагрузку можно считать равномерно распределенной.

На левой и правой грани рассматриваемого элемента действуют положительные внутренние силовые факторы. Под действием приложенной нагрузки и внутренних силовых факторов (5.1) выделенный элемент должен находиться в равновесии. Запишем уравнения статики:

ΣFy = 0;

ΣMК = 0;

Qy + q(z)dz – (Qy + dQy) = 0 →			dQ	y	= ± q(z)
			dz
Mx + Qzdz + q(z)dz·	dz	– (Mx + dMx) = 0 →
	2

dM	x
dz

= ± Qy

(6.1)

(6.2)

Знак «+» или «-» в формулах (6.1) и (6.2) зависят от направления оси z. Для правосторонней системы координат берется знак «+».

Первая зависимость (6.1) называется первой теоремой Журавского, вторая (6.2) – второй теоремой Журавского.

6.3. ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ В БАЛКАХ

Внутренние силовые факторы (5.1) изменяются в зависимости от положения сечения. Характер изменения изгибающего момента и поперечной силы по длине балки представляют в виде эпюр (5.3).

Построение эпюр внутренних силовых факторов в балках выполняется в определенной последовательности.

1.Вычисляется и показывается на расчетной схеме вся внешняя нагрузка. Обычно активная нагрузка задается, а реакции опор следует определить.

2.Балка разбивается на отдельные участки. Участком балки называют часть балки между точками приложения сосредоточенных нагрузок, точками начала или окончания распределенной нагрузки.

3.На каждом участке вводится "плавающая" система координат, нуль которой совмещается с одной из границ участка балки (6.8) и составляются аналитические выражения для изгибающего момента (6.6) и поперечной силы (6.5).

4.По аналитическим функциям внутренних силовых факторов (5.1) и их значениям на границах участков балки (6.8) строятся эпюры. При этом на эпюре Qy положительная ордината откладывается вверх, а на эпюре Mx вниз. Это связано с принятым правилом знаков. Принято говорить, что эпюра Mx строится со стороны растянутого волокна балки.

5.Дифференциальные зависимости (6.1) и (6.2) используются для контроля правильности построения эпюр.

!

СУЩЕСТВЕННОЕ ЗАМЕЧАНИЕ!

!

СУЩЕСТВЕННОЕ ЗАМЕЧАНИЕ!

Пример 6.2. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для заданной балки (рис. 6.7).

1) Определяем опорные реакции (см. пример 6.1):

RA=17.76кН, HA=0, RB=16.38кН.

2) Разбиваем балку на участки: балка содержит 3 участка – АС, СВ и BD.

3) На участках АС и СВ в произвольном месте проводим сечение соответственно I-I и IIII и рассматриваем левую отсеченную часть балки. Для этого на каждом участке вводим систему координат z1 и z2, совмещая её начало с левой границей участка. На участке ВD проводим сечение III-III и рассматриваем отсеченную правую часть. Нуль системы координат z3 совмещаем с правой границей участка.

Каждый участок рассматривается независимо от других. Так, рассматривая, например, участок 2 рассеченный сечением II-II, все остальные сечения игнорируют. Т.е. каждое сечение разрезает балку только на две части – правую и левую.

Начало местной системы координат zi на участке совмещается с одной из границ участка балки (6.8). При этом, если рассматривается левая отсеченная часть, то начало координат совмещается с левой границей участка, при рассмотрении правой отсеченной части – с правой границей. Выбор между левой и правой частью осуществляется произвольно, как правило, по принципу наименьшей сложности анализа.

Составляем аналитические зависимости:

Участок 1 0≤z1≤2м.

Qy=RA=17.76 кН.

Получили постоянное значение, не зависящее от координаты z1.

Mx= RA z1=17.76 z1.

Получили прямолинейную зависимость момента Mx от координаты z1. Для построения этой прямой достаточно знать значение функции в 2-ух точках.

Mx(0)=17.76 0=0.

