- •Список принятых сокращений
- •Тема 1. Информатика и информационные технологии.
- •Лекция 1. Информатика и информационные технологии. Основы алгоритмизации.
- •Информатика и информационные технологии.
- •Основные направления применения вычислительной техники
- •Этапы исследования прикладных задач
- •Основы алгоритмизации процессов обработки информации
- •Схемы алгоритмов
- •Лекция 2. Машинная арифметика и погрешности вычислений
- •Двоичные числа
- •Научное обозначение
- •Машинные числа
- •Компьютерные числа с плавающей точкой
- •Погрешность решения задачи
- •Структура погрешности
- •Значащие цифры
- •Распространение ошибки
- •Единицы измерения информации
- •Тема 2. Операционная система Windows
- •Лекция 3. Основные сведения об операционной системе Windows
- •Классификация программного обеспечения
- •Операционная система
- •Общие сведения об операционной системе Windows 98
- •Свойства объектов
- •Графическая оболочка Windows 98
- •Файловая система компьютера: имена файлов
- •Файловая система компьютера: папки
- •Файловая система компьютера: полное имя файла
- •Управление объектами с помощью «мыши»
- •Операции над объектами: операции над папками
- •Операции над объектами: операции над файлами и ярлыками
- •Операции над объектами: операции копирования и переноса
- •Некоторые стандартные программы
- •Элементы стандартного окна системы Windows 98
- •Управление окнами
- •Диалоговые окна. Окна свойств.
- •Доступ к файловой системе компьютера при помощи приложения «Мой компьютер».
- •Доступ к файловой системе компьютера при помощи программы «Проводник»
- •Тема 3. Табличный процессор Excel
- •Лекция 5. Основные сведения о табличном процессоре Excel
- •Краткая история Excel
- •Excel – табличный процессор.
- •Концепция объектной модели
- •Интерфейс пользователя
- •Работа с книгами
- •Рабочее поле табличного процессора (Таблицы)
- •Активная клетка.
- •Интервал клеток.
- •Ввод данных в клетку.
- •Лекция 6. Работа с формулами в табличном процессоре Excel
- •Элементы формул
- •Ввод формул
- •Ручной ввод формул
- •Ввод формул с указанием ссылок на ячейки
- •Предельный размер формул
- •Применение операторов в формулах
- •Приоритет операторов
- •Вложенные скобки
- •Ошибки в формулах
- •Понятие «функция»
- •Категории функций
- •Типы аргументов функций
- •Способы введения функций в формулу
- •Ручной ввод функций
- •Вставка функции с помощью диалогового окна Мастер функций
- •Полезные советы по вводу функций
- •Некоторые наиболее часто используемые функции
- •КОРЕНЬ
- •ACOS
- •ASIN
- •ATAN
- •СТЕПЕНЬ
- •СУММ
- •СРЗНАЧ
- •ОКРУГЛ
- •Логические функции
- •Лекция 7. Форматирование ячеек
- •Изменение параметров шрифтов
- •Форматирование чисел
- •Форматирование обрамления и заливки
- •Выравнивание содержимого ячеек
- •Отмена форматирования
- •Лекция 8. Удаление, перенос и копирование клеток
- •Удаление содержимого клеток.
- •Перенос содержимого клеток.
- •Копирование содержимого клеток.
- •Распространение содержимого клеток
- •Случаи копирования
- •Ссылки на ячейки и диапазоны ячеек
- •Создание абсолютной ссылки
- •Создание ссылок на ячейки других рабочих листов или рабочих книг
- •Использование ссылок для восстановления данных поврежденного файла
- •Создание точной копии формулы
- •Скрытие формул
- •Уровни защиты
- •Защита формулы от перезаписи
- •Защита структуры рабочей книги
- •Лекция 9. Построение диаграмм
- •Мастер диаграмм
- •Изменение типа диаграммы
- •Изменение названия осей координат и диаграммы
- •Выделение отдельного элемента диаграммы.
- •Общие действия с выбранным элементом диаграммы.
- •Добавление и изменение легенды.
- •Замена ряда данных.
- •Вставка координатной сетки.
- •Изменение координатной сетки.
- •Вращение трехмерной диаграммы.
- •Вывод в диаграмме меток данных.
- •Приложения
- •Приложение 2. Контрольные вопросы
- •Приложение 3. Список лабораторных работ
- •Часть 1. Вычислительная техника
- •Часть 2. Численные методы
- •Список литературы.
