§6 Решение систем линейных уравнений общего вида. Метод Гаусса

В предыдущем параграфе мы рассмотрели частный случай решения систем линейных алгебраических уравнений, когда система содержит одинаковое количество уравнений и неизвестных, причём основная матрица системы является невырожденной. Часто на практике приходится решать системы, не удовлетворяющие этим условиям. Для таких систем (так называемых систем общего вида) существует универсальный метод решения, предложенный немецким математиком К. Гауссом (1777-1855).

Определение 1.6.Две системы уравнений с одинаковым числом неизвестных называютсяэквивалентными, если множества всех решений этих систем совпадают.

Элементарные преобразования исходной системы приводят к эквивалентной системе.

К элементарным преобразованиям системы уравненийотносятся следующие:

1. перестановка уравнений или слагаемых в уравнениях;

2. умножение какого-либо уравнения системы на число k≠0;

3. прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое число;

4. удаление уравнений, являющихся линейными комбинациями других уравнений системы.

Пусть задана система mлинейных алгебраических уравнений сnнеизвестными:

(1.6)

Представим общий порядок решения этой системы.

Необходимо определить совместность системы. Выпишем основную матрицу Асистемы, а также матрицу , составленную из коэффициентов и свободных членов. Матрицаназываетсярасширенной матрицейсистемы.

.

Теорема Кронекера–Капелли.Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы, т.е.rangA=rang .

По теореме Кронекера–Капелли: если ранги этих матриц не совпадают, то система не имеет решений (несовместна).

Определение 2.6.Рангом совместной системы линейных алгебраических уравнений называется ранг ее матрицы.

Пусть заданная система (1.6) совместна и ранг её равен r. Выделим в матрице системы некоторый базисный минор; предположим, что именно первыеrстрок являются базисными⁴. Тогда по теореме о базисном миноре (см. §4) остальные строки матрицы являются линейными комбинациями этих строк. В свою очередь, это означает, что в исходной системе первыеrуравнений, соответствующие базисным строкам матрицы, являются базисными, а остальные – их линейными комбинациями. Тогда эти (n-r) уравнения можно удалить, причём в результате указанных элементарных преобразований мы получаем эквивалентную систему:

(2.6)

Эта система характерна тем, что ее ранг rравен числу уравнений в ней, причем ранг не превосходит числа неизвестных (rn). Поэтому возможны два случая: либоr=n, либоr<n.

1. В первом случае (r=n) система имеет квадратную невырожденную матрицу порядкаrи, согласно теореме Крамера, существуетединственное решениеэтой системы.

2. Рассмотрим теперь случай, когда r<n. Перенесем в правые части уравнений все слагаемые, содержащиех_r+1,х_r+2, … ,х_n. Тогда система (2.6) принимает вид:

(3.6)

Неизвестные х_r+1,х_r+2, … ,х_nназываютсясвободными.

Неизвестные х₁,х₂, … ,х_r, соответствующие базисным столбцам, называютсябазисными.

Из полученной системы (3.6) можно найти выражения базисных неизвестных через свободные, согласно теореме Крамера, рассматривая правые части этих уравнений как элементы столбца свободных членов, содержащие х_r+1,х_r+2, … ,х_n. Можно показать, что базисные неизвестныех₁,х₂, … ,х_rлинейно выражаются через свободные неизвестные.

Поскольку свободные неизвестные могут принимать любые числовые значения, то исходная система имеетбесконечное множество решений.

Придавая свободным неизвестным х_r+1,х_r+2, … ,х_n конкретные числовые значенияи вычисляя значениях₁,х₂, … ,х_rбазисных неизвестных, получим решение, которое называетсячастным решением системы.

Совокупность всех частных решенийназываетсяобщим решением системы. При произвольныхх_r+1,х_r+2, … ,х_nвыражения базисных неизвестных представляют общее решение системы.