Mx(2)= 17.76 2= 35.52 кНм.

Участок 2 0≤z2≤4м.

Qy=RA –P– q z2= 17.76 – 14.14 –5z2=3.62–5z2 кН.

Получили прямолинейную зависимость поперечной силы Qy от координаты z2. Для построения этой прямой достаточно знать значение функции в 2-ух точках.

Qy(0)= 3.62–5 0=3.62 кН. Qy(4)= 3.62–5 4= –16,38 кН.

M =R		2 z		-P z		- q z		z	2	= 35.52 17.76z		14.14z		2.5z	2	35.52 3.62z		2.5z	2
	A		2		2		2				2		2		2		2		2
x								2

Получили квадратичную зависимость момента Mx от координаты z2. Для построения этой квадратной параболы определим значения функции на границах участка.

Mx(0)=35.52+3.62 0 – 2.5 02=35.52 кНм. Mx(4)= 35.52+3.62 4 – 2.5 42=10 кНм.

Для построения параболы выясним местоположение её вершины. Известно, что положение экстремума любой функции может быть найдено путем приравнивания первой производно к нулю:

dM	x
dz

Q	y

3.62 5z	2

0

, откуда

z	2

		3.62
		5

0.724м

[0,4] – вершина попала на участок

Найдем значение момента в вершине параболы:

Mx,max = Mx(0.724)= 35.52+3.62 0.724 – 2.5 0.7242=36.83 кНм.

Определим направление выпуклости параболы. Для этого воспользуемся анализом второй производной функции по координате:

d	2	M				dQ
				x			y	5	0
	dz					dz
			2

– функция выпукла в положительном направлении оси ординат.

Однако, поскольку на эпюре моментов положительные ординаты откладывают снизу, то парабола имеет выпуклость вниз. Для уменьшения путаницы, связанной с системой координат, при построении эпюры моментов, говорят, что парабола на эпюре моментов выпукла в направлении распределенной нагрузки на участке.

СУЩЕСТВЕННОЕ ЗАМЕЧАНИЕ!

!

В том случае, когда вершина параболы не попадает на рассматриваемый участок, парабола может быть построена по граничным значениям и направлению выпуклости.

Участок 3 0≤z3≤2м.

Qy=0.

Mx= M=10кНм.

Очевидно, что последний участок балки (6.8) является участком чистого изгиба (6.7).

4)По полученным аналитически точкам строим эпюры Mx и Qy (рис. 6.7). При этом на эпюре Qy положительная ордината откладывается вверх, а на эпюре Mx вниз. Значения ординат проставляются в начале и в конце каждого участка, а также в экстремальных точках с указанием их местоположения. Знаки ординат указывают на эпюре в кружке. Эпюры подписывают и проставляют размерности ординат.

5)Контроль правильности построенных эпюр начинают обычно с проверки скачков.

Скачком называется разрыв функции второго рода, когда lim	f (z) lim f (z) . Такие скачки
z a 0	z a 0

появляются на эпюре поперечных сил в точках, где приложены на балке сосредоточенные силы, а на эпюре моментов в точках, где приложены сосредоточенные моменты. При этом, величина скачка должна быть равна величине сосредоточенной нагрузки в данной точке. Так, для нашего примера имеем скачки на эпюре Qy в точках А, С и В, которые соответственно равны – 17.76кН, 14.14 кН и 16.38кН. Скачки соответствуют приложенным в этих точках сосредоточенным нагрузкам. На эпюре моментов Mx скачок присутствует

только в точке D, равный 10кНм, что соответствует приложенному в этой точке сосредоточенному моменту М=10кНм.

СУЩЕСТВЕННОЕ	При отсутствии в точке сосредоточенной нагрузки никаких
ЗАМЕЧАНИЕ!	скачков на эпюрах балки быть не должно.

!