- •Основная литература
- •Дополнительная литература
Предельная относительная погрешность приближения а* определяется отношением δ (a*)= (aa** ). Отсюда получается часто используемое соотно-
шение:
(a*)=δ (a *) |
|
a * |
|
. |
(2.12) |
|
|
Структура погрешности
Есть четыре источника погрешности результата: математическая модель, исходные данные, приближенный метод и округления при вычислениях
(рис. 2.2).
СТРУКТУРА ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТА |
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ |
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ |
ПОГРЕШНОСТЬ МЕТОДА |
ОКРУГЛЕНИЯ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИЯХ |
Рис. 2.2 Структура погрешности результата численного решения
Один из типов погрешностей обусловлен неадекватностью выбранной математической модели исходной физической. Эта неадекватность в большей или меньшей степени присуща всем приближенно решаемым задачам. Данная погрешность является неустранимой, и она определяется на восьмом этапе решения задачи (см. рис. 1.1). Остальные три типа погрешностей являются сугубо вычислительными и обусловлены следующими причинами.
Исходные данные зачастую неточны; например, это могут быть экспериментально измеренные величины. Так, например, в прецизионных физических измерениях точность доходит до 10-12, но уже характерная астрономическая и геодезическая точность равна 10-6, а во многих физических и технических задачах погрешность измерения бывает 1 – 10%. Погрешность исходных данных
19
δ x приводит к так называемой неустранимой (она не зависит от математика) погрешности решения δ y = A(x +δ x)− A(x).
Если устранить неопределенность в исходных данных, например, путем их фиксирования и найти решение с помощью какого-либо численного метода, то получится результат, не в точности соответствующий исходным данным. Это есть погрешность численного или какого-либо другого приближенного метода (например, приближенно-аналитического); именно такие погрешности будут оцениваться при рассмотрении численных методов. Эти оценки могут получаться до выполнения вычислений (априорные оценки) и после них (апостериорные оценки).
Погрешность метода связана с тем, что точные оператор и исходные данные заменяются приближенными. Например, заменяют интеграл суммой, производную – разностью, функцию – многочленом или строят бесконечный итерационный процесс и обрывают его после конечного числа итераций. Методы строятся обычно так, что в них входит некоторый параметр; при стремлении параметра к определенному пределу погрешность метода стремится к нулю, так что эту погрешность можно регулировать.
Погрешность метода целесообразно выбирать так, чтобы она была в 2–5 раз меньше неустранимой погрешности. Большая погрешность метода снижает точность ответа, а заметно меньшая – невыгодна, ибо это обычно требует значительного увеличения объема вычислений.
Вычисления, как на бумаге, так и на ЭВМ выполняют с определенным числом значащих цифр. Это вносит в ответ погрешность округления, которая накапливается в ходе вычислений.
Компьютерное представление действительных чисел ограничено фиксированной точностью мантиссы. Истинное значение не всегда точно сохраняется в компьютерном представлении. Фактически число, которое хранится в компьютере, может усекаться или содержать округленную последнюю цифру. Таким образом, поскольку диск компьютера работает только с ограниченным количеством цифр в машинных числах, вводится ошибка округления и распространяется на последующие вычисления.
При решении больших задач выполняются миллиарды действий. Казалось бы, начальные ошибки возрастут в 109 раз, и погрешность ответа будет огромной. Однако при отдельных действиях фактические погрешности чисел могут иметь разные знаки и компенсировать друг друга. Согласно статистике при N одинаковых действиях среднее значение суммарной ошибки превышает еди-
ничную примерно в N раз, а вероятность заметного уклонения суммарной ошибки от среднего значения очень мала. Следовательно, если нет систематических причин, то случайное накопление ошибок не слишком существенно.
Отметим, что в большинстве прикладных задач неприятностей можно избежать, проводя расчет с двойной или тройной точностью. Такая возможность реализована в хороших математических обеспечениях ЭВМ; это в несколько раз увеличивает время расчета, зато позволяет пользоваться уже известными алгоритмами, а не разрабатывать новые.
20
При любых расчетах справедливо правило: надо удерживать столько значащих цифр, чтобы погрешность округления была существенно меньше всех остальных погрешностей.
Значащие цифры
Значащими цифрами приближенного числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.
Первые п значащих цифр приближенного числа называются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, соответствующего п-й значащей цифре, считая слева направо. Излишние сохраненные цифры, помимо верных, называются сомнительными.
Вычислить приближенное число с точностью ε = 10−n означает, что необходимо сохранить верной значащую цифру, стоящую в п-м разряде после запятой.