Рассуждения, проведенные выше, подводят нас к универсальному методу нахождения решениялюбойсистемы линейных алгебраических уравнений. Этот метод основан на предварительном преобразовании расширенной матрицы системы к специальному виду. Рассмотрим практическую реализацию этого метода.

Метод Гаусса(метод элементарных преобразований) заключается в следующем:

• элементарными преобразованиями система приводится к равносильной системе ступенчатого вида,

• из этой «ступенчатой» системы последовательно, начиная с последнего неизвестного, находятся все остальные неизвестные.

Для уменьшения громоздкости записи удобнее оперировать расширенной матрицей системы⁵, отделяя в ней вертикальной чертой столбец свободных членов.

Для удобства описания будем считать, что матрица системы уравнений будет иметь ступенчатый вид (см. §4). Если нет, то этого можно достичь, совершая над матрицей элементарные преобразования. Кстати говоря, операция приведения к ступенчатому виду нам хорошо знакома по задачам вычисления определителей, нахождения ранга матриц.

Итак, рассмотрим некоторую систему линейных алгебраических уравнений, расширенная матрица которой имеет ступенчатый вид.

Какие возможности могут встретиться при попытке найти решение?

1. Данная система решений не имеет (система несовместна), если хотя бы одно из чисел b_r+1, … ,b_m не равно нулю. В этом случае ранг основной матрицы системы не равен рангу расширенной: rang A¹rang .

2. Данная система имеет единственное решение (система совместна и определённа), если b_r+1=…=b_m=0 и r=n. Тогда система уравнений, соответствующая матрице, будет иметь вид:

Решая последовательно уравнения системы снизу вверх, мы каждый раз будем иметь дело с уравнением, содержащим только одну неизвестную.

3. Данная система имеет бесконечное множество решений (система совместна и неопределённа), если b_r+1=…=b_m=0 и r<n .

Неизвестные х₁, х₂, … ,х_r  базисные, х_r+1, х_r+2, … ,х_n  свободные.

Система уравнений, соответствующая матрице и записанная относительно базисных неизвестных, будет иметь вид:

Общее и частные решения исходной системы находят, последовательно решая уравнения снизу вверх.

□

Исследуем и решим систему уравнений

Выпишем расширенную матрицу системы. Элементарными преобразованиями строк приведем её к ступенчатому виду.

Для удобства вычислений прибавим к элементам 1-й строки элементы 2-й строки, умноженные на (1). Теперь у насa₁₁=1.

Умножим элементы 1-й строки на (2) и (9), прибавим их соответственно к элементам 2-й и 3-й строк, чтобы все элементы 1-го столбца, стоящие под элементомa₁₁, равнялись нулю.

В новой матрице a₂₂=100. Умножим элементы 2-й строки на (2) и прибавим их к элементам 3-й строки, чтобы элемент 2-го столбца, стоящий под элементомa₂₂, равнялся нулю. Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду.

.

Рассмотрим полученную матрицу. Ранг её r=rangA=rang=2, следовательно, система совместна. Т.к. количество неизвестныхn=4 больше, чемr=2, система имеет бесконечное множество решений (неопределённа).

Количество базисных неизвестных равно r=2, количество свободных равноrn=2. Выберем какой-нибудь минор 2-го порядка полученной матрицы, отличный от нуля (базисный минор):. Его столбцы (1-й и 2-й столбцы матрицы) соответствуют неизвестнымх₁их₂– это базисные неизвестные, ах₃их₄– это свободные неизвестные.

Система, соответствующая полученной матрице , имеет вид:

Перепишем её, оставив слева только базисные неизвестные.

Выразим базисные неизвестные через свободные:

Из второго уравнения

;

из первого

.

Ответ: система неопределённа⁶, её общее решение

Частные решения системы получаются из общего её решения, если мы будем придавать свободным неизвестным конкретные числовые значения.

Например, при х₃=х₄=0 получим частное решение

, называемое базисным.