Также в качестве проверки используют следствие дифференциальных зависимостей (6.1) и (6.2). Так, при q=0, получим, что Qy =const, а Mx=f(z), т.е. на участке, где распределенная нагрузка отсутствует, поперечная сила постоянна и эпюра имеет вид горизонтальной линии, а эпюра моментов имеет вид произвольной прямой. Такими участками на балке являются участок 1 и 3. При q=const, получим, что Qy = f(z), а Mx=f(z2), т.е. на участке, где есть равномерно распределенная нагрузка, поперечная сила имеет вид произвольной прямой, а эпюра моментов имеет вид квадратной параболы. Таким участком на балке является участок 2.

Тема 7. Нормальные напряжения при изгибе. Рациональное сечение балок. Касательные напряжения при изгибе. Анализ напряженного состояния при изгибе

7.1. НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

Поскольку изгибающий момент (6.6) является моментом внутренних нормальных усилий в поперечном сечении, то для определения нормальных напряжений (5.4) рассмотрим стержень в состоянии чистого изгиба (6.7), когда в сечениях возникают только изгибающие моменты. Это может быть балка (6.3), загруженная по торцам моментами (рис. 7.1). Задача определения нормальных напряжений является статически неопределимой, так как не известен закон распределения нормальных напряжений по высоте сечения балки. Поэтому необходимы дополнительные условия, которые можно получить исходя из экспериментальной практики наблюдения за деформациями (3.5) балки при чистом изгибе

(6.7).

Для начала рассмотрим балку, имеющую ось симметрии в плоскости изгиба, например, балку прямоугольного сечения (рис. 7.1). На боковой поверхности балки нанесем продольные и поперечные линии (на рис. 7.1 по две таких линии). На нижней и верхней поверхности установим четыре тензометра, которые ориентируем попарно вдоль балки и поперек балки (рис. 7.1.а). (Тензометр – прибор рычажного типа, позволяющий измерить изменение расстояния между двумя точками.)

После загружения продольные линии искривляются и изменяются по длине. Верхние линии (a-b) становятся короче, а нижние (c-d) длиннее, о чем свидетельствует показания тензометров Т1 и Т2. При переходе от растяжения к сжатию можно выделить линии, длина которых не изменяется. Назовем такие линии нейтральными. Поперечные линии не искривляются, а лишь поворачиваются вокруг некоторых точек, лежащих на нейтральной линии.

В поперечном сечении торцы балки деформируются, сохраняя ось симметрии. Вверху балка становится шире, а внизу – уже, о чем свидетельствуют показания тензометров Т3 и Т4. Деформации продольные (по тензометрам Т1, Т2) в несколько раз превышают поперечные, и связь между ними такая же, как и при растяжении через коэффициент Пуассона (5.6).

На основании экспериментальных наблюдений вводятся некоторые гипотезы.

Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Сечения, плоские до загружения балки, остаются плоскими и после загружения, поворачиваясь вокруг некоторой линии.

Гипотеза о не надавливании волокон друг на друга. Волокна балки при чистом изгибе не давят друг на друга, а находятся в состоянии простого растяжения.

Волокна понятие условное, представляющее собой некоторую нить предельно малой толщины, параллельную продольной оси балки. Представим, что балка изготовлена из отдельных склеенных между собой проволок. После загружения верхние проволоки, испытывающие сжатие, становятся толще, но они не нажимают друг на друга, а просто балка в этом месте становится шире. Нижние проволоки растягиваются и становятся тоньше, не отрываясь друг от друга, просто сечение в этом месте становится уже. Есть также волокна, которые не претерпевают удлинений, которые называют нейтральными. Нейтральные волокна формируют нейтральный слой.

Нейтральным слоем называют слой, который при деформации не изменяет своей длины. Нейтральной линией называется линия пересечения нейтрального слоя с поперечным сечением.

7.1. Нейтральный слой / нейтральная линия (адрес файла блок VI)

Нейтральным слоем называют слой, который при деформации не изменяет своей длины. Нейтральной линией называется линия пересечения нейтрального слоя с поперечным сечением.

