§3. Обратная матрица. Матричные уравнения

Вспомним, что единичной матрицей n-го порядка называется квадратная матрица вида:

.

Для единичной матрицы справедливы равенства:

,

где А– произвольная квадратная матрица соответствующего порядка. В этом мы могли убедиться, выполнив упражнение §1.

Определение 1.3.МатрицаА^–1называетсяобратнойдля квадратной матрицыА, если при перемножении этих матриц получается единичная, т.е.

А^–1 А ≡ А  А^–1≡Е,

где А,А^–1,Е– матрицы одного порядка.

Обозначение обратной матрицы не должно вводить в заблуждение – это не возведение в минус первую степень, а просто обозначение.

Вспомним одно из свойств (аксиом) действительных чисел: для любого числаа0 существует обратноетакое, что. На множестве всех квадратных матриц роль «обратного числаа^-1» играет обратная матрицаА^–1.

Определение 2.3. МатрицаАназываетсяневырожденной, если ее определитель отличен от нуля (detA0), ивырожденной, если ее определитель равен нулю (detA=0).

Теорема.Обратная матрицаА^–1существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрицаАявляется невырожденной.

□

Матрица является невырожденной (det A=10), следовательно, имеет обратную матрицу.

Матрица является вырожденной (detA=0), следовательно, обратной матрицы не имеет.

■

Определение 3.3Присоединенной матрицейк квадратной матрицеАназывается матрица, элементы которойА_ijравны алгебраическим дополнениям элементовa_ijматрицыА^Т:

Возникает вопрос: как находить обратную матрицу А^–1? Делать это можно в три шага:

1. вычисляем определитель detA;

2. если detA=0, то делаем вывод, что обратной матрицы не существует;

3. если detA0, то

• находим присоединенную матрицу ,

• вычисляем обратную матрицу по формуле:

. (1.3)

Представленный алгоритм называют методом присоединенной матрицы.

В частности, обратные матрицы 2-го и 3-го порядка вычисляются по формуле (1.3) следующим образом:

1. 

□

Вычислим матрицу, обратную для .

1. detA=13;

2. detA0;

3.

.

■

2. .

□

Вычислим матрицу, обратную для .

1. 

2. detA0

3. Для удобства вычислений сначала транспонируем исходную матрицу: , затем заменяем каждый элемент матрицыА^Тего алгебраическим дополнением:

;

.

■

Итак, мы убедились, что для матриц порядка n3 обратная матрица находится сравнительно просто. А вот дляn>3 матрицуА^–1вычислять, используя приведенный выше алгоритм, очень долго. Здесь приходится применять другой метод, называемыйметодом элементарных преобразований.

Определение 4.3.Элементарными называются следующие преобразо-вания матрицы:

1. перестановка строк (столбцов);

2. умножение строки (столбца) на некоторое число k≠0;

3. прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

4. транспонирование.

Эти преобразования мы уже применяли при вычислении определителей.

Произвольная невырожденная матрица элементарными преобразованиями только строк может быть приведена к единичной матрице.

Для получения обратной матрицы А^–1 достаточно к строкам единичной матрицы Е применить те преобразования, которые приводят матрицу А к единичной матрице.

Делается это следующим образом.

1. Для данной матрицы А размера nn строим прямоугольную матрицу Γ = ( А | Е ) размера n2n, приписывая к А справа единичную матрицу размера nn.

2. С помощью элементарных преобразований над строками Γ приводим ее к виду Γ₁ = ( Е | В ).

Тогда матрица В = А^-1 – обратная для А.

Проиллюстрируем этот метод.

□

Для приведенной выше матрицы А третьего порядка запишем матрицу Γ. В левой её части мы должны получить единичную матрицу, тогда справа вместо единичной окажется А^-1.

Меняем местами 1-ю и 3-ю строки, чтобы сделать элемент a₁₁=1. Умножая элементы 1-й строки на (2) и прибавляя их соответственно к элементам 2-й строки, добиваемся того, чтобы все элементы 1-го столбца (кроме a₁₁) равнялись нулю.

Умножаем 1-ю, 2-ю, 3-ю строки на числа 7, 2, 7 соответственно. Затем, прибавляя поочередно элементы 2-й строки к элементам 1-й и 3-й, добиваемся того, чтобы все элементы 2-го столбца (кроме a₂₂) равнялись нулю.

Теперь сделаем так, чтобы все элементы 3-го столбца, кроме a₃₃, стали нулевыми. Для этого умножим элементы 3-й строки на (2) и 1 и, прибавляя их к элементам 2-й и 1-й строк, добиваемся того, чтобы все элементы 3-го столбца (кромеa₃₃) равнялись нулю.

Чтобы слева получить единичную матрицу, умножаем 1-ю, 2-ю, 3-ю строки на числа 1/7, 1/14, (1/7) соответственно.

Тогда .

Наконец, чтобы убедиться в правильности обратной матрицы, проверим выполнение определения 1.3. Для удобства вычислений числовой множитель 1/7 вынесем за знак произведения матриц.

■

Перечислим свойства обратных матриц:

Часто на практике (см. пример ниже) возникает необходимость решать матричные уравнения.

Если обозначить за Х неизвестную матрицу, то основные матричные уравнения записываются следующим образом:

А  Х₁ = В, Х₂  А = В, А  Х₃  С = В.

В этих уравнениях А, В, С, Х – матрицы таких размеров, что все используемые операции умножения возможны, и с обеих сторон от знаков равенства находятся матрицы одинаковых размеров (иначе уравнение решения не имеет).

Решить матричное уравнение – это значит найти такую матрицу, которая после подстановки в уравнение обращает его в тождество.

Если в таких уравнениях матрицы А и С – невырожденные, то их решения находятся по следующим формулам:

Х₁ = А^-1  В , Х₂ = В  А^-1 , Х₃ = А^-1  В  С^-1 .

Действительно, чтобы решить, например, первое уравнение А  Х₁ = В, умножаем обе его части на А^–1 слева:

А^–1  А  Х₁ = А^–1  В  Е  Х₁ = А^–1  В  Х₁ = А^-1  В.

В справедливости других формул убедитесь самостоятельно.

С помощью обратной матрицы можно решать задачи с экономическим содержанием. Рассмотрим простой пример.

□

Швейная фабрика в течение 3-х дней производила костюмы, плащи и куртки (см. таблицу):

Цена 1 шт. изделия>	X1	X2	X3
День	Изделие 1 -костюмы	Изделие 2 - плащи	Изделие 3 - куртки	Стоимость (тыс. у.е.)
1	50	10	30	176
2	35	25	20	168
3	40	20	30	184

Пусть матрица Апоказывает объём выпуска изделий так, что каждый элементa_ijзадаёт объём выпускаj-го изделия (j=1,2,3) заi-й день (i=1,2,3), а матрица-столбецВзадаёт стоимость всех сшитых изделий в каждый из этих дней. Надо найти матрицуХ, показывающую цену единицы каждого вида изделия.

,,.

Составим уравнение, которому должна удовлетворять неизвестная матрица: А  Х = В. Решение его Х = А^-1  В.

Вычислить самостоятельно А^-1.

Проверить ответ .

Решая уравнение, найдём матрицу Х себестоимости:

Это означает, что себестоимость одного костюма равна 1,8 тыс. у.е., одного плаща – 2,6 тыс. у.е., одной куртки – 2 тыс. у.е.

■