Лекция 2

Номограммы

В некоторых случаях строят номограммы, существенно облегчающие применение для систематических расчетов сложных теоретических или эмпирических формул в определенных пределах измерения величин. Номограммированы могут быть любые алгебраические выражения. В результате сложные математические выражения можно решать сравнительно просто графическими методами.

Построение номограмм — трудоемкая операция. Однако, будучи раз построенной, номограмма может быть использована для нахождения любого из переменных, входящих в номограммированное уравнение. Применение ЭВМ существенно снижает трудоемкость номограммирования.

Существует несколько методов построения номограмм. Для этого применяют равномерные или неравномерные координатные сетки. В системе прямоугольных координат функции в большинстве случаев на номограммах имеют криволинейную форму. Это увеличивает трудоемкость, поскольку требуется большое количество точек для нанесения одной кривой.

В полуили логарифмических координатных сетках функции имеют прямолинейную форму и составление номограмм упрощается.

Методика построения номограмм функции одной переменной у = f(x) или многих у = f(x1 х2, ..., хп) описана ранее и сводится к построению кривой, семейства или серии семейств путем принятия постоянных и нахождения одной переменной.

Номограмма для расчета технологических и теплотехнических

параметров процесса досушивания сена

активным вентилированием с использованием солнечного

коллектора

G1 - масса подвяленной травы, т; wн - начальная влажность материала, %; Мвл – масса влаги, удаляемой из досушиваемого сена,

т;

- продолжительность

вентилирования сена атмосферным воздухом до кондиционной влажности, ч;

Lm - массовый расход воздуха, т/ч;t - среднедневная

температура подогрева воздуха, °С; QU- полезное тепло, МДж; E - плотность потока солнечной радиации на горизонтальной поверхности, МДж/(м2 ч); S -

рабочая площадь гелиоподогревателя, м2

Диаграммы, гистограммы

100

80

60

40

20

0

Методы подбора эмпирических формул

На основе экспериментальных данных можно подобрать алгебраические выражения, которые называют эмпирическими формулами. Такие формулы подбирают лишь в пределах измеренных значений аргумента x1—xn. Эмпирические формулы имеют тем большую ценность, чем больше они соответствуют результатам эксперимента.

Необходим ость в подборе эмпирических формул возникает во

многих случаях. Так, если аналитическое выражение сложное, требует громоздких вычислений, составления программ для ЭВМ, то часто эффективнее пользоваться упрощенной приближенной эмпирической формулой. Опыт показывает, что эмпирические формулы часто незаменимы для анализа измеренных величин. К эмпирическим формулам предъявляют два основных требования

— по возможности они должны быть наиболее простыми и точно соответствовать экспериментальным данным в пределах изменения аргумента.

Методы подбора эмпирических формул (продолжение)

Таким образом, эмпирические формулы являются приближенными выражениями аналитических формул. Замену точных аналитических выражений приближенными, более простыми называют аппроксимацией, а функции

аппроксимирующими.

Процесс подбора эмпирических формул состоит из двух этапов. На первом этапе данные измерений наносят на сетку прямоугольных координат, соединяют экспериментальные точки плавной кривой и выбирают ориентировочно вид формулы.

На втором этапе вычисляют параметры формул, которые наилучшим образом соответствовали бы принятой формуле. Подбор эмпирических формул необходимо начинать с самых простых выражений. Результаты измерений многих явлений и процессов аппроксимируются простейшими эмпирическими

уравнениями типа у = а + bх ,

(1)

где а, b —.постоянные коэффициенты

Аппроксимация

Линеаризованным уравнением (1) можно выразить зависимость между влажностью и плотностью грунта, количеством проходов раздатчика кормов и неравномерностью смеси, продолжительностью перемешивания компонентов корма и степенью однородности смеси и т. д.

Поэтому при анализе графического материала необходимо по возможности использовать линейную функцию. В этом случае применяют метод выравнивания. Он заключается в том, что кривую, построенную по экспериментальным точкам, представляют линейной функцией.

Для преобразования некоторой кривой в прямую линию вводят новые переменные X и Y: Х= f1(х,у); Y= f2(х,у). (2)

В этом уравнении X и У должны быть связаны линейной зависимостью

Y= a + bX.

(3)

Значения X и Y можно вычислить на основе решения системы (2). Далее строят прямую (рис.), по которой легко графически вычислить параметры

а (ордината точки пересечения прямой с осью Y) и b (4) - тангенс угла наклона прямой с осью Y :

Графическое определение

(4)

	При графическом определении параметров а и b
	обязательно, чтобы прямая (1) строилась на
	координатной сетке, у которой	*****
	началом является точка У = 0 и X = 0. Для расчета b
	необходимо точки Yi и Xi принимать на крайних
	участках прямой.

Основные виды графиков эмпирических формул

****

Аппроксимация (продолжение)

Таким образом, аппроксимация экспериментальных данных прямолинейными функциями позволяет просто и быстро установить вид эмпирических формул.

Графический метод выравнивания может быть применен в различных случаях, когда экспериментальная кривая на сетке прямоугольных координат имеет вид плавной кривой.

Рассмотрим основные случаи.

Если экспериментальный график имеет вид рис. а , то

необходимо применить формулу (см. рис.) Заменяя X = lgх и Y = lg у, имеем Y = lga + bХ.

При этом экспериментальная кривая превращается в прямую линию на логарифмической сетке.

Если экспериментальный график имеет вид рис. б, то нужно использовать выражение (см. рис.)

Заменяя У = lg у, имеем Y = lga + xblge.

Корреляционный анализ

Под корреляционным анализом понимают исследование закономерностей между явлениями (процессами), которые зависят от многих, иногда неизвестных факторов. Если две переменные зависят друг от друга так, что каждому значению х соответствует значение у, то между ними существует функциональная связь.

Суть корреляционного анализа сводится к установлению уравнения регрессии, т. е. вида кривой между случайными величинами, оценке тесноты связей и достоверности результатов измерений.

Чтобы предварительно определить наличие

корреляционной связи между х и у, наносят
точки на график и строят так называемое
корреляционное поле (рис. ). По тесноте
группирования точек вокруг прямой или
кривой линии, по наклону линии можно	*****
визуально судить о наличии корреляционной
связи. Так, из рис. а видно, что
экспериментальные данные имеют
определенную связь между х и у. В то же
время измерения, приведенные на рис. б,
такой связи не имеют.