Вернитесь к тексту Деформация балки изменяется по высоте сечения, а по ширине остается постоянной.

Следствием этого является сохранение оси симметрии при загружении. После загружения поперечные сечения имеют вид равнобокой трапеции.

Разрежем балку на две части и рассмотрим одну из них в равновесии под действием внешних и внутренних сил (рис. 7.2).

Выберем систему координат:

z – продольная ось балки; y – ось симметрии, совпадающая с плоскостью загружения; х – нейтральная ось, положение которой пока не известно. Пусть в некоторой точке с координатами (x,y) расположена бесконечно малая площадка dF с напряжением . Система сил, приложенных к элементу, объемная. Из шести уравнений три тождественно равны нулю. Остальные три уравнения можно записать в виде:

x			dF 0
P 0,
		F
M y 0, dF x 0
			F
M x	0,		dF y M
			F

, поскольку в данном случае

М	x

M

, то

(7.1)

(7.2)

dF y M x F

(7.3)

Для вычисления этих интегралов необходимо знать распределение напряжений по площади F. Для получения такого распределения вырежем на расстоянии z двумя сечениями, расположенными на расстоянии dz, элемент балки и рассмотрим его в деформированном состоянии (рис. 7.3). Нас интересует деформация волокна, взятого на произвольном расстоянии y от нейтральной оси. Первоначальная длина этого волокна, как и всех других, была равна dz. После деформации такая длина сохранилась лишь на нейтральной оси балки. При dz 0 будем полагать, что рассматриваемая часть балки искривляется по некоторой окружности с радиусом . Радиус будем называть радиусом кривизны изогнутой балки. По рис. 7.3 очевидно, что dz=d . Длина рассматриваемого волокна будет составит ( -y) d. Относительная деформация волокна

	l		( y)d dz				( y)d d		y	.
	l			dz			d
Согласно второй гипотезе на основании закона Гука (5.7) получим
E				E y						(7.4)

Очевидно, что с изменением положения волокна, изменяется только координата y. Следовательно, в соответствии с (7.4) распределение напряжений по высоте сечения является линейным.

Подставим

(7.1):

		E	y dF
			F

полученную

0	, откуда
		F

зависимость (7.4) в

y dF S	x	0	.

Статический момент площади равен нулю относительно центральных осей. Следовательно, ось х, которая является нейтральной линией, проходит через центр тяжести поперечного сечения балки.

Подставим (7.4) в (7.2), получим

		E	y x dF
			F

0

, откуда

y x dF I xy F

0

.

Следовательно, система координат (x,y) является главной центральной. Это значит, что плоскость нагружения должна проходить через одну из главных центральных осей, а другая ось при этом будет совпадать с нейтральной линией.

Подставим (7.4) в (7.3)

	E
		y y dF
		F

M	x

. Поскольку

y	2	dF
F

I	x

, то получим

1		M	x	.	(7.5)
		EI	x

Величина	1	называется кривизной балки при изгибе и определяется по формуле (7.5).
7.2. Кривизна балки (адрес файла блок VI)
Кривизной балки				называют величину обратную радиусу кривизны, которую
определяют по формуле			1		M	x	.
					EI
						x
Вернитесь к тексту

Величину, равную произведению EIx, называют жесткостью при изгибе или изгибной жесткостью.

7.3. Жесткость при изгибе / изгибная жесткость (адрес файла блок VI)

Жесткостью при изгибе или изгибной жесткостью называют величину, равную произведению EIx.

Вернитесь к тексту Подстановка кривизны балки (7.2) в формулу напряжений (7.4) получим расчетную формулу

для определения нормальных напряжений при чистом изгибе:

M x y . (7.6)

I x

Знак "-" в формуле (7.6) свидетельствует о том, что при положительных моментах верхние волокна балки, имеющие положительные координаты y, сжаты, а нижние – растянуты.