В качестве базисных неизвестных в данном примере можно выбрать любую из пар: х₁, х₂; х₁, х₃; х₁, х₄; х₂, х₄; х₃, х₄. Пару х₂, х₃ выбрать нельзя, т.к. любой соответствующий ей минор равен нулю:

.

Вид общих решений системы, соответствующих различным базисным неизвестным, отличается друг от друга. Но сами общие решения (а точнее, совокупность всех частных решений системы, которую они описывают) совпадают.

Базисными неизвестными удобнее всего выбрать пару, содержащую х₁(т.к. именно она исключена из второго уравнения системы). Пусть на этот раз базисными будутх₁их₄,

а х₂,х₃– свободными.

Перепишем систему уравнений:

Имеем: х₄=11+10х₂+5х₃,

х₁=х₄2+2х₂+х₃= 1110х₂5х₃2+2х₂+х₃= 98х₂4х₃.

Вид этого решения получился “красивее” предыдущего потому, что благодаря коэффициенту при х₄, равному (1), мы были избавлены в дальнейшем от появления дробных выражений.

Общее решение:

■

§7. N-мерный вектор и векторное пространство. Евклидово пространство

В этом параграфе мы обобщим ранее рассмотренные нами понятия.

Определение 1.7.Линейным пространствомназывается такое множествоVэлементовx,y,z, …, в котором:

• задано правило, по которому любым элементам иставится в соответствие элемент,

• задано правило, по которому любому элементу и любому действительному числуλставится в соответствие элемент,

• эти правила удовлетворяют следующим аксиомам.

Аксиомы линейного пространства

(здесь x,y,z любые элементы пространства,α,β любые действительные числа):

1. x+y = y+x;

2. (x+y)+z = x+(y+z);

3. существует такой элемент (нуль-элемент), чтох+=х;

4. для каждого элемента существует противоположный элементтакой, чтох+(х) =;

5. α(βх) = (αβ)х;

6. 1х=х;

7. α(х+у) =αх+ αу;

8. (α+ β)х=αх+ βх.

Например, множество М всех матриц размерности mn является линейным пространством с обычными линейными операциями. Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, необходимо проверить, что множество М удовлетворяет определению 1.7.

• Что касается правил: для любых ,справедливои, то они выполняются, поскольку сумма двух матриц размераmn и произведение матрицы размера mn на число являются матрицей того же размера mn.

• Некоторые аксиомы повторяют свойства операций над матрицами (см.§1), а если за нуль-элемент пространства взять нулевую матрицу и за противоположный элемент к матрице А взять матрицу (–1)∙А, то очевидна справедливость всех аксиом 1 – 8.

Самостоятельно проверьте, что множество всех решений системы линейных однородных уравнений образует линейное пространство.

Более всего нас будет интересовать пространство, элементами которого являются N-мерные векторы.

Определение 2.7.N-мерным векторомназывается любая упорядоченная совокупность изnдействительных чисел. Обозначается:

х ≡ (х₁,х₂, … ,х_n).

Числа х₁,х₂, …,х_nназываютсякомпонентамиn-мерного вектора.

N-мерный вектор иногда называют арифметическим вектором.

В дальнейшем при работе с векторами мы увидим, что выполнение многих операций над ними“ похоже” на работу с матрицей-строкой(если компоненты вектора записаны в строку)или матрицей-столбцом(если компоненты вектора записаны в столбец). Но в общем случае матрица и арифметический вектор – разные математические объекты. Каждый раз, когда в тексте будет ссылка на ранее изученные в предыдущих параграфах свойства и действия над матрицами применительно к векторам, мы будем оговариваться, что в операциях участвует не сам вектор, а столбец (строка) его компонент (координат).

Определение 3.7.Дваn-мерных векторах≡(х₁,х₂, … ,х_n) иу≡(у₁,у₂, … ,у_n) называютсяравными, если каждая компонента векторахравна соответствующей компоненте векторау:

х_i≡у_i, где .

