Анализируя данную систему, можно заметить, что для получения уравнения (II ) с максимальным по модулю коэффициентом при x2 достаточно со-

ставить разность (A)−(Б):

x1 + 5 x2 + x3 + 0 x4 = 1 (II )

Теперь в новую систему вошли уравнения (A), (Б), (Г), поэтому в уравнение (IV ) обязательно должно войти уравнение (B) исходной системы. Под-

бором убеждаемся, что за уравнение (IV ) можно взять линейную комбинацию:

2 (A)−(Б)+ 2 (В)−(Г), т.е.

3 x1 + 0 x2 + 0 x3 − 9 x4 = 10 (IV )

Таким образом, преобразованная система получена при следующих преобразованиях:

(I )		(Г)
(II )	(А)−(Б)
(III )		(В)
(IV )		2 (A)−(Б)+ 2 (В)−(Г)

В итоге получим преобразованную систему уравнений, эквивалентную исходной и удовлетворяющую условиям сходимости процесса итераций. Разрешив полученную систему относительно диагональных неизвестных, получим систему

x1 = −0 ,4 +0 x1 −0 ,2 x2 + 0 ,1 x3 −0 ,2 x4
	= 0 ,2 +0 ,2 x1 +0 x2 −0 ,2 x3 + 0 x4
x2
	= −0 ,4 + 0 ,2 x1 −0 ,4 x2 + 0 x3 + 0 ,2 x4
x3
	= −1,111 +0 ,333 x1 +0 x2 + 0 x3 + 0 x4
x4

к которой можно применить метод итераций.

2. Метод Зейделя

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итераций. Основная идея метода состоит в том, что при вычислении (k + 1)-го

8

приближения неизвестной xi учитывать уже вычисленные (k + 1)-е приближения неизвестных x1 , x2 ,..., xi−1 .

Пусть дана приведенная система линейных уравнений:

xi = βi + ∑n	αij x j	(i = 1,2,...,n)
j=1
Выбираем начальное приближение (разумное):
	x1(0) , x2(0) ,..., xn(0)

Далее предполагая, что k -е приближение известно, будем строить приближение корней по следующим формулам:

x1(k +1) = β1 + ∑n	αij x(jk )
j=1
x2(k +1) = β2 +α21 x1(k +1) + ∑n		α2 j x(jk )
	j=2

(2.1)

(k + 1)-е

	........................................		(2.2)
	i−1	n
	xi(k +1) = βi + ∑αij x(jk +1)	+ ∑αij x(jk )
	j=1	j=i
	........................................
	n−1
	xn(k +1) = βn + ∑αnj x(jk +1) +αnn xn(k )		(k = 0 ,1,2,...)

j=1

Или в развернутом виде:

x1(k +1) =α11 x1(k ) +α12 x2(k ) +α13 x3(k ) + ...+α1n xn(k ) + β1

x2(k +1) =α21 x1(k +1) +α22 x2(k ) +α23 x3(k ) + ...+α2 n xn(k ) + β2

(2.3)

x3(k +1) =α31 x1(k +1) +α32 x2(k +1) +α33 x3(k ) + ...+α3n xn(k ) + β3

M

xn(k +1) =αn1 x1(k +1) +αn2 x2(k +1) +αn3 x3(k +1) + ...+αnn−1 xn(k−+11) +αnn xn(k ) + βn

Отметим, что указанная выше теорема сходимости для метода итераций остается верной и для метода Зейделя.

9

Обычно, но не всегда, метод Зейделя дает лучшую сходимость Пример 3. Методом Зейделя решить систему уравнений:

10 x1 + x2 + x3 = 122 x1 + 10 x2 + x3 = 13

2 x1 + 2 x2 + 10 x3 = 14

Приведем систему к виду, удобному для итераций:

x1 = 1,2 −0 ,1 x2 −0 ,1 x3x2 = 1,3 −0 ,2 x1 −0 ,1 x3x3 = 1,4 −0 ,2 x1 −0 ,2 x2

В качестве нулевых приближений корней возьмем:

x(0) = 1,2	x(0) =0	x(0) =0
1	2	3

Применяя метод Зейделя последовательно получим: Первый шаг:

x1 = 1,2 −0,1 0 −0,1 0 = 1,2

x2 = 1,3 −0,2 1,2 −0,1 0 = 1,06

x3 = 1,4 −0,2 1,2 −0,2 1,06 = 0,948

Второй шаг:

x1 = 1,2 −0,1 1,06 −0,1 0,948 = 0,9992

x2 = 1,3 −0,2 0,9992 −0,1 0 ,948 = 1,00536

x3 = 1,4 −0,2 0,9992 −0,2 1,00536 = 0,999098

и т.д.

Результаты вычислений с точностью до четырех знаков приведены в таблице 2.1

Таблица 2.1 Вычисление решения системы линейных уравнений методом Зейделя

k	x(k )	x(k )	x(k )
	1	2	3
0	1,2000	0,0000	0,0000
1	1,2000	1,0600	0,9480
2	0,9992	1,0054	0,9991
3	0,9996	1,0001	1,0001
4	1,0000	1,0000	1,0000
5	1,0000	1,0000	1,0000

Точные значения корней: x1 = 1 , x2 = 1 , x3 = 1 Пример расчета представлен на рис. 2.1

10

11

Рис. 2.1

Пример расчета по методу Зейделя в Microsoft Excel