Методами «Теории упругости» доказано, что полученная формула (7.6) может быть применима и при поперечном изгибе, когда в сечениях балки действуют не только изгибающие моменты (6.6), но и поперечные силы (6.5). Это возможно в том случае, когда длина балки l больше ее высоты h в пять и более раз.

Из формулы (7.6) очевидно, что нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону. Максимальная величина напряжений возникает в наиболее удаленных волокнах от нейтральной оси:

			M x	y			M x	.
	max				max
			I x				Wx

Здесь Wх – момент сопротивления площади (3.14) относительно оси х.

7.2. РАЦИОНАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ БАЛОК

На рис. (7.4) показана эпюра распределения нормальных напряжений по высоте сечения балки. Учитывая, что напряжения по высоте сечения балки распределены не равномерно, материал, расположенный возле нейтрального слоя нагружен мало. Поэтому в целях экономии и снижения веса конструкции для элементов, работающих на изгиб, следует выбирать такую форму поперечного сечения, чтобы большая часть материала была удалена от нейтральной линии. Если из прямоугольного сечения удалить материал в непосредственной близости к нейтральной линии (7.1), то получим двутавровый профиль.

В соответствии с (7.6) геометрической характеристикой, которая регламентирует несущую способность балки при изгибе, является момент сопротивления Wx. Масса балки пропорциональна площади поперечного сечения F. Следовательно, чем больше величина этого соотношения момента сопротивления к площади сечения, тем более балка эффективна.

	W	x
	F

-критерий оценки эффективности профиля.

7.3.КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

При поперечном изгибе (6.1) бруса в сечениях балки действуют изгибающие моменты и поперечные силы. Изгибающие моменты вызывают действие нормальных напряжений, поперечные (перерезывающие) силы – касательные напряжения. Касательные напряжения возникают не только в поперечных, но и в продольных сечениях. При этом происходит сдвиг волокон относительно друг друга, что противоречит гипотезе плоских сечений. Однако, как сказано выше, влияние этого фактора на величину нормальных напряжений не велико.

Рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения, загруженную сосредоточенной силой Р (рис. 7.5). Вырежем двумя поперечными сечениями на расстоянии dz друг от друга элемент балки. По граням этого элемента действуют касательные напряжения, направленные в разные стороны. Из этого элемента горизонтальной плоскостью на произвольном расстоянии y от нейтральной оси отрезаем параллелепипед и рассмотрим его в равновесии.

Введем гипотезу о распределении касательных напряжений по ширине сечения балки. Касательные напряжения в балке, на некотором расстоянии у от нейтральной оси, по ширине сечения постоянны и направлены в сторону действия поперечной силы.

Эти напряжения легко определяются из уравнения равновесия параллелепипеда: dT=dN.

Здесь dT =b dz – равнодействующая касательных усилий на горизонтальной грани аbb1a1. Равнодействующая нормальных усилий на левой вертикальной грани аdd1a1:

N dF			M x	y1dF	M x		y1dF		M x	Sxотс .
F	F		I x			I x	F		I x
отс	о тс						o тс
Здесь	S отс -	статический				момент		площади (3.10) отсеченной части (грани аdd1a1)
	x

относительно нейтральной оси х.

Аналогично можно найти равнодействующую нормальных усилий N+dN на правой грани параллелепипеда, где в отличие от левой грани действует изгибающий момент Mx+dMx. Следовательно,

dN	dM x		S отс , откуда получаем равенство
	I x		x
b dz		dM x		S отс . Выражая отсюда касательные напряжения , получим
				x
			I x

	dM	x		S отс		dM	x
				x	. Поставим сюда дифференциальную зависимость (6.2)
	dz			bI x		dz

расчетную формулу для определения касательных напряжений при изгибе:

	Qy S xотс		.
	I x b

В формуле (7.7) обозначено:

= Qy, получим

(7.7)