Определение 4.7.Произведением вектора х≡(х₁,х₂, … ,х_n)на числоλназывается векторλх, каждая компонента которого равна произведению соответствующей компоненты векторахна числоλ:

λх ≡ (λх₁,λх₂, … ,λх_n).

Определение 5.7.Суммой векторов х≡(х₁,х₂, … ,х_n) иу≡(у₁,у₂, … ,у_n) называется векторх+у, каждая компонента которого равна сумме соответствующих компонент векторовхиу:

х+у ≡ (х₁+ у₁,х₂+ у₂, … ,х_n+ у_n).

Множество N-мерных векторов, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми аксиомам, является (поопределению 1.7) линейным пространством. Это пространство имеет свое название –векторное пространство.

В §4 мы рассматривали вопрос о линейной зависимости (независимости) строк матрицы. Аналогичным образом будем вести речь о линейной зависимости (независимости) системы векторов векторного пространства.

Определение 6.7. Векторbназываетсялинейной комбинациейвекторова₁,а₂, …,а_m,если

b =λ₁ a₁+λ₂ a₂+…+λ_m a_m,

где λ₁,λ₂, …,λ_m– некоторые числа.

Определение 7.7.Векторыа₁,а₂, …,а_mназываютсялинейно зависимыми, если существуют такие числаλ₁,λ₂, …,λ_m, не равные одновременно нулю, что

λ₁ a₁+λ₂ a₂+…+λ_m a_m=,

где = (0, 0,…,0) – нулевой вектор.

В противном случае (если равенство выполняется только при λ₁=λ₂=…=λ_m=0) векторы называютсялинейно независимыми.

Теорема.Система векторова₁,а₂, …,а_m(m>1) линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией других.

Определение 8.7.Рангом системы векторовназывается максимальное число линейно независимых векторов этой системы.

Ранг системы векторов совпадает с рангом матрицы, составленной из компонент этих векторов. А способы выяснения линейной зависимости (независимости) и нахождения ранга нам уже известны.

Определение 9.7.Базисом системы векторовназывается упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этой системы, линейной комбинацией которых является любой вектор системы.

Все базисы одной системы состоят из одинакового числа векторов, равного рангу этой системы.

□

Выясним, является ли система векторов линейно зависимой, а также найдем её ранг и базис: а₁≡(1, 1, 1, 1),а₂≡(0, 0,1, 3),а₃≡(1, 1, 3,5).

Для этого составим матрицу и приведем её к ступенчатому виду.

Ранг матрицы равен 2 (две ненулевые строки в ступенчатой матрице). Следовательно, система а₁,а₂,а₃содержит два линейно независимых вектора, а сама является линейно зависимой.

В качестве базисных можно выбрать любые два линейно независимых вектора, например, а₁,а₂. Тогда вектора₃является линейной комбинацией базисных: а₃=а₁2а₂(λ₁=1,λ₂=2).

■

Выше мы говорили о базисе и ранге системы векторов, т.е. некоторого конечного числа векторов. Имеет смысл говорить и о базисе всеговекторного пространства, т.е. бесконечного числа векторов.

Определение 10.7.Базисом векторного пространстваназывается упорядоченная линейно независимая система векторов.

Определение 11.7.Векторное пространство называетсяN-мерным векторным пространством Rⁿ, если в нем существуетnлинейно независимых векторове₁,е₂, …,е_n, а любые (n+1) векторов уже являются зависимыми.

Теорема.Каждый векторхN-мерного векторного пространства можно представить (и притом единственным образом) в виде линейной комбинации векторов базисае₁,е₂, …,е_n , т.е.

х=х₁ е₁+х₂ е₂+…+х_n е_n .

Это равенство называется разложением вектора х по базисуе₁,е₂, …,е_n , а числах₁,х₂, …,х_n–координатами векторахв этом базисе.

Оказывается, векторное пространство, о котором мы вели речь (стр. 43), является N-мерным векторным пространством. А это означает, что все базисы этого векторного пространства состоят изnвекторов – максимального числа линейно независимых векторов в данном пространстве. Число векторов базиса называютразмерностью пространства.