На практике возникает необходимость в округлении приближенного числа, т.е. замене его числом с меньшим количеством значащих цифр. Для округления числа до п значащих цифр следует отбросить все его цифры, стоящие справа от п-й значащей цифры. При этом:
а) если первая из отброшенных цифр меньше 5 , то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения;
б) если первая из отброшенных цифр больше 5 либо равна 5 и среди остальных отброшенных цифр есть ненулевые, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица;
в) если первая из отброшенных цифр равна 5 и остальные отброшенные цифры нулевые, то последняя оставшаяся цифра не изменяется, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.
Абсолютная и относительная погрешности записываются в виде чисел с одной или двумя значащими цифрами, и они округляются с избытком. В записи приближенных чисел они указываются так:
|
a = a * ± |
a = a* (1 ±δ ). |
(2.13) |
Например, π = 3,141 ±0,0006 ; π = 3,141(1 ±0,02%). |
|
||
Если |
в записи числа не указано, |
то подразумевается, что а имеет точ- |
ность половины единицы (1/2 ед.) младшего разряда. Так, для а=5,63 абсолютная погрешность = 0,005 .
Распространение ошибки
Рассмотрим, как ошибка может распространиться в последующих вычислениях. Рассмотрим сложение двух чисел р и q (истинные значения) с приближенными значениями р* и q*, которые содержат соответственно ошибки εp и
εq . Начнем с p = p* +εp и q = q* +εq , их сумма равна: |
|
p + q = (p* +εp )+(q* +εq )= (p* +q* )+(εp +εq ) |
(2.14) |
Следовательно, для сложения ошибка суммы равна сумме ошибок слагаемых.
Распространение ошибки в умножении более сложно. Произведение равно:
21
p q = (p* +εp ) (q* +εq )= p* q* + p* εq + q* εp +εp εq |
(2.15) |
Отсюда, если р и q больше 1 по абсолютной величине, то члены p* εq и q* εp показывают, что, возможно, происходит увеличение первоначальных ошибок εp и εq . Это становится понятно, если посмотреть на относительную ошибку. Перегруппировав члены в (2.15), получаем:
|
|
|
|
|
|
|
p q − p* q* = p* εq + q* εp +εp εq |
|
|
(2.16) |
||||||||||||||
Предположим, что |
p ≠ 0 и q ≠ 0 . Затем можно разделить (2.16) на pq, что- |
|||||||||||||||||||||||
бы получить относительную ошибку при вычислении произведения pq: |
||||||||||||||||||||||||
δp q = |
|
p q − p* q* |
= |
p* εq + q* εp +εp |
εq |
= |
|
p* εq |
+ |
q* εp |
+ |
εp εq |
. (2.17) |
|||||||||||
|
p q |
|
|
|
|
|
|
p q |
|
|
|
p q |
|
|
|
p q |
|
p q |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Более того, предположим, что р* и q* являются хорошими приближениями |
||||||||||||||||||||||||
для р |
и q, тогда |
p* |
|
≈ |
1 , |
q* |
|
≈ 1 и δp |
δq = |
εp |
εq |
|
≈0 (δp |
и δq равны |
||||||||||
|
|
p |
|
q |
|
p |
|
|
q |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относительным ошибкам при приближениях р* и q*). Затем, произведя эти замены в (2.17), получим простое соотношение:
δp q |
= |
p q − p* q* |
≈ |
εq |
+ |
εp |
+0 |
=δp |
+δq . |
(2.18) |
|
p q |
q |
p |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Это показывает, что относительная ошибка произведения pq приближенно равна сумме относительных ошибок приближений p* и q* .
Единицы измерения информации
При записи и обработке информации на компьютере, количество информации измеряется в байтах и битах.
Бит (англ. bit, от binary – двоичный и digit – знак), наименьшая единица количества информации, двоичная единица. Бит в вычислительной технике – двоичная цифра, двоичный разряд. Число бит памяти ЭВМ определяет максимальное количество двоичных цифр, вмещаемых ею; число бит данных есть количество двоичных разрядов, в которых они записаны. Более крупные единицы измерения: килобит (1 Кбит = 210 бит = 1024 бит), мегабит (1 Мбит = 220
бит = 1048576 бит).
Байт (англ. byte), единица измерения количества информации при ее хранении, передаче и обработке на ЭВМ. Состоит из 8 бит (двоичных единиц). Информация, содержащаяся в одном байте обычно достаточна для представления одной буквы, цифры, знака препинания или 2 десятичных цифр. Более крупные единицы измерения: килобайт (1 Кбайт = 210 байт = 1024 байта), мегабайт (1 Мбайт = 1024 Кбайт = 220 байт = 1048576 байт), гигабайт (1 Гбайт = 1024 Мбайт = 230 байт = 1073741824 байт).
22