§2. Определители квадратных матриц

Вспомним, что квадратной матрицей называется матрица А_nnс одинаковым количеством строк и столбцов.

Определение 1.2. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие некоторое число, которое называется определителем матрицы А. Это число обозначается det A¹ (или греческой буквой дельта Δ):

.

Необходимость введения определителя – числа, характеризующего квадратную матрицу А, – тесно связана с решением систем линейных уравнений (об этом см.§5).

Определителем матрицы А=( a₁₁ ) первого порядка считается числоа₁₁.

Рассмотрим, как вычисляется определитель матрицы более высокого порядка n>1. Для этого введем некоторые понятия.

Определение 2.2. МиноромM_ij элементаa_ij,матрицыА_nnназывается определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный изАвычеркиваниемi-й строки иj-го столбца (1≤ i ≤ n,1≤ j ≤n).

Например, для матрицыминор.

Определение 3.2.Алгебраическим дополнением элемента a_ijматрицыАназывается соответствующий минорM_ij , взятый со знаком (1)^i+j (знак “ + ”, если суммаi+j– четна, знак “”, если сумма нечетна).

Например, алгебраическое дополнение элемента a₂₃указанной выше матрицыА есть

.

Определителем матрицы Апорядкаnбудем считать число

.

□

Определитель матрицы 3-го порядка по данной формуле запишется следующим образом:

.

.

■

Важную роль для вычисления определителей играет следующая теорема.

Теорема Лапласа.Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементовлюбой строкина их алгебраические дополнения:

, где

Эта формула называется разложением определителя по строке i.

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементовлюбого столбцана их алгебраические дополнения:

, где

Эта формула называется разложением определителя по столбцу j.

Значение теоремы Лапласасостоит в том, что она позволяет свести вычисление определителейn-го порядка к вычислению определителей (n-1)-го порядка.

Обычно определители 2-го и 3-го порядка вычисляются по следующим формулам:

1. ,

где соответствующие произведения элементов берутся либо со знаком “ + ” (левая схема), либо со знаком “ ” (правая схема):

2) ,

где соответствующие произведения элементов берутся либо со знаком “ + ” (левая схема), либо со знаком “ ” (правая схема):

Это правило называется правилом треугольников.

□

■

Самостоятельно вычислить определитель упомянутой выше матрицыА, используя формулу разложения по первой строке и правило вычисления определителей второго порядка. Вычислить определитель той же матрицы по правилу треугольников. Убедиться, что вычисления разными способами дают одинаковый результат.

Определение 4.2.Матрицами“треугольного” видаусловимся называть квадратные матрицы, у которых все элементы выше (или ниже) одной из диагоналей – нулевые.

Определитель матрицы, “треугольной” относительно главнойдиагонали,равен произведению диагональных элементов матрицы:

(1.2)

□

Убедимся в справедливости формулы (1.2), вычислив определитель (n=3) разными способами.

Разложим определитель по первому столбцу. Поскольку два элемента первого столбца равны нулю, то два слагаемых в разложении также будут равны нулю:

.

Полученный определитель снова разложим по первому столбцу:

.

Тот же результат мы получим, перемножив, следуя формуле (1.2), элементы главной диагонали:

.

■

Перечислим свойства определителей². Используя эти свойства, мы сможем достаточно быстро и просто вычислять определители высоких порядков (4-го, 5-го и т.д.)

1. Определитель не изменяется при транспонировании матриц.

2. Определитель меняет знак, если поменять местами две любые строки (столбца) матрицы.

3. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить другую ее строку (столбец), умноженную на некоторое число.

4. Определитель умножится на некоторое число, если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на это число. Отсюда следует, что за знак определителя можно выносить общий множитель любой строки (столбца).

5. Определитель равен нулю, если:

• все элементы любой строки (столбца) равны нулю;

• элементы любых двух строк (столбцов) пропорциональны (частный случай – равны).

□

Проиллюстрируем справедливость свойства 5 на примере. Разложим определитель по второму столбцу:

.

■

При вычислении определителей целесообразно так преобразовать исходную матрицу с помощью свойств 15, чтобы полученная матрица имела “треугольный” вид, а затем вычислить её определитель, опираясь на формулу (1.2).

□

Вычислим определитель 4-го порядка приведением его к “треугольному” виду.

Вынесем общие множители 1-го, 3-го и 4-го столбцов за знак определителя (свойство 4). Умножим первую строку на (1), прибавим ее ко 2-й, 3-й и 4-й строкам (свойство 3). Применяя формулу (1.1), вычислим определитель.

■