Если в формуле разложения вектора по базису компоненты векторов х,е₁,е₂, … ,е_nзаписать в виде матриц-столбцов, то задача нахождения координат векторахв некотором базисее₁,е₂, … ,е_nсводится к решению системы линейных уравнений. Эта система будет иметь единственное решение, которое может быть найдено как методом Гаусса, так и методом Крамера (см. §5).

□

Найдем координаты вектора х≡(1,2, 2) в базисее₁≡(1, 1, 0),е₂≡(1,1, 0),е₃≡(1, 2,1).

Пусть вектор хв базисе е₁,е₂,е₃имеет координаты (х₁,х₂,х₃). Тогдах=х₁е₁+х₂е₂+х₃е₃.

Составим равенство: ,

или (покоординатно):

Решая систему уравнений, получим: .

Следовательно, вектор хв базисее₁,е₂,е₃имеет координаты (0,5;1,5;2).

■

Определение 12.7.Евклидовым пространством(или пространством со скалярным произведением) назовём такое линейное пространствоV, в котором:

• задано правило, ставящее в соответствие двум элементам иодно число (х,у), называемоескалярным произведением;

• выполняются перечисленные ниже аксиомы.

Аксиомы евклидова пространства

(здесь x,y,z любые элементы пространства,α любое действительное число):

1. (х,у)=(у,х);

2. (x+y, z)=(x, z)+(y, z);

3. (αх,у)=α(х,у);

4. (х,х)0, причем если (х,х)=0, тох– нуль-элемент.

Определение 13.7.В пространствеRⁿскалярным произведениемвекто-ровх≡(х₁,х₂, …,х_n) иу≡(у₁,у₂, …,у_n) называется число (х,у), равное сумме произведений соответствующих компонент этих векторов:

(х,у) ≡х₁ у₁+х₂ у₂+…+х_n у_n = .

Проверьте, выполняются ли для заданного вопределении 13.7скалярного произведения аксиомы евклидова пространства.

Скалярное произведение имеетэкономический смысл.

Если х≡(х₁,х₂, …,х_n) – это вектор объемов различных товаров, ау≡(у₁,у₂, …,у_n) – вектор их цен, то скалярное произведение (х,у) выражает суммарную стоимость этих товаров.

□

Например, если задан вектор объема продаж четырех разных товаров набор количеств проданных товаров и вектор ценнабор стоимостей этих товаров, то выручку от продаж вычислим как:

■

Определение 14.7.Длиной(или нормой) векторах≡(х₁,х₂, …,х_n) в евклидовом пространстве называется число ||х||, равное квадратному корню из его скалярного квадрата:

.

Определение 15.7.Два ненулевых векторах,уназываютсяортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

(х,у) = 0.

Линейно независимые векторы е₁,е₂, …,е_nN-мерного евклидова пространства образуютортогональный базис, если они попарно ортогональны:

(е_i,е_j) = 0 (;ij).

Линейно независимые векторы е₁,е₂, …,е_nN-мерного евклидова пространства образуютортонормированный базис, если они попарно ортогональны и имеют единичную длину:

(е_i,е_j) = 0 и |е_i | = 1 (;ij).

□

Проиллюстрируем эти понятия на примере.

Пусть n=3. В пространствеR³векторы

е₁≡ (1, 0, 0);е₂≡ (0, 1, 0);е₃≡ (0, 0, 1),

называемые единичными, образуют ортонормированный базис, который называетсяканоническим.

Действительно, единичные векторы линейно независимы, поскольку составляют строки единичной матрицы 3-го порядка, ранг которой равен 3. А также любой вектор х ≡ (х₁,х₂,х₃)R³раскладывается по данному базису следующим образом:

х=х₁ е₁+х₂ е₂+х₃ е₃.

Длина каждого вектора е₁,е₂,е₃равна единице:

Все векторы попарно ортогональны:

■