Высшая математика. Матрица и модули

1.8. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений

a x a

x

a

x

b

1 1 1

12

2

1n

n

1

a21x1 a2 2 x2 a2n xn b2

..................................................

a

x a

m2

x

2

a

mn

x

n

b .

m1 1

m

Процесс решения этой системы по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому, или треугольному виду, а на втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из преобразованной ступенчатой системы.

Прямой ход метода Гаусса заключается в том, чтобы с помощью ряда элементарных преобразований прийти к эквивалентной системе более простого вида.

Предположим, что коэффициент данной системы a11 0 , в противном случае в системе первую строку можно поменять местами с любой другой строкой так, чтобы коэффициент при x1 был отличен от нуля.

Преобразуем систему, исключив неизвестное x1 во всех уравнениях, кроме первого. Для этого умножим обе части первого уравнения

	на	a21	и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем
		a11
	умножим обе части первого уравнения на			a31	и сложим с третьим
				a11

уравнением системы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему

a x		a	x	2	... a	x	n	b
	1 1 1	1 2			1n			1
		a212 x2			... a21n xn			b21
		........................................
		1			1			1
		am2 x2			... amn xn			bm	.
					23

Здесь aij1 , bi 1 i , j 2, m – новые значения коэффициентов и свободных членов, которые получаются после первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом a212 0 , исключим неизвестное x2 из всех уравнений системы, кроме первого и

второго. Продолжим этот процесс, пока это возможно, в результате получим ступенчатую систему

	a11x1 a12x2		a1k xk ... a1n xn b1
		~	~	~	~
		a22x2	a2k xk ... a2n xn b2			,
			..........................................
			~	~	~
~		~	akk xk ... akn xn bk
	,…,
где a1 1 , a22		akk – главные элементы системы (k≤n);.

Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида 0=0, их отбрасывают. Если же при bi 0 появится уравнение вида bi 0 , то это свидетельствует о

несовместности системы.

При обратном ходе из последнего уравнения преобразованной ступенчатой системы выражается первое неизвестное xk через все

остальные неизвестные xk 1,..., xn , которые называют свободными. Затем выражение переменной xk из последнего уравнения системы подставляется в предпоследнее и из него выражается переменная xk 1 . Аналогичным образом последовательно определяются переменные xk 2 ,..., x1 . В результате получается общее решение системы линейных

уравнений.

Чтобы найти частное решение системы, свободным неизвестным xk 1, , xn в общем решении придаются произвольные значения и

вычисляются значения переменных xk ,..., x1 .

На практике прямой ход метода Гаусса удобно реализовывать не на самой системе, а работая с элементами расширенной матрицы

	a	...	a	b
	1 2		1n	1
	a2 2	...	a2n	b2
A		... ...			.
	...			...
		...	amn
	am2			bm
		24

При этом эквивалентные преобразования строк расширенной матрицы производятся с помощью вычисления определителей второго порядка, которые формируются относительно выбранных главных элементов. Рассмотрим, как производятся эти преобразования на примере.

П ри м е р 1 . Методом Гаусса решить систему

x1 6x2 3x3 214x1 8x2 x3 18

3x1 5x2 4x3 33.

Р еше н ие . Выпишем расширенную матрицу для данной системы:

	1	6	3	21
	4	8	1	18	.
	3	5	4	33

В качестве главного элемента на первом шаге выберем а11=1. В столбце под главным элементом все элементы заменим нулями. Остальные элементы расширенной матрицы пересчитаем с помощью соответствующих определителей второго порядка:

1	6		16,		1	3		11,			1	21				66 – для элементов 2-й строки;
4	8				4	1					4	18
	6		13,		1	3		5,		1		21		30			– для элементов 3-й строки.
1
3	5				3	4				3		33
	В результате получим эквивалентную матрицу
								1				6				3
																	21
												16				11	66
								0										.
									0			13				5	30

На втором шаге преобразований возьмем элемент а11= –16. Элемент под ним в столбце заменим нулем, а все остальные пересчитаем с помощью определителей

	16	11			63,			16	66			378 – для элементов 3-й строки.
	13	5						13	30
					1	6			3
										21
	Получим 0					16			11	66			.
						0			63	378
					0
													25

Так как r(A)=3, r( A )=3 и n=3, то заданная система совместна и определена. Найдем ее решение. Для этого запишем систему для преобразованной расширенной матрицы:

x		6x		3x 21
	1		2	3
		16x2 11x3 66
				63x3 378.

Выполним обратный ход. Третье уравнение системы разрешим относительно x3:

x3 378 6.63

Подставим найденное значение во второе уравнение системы и выразим из него x2:

16x2 11 6 66;

16x2

66 66; 16x2

0;

x2 0.

С учетом значений переменных x2 и x3 разрешим первое уравнение относительно x1:

x1 18 21;

x1 3.

Значит, система имеет следующее решение: x1 3; x2 0; x3 6.

Прим ер 2 . Для системы уравнений

3x1		4x2 x3			2x4 3
	6x1	8x2 2x3			5x4 7
	10x 12x		2	3x 10x		4	16
	1			3

найти общее решение.

Р еше н ие . Выпишем расширенную матрицу для данной системы и произведем прямой ход метода Гаусса:

		3 4 1 2					3		3 4	1 2		3			3 4			1 2			3
																	4
		6 8 2 5					7 ~		0 0	0 3		3			~ 0				1 10		18 ~
		10 12 3 10					16		0 4	1 10		18				0 0		0	1		1
3		0 0 12					21		1 0	0 4				7
~ 0		4	1 10				18 ~		0 4	1 10				18 .
	0	0 0 1					1		0 0	0 1				1

Выполним обратный ход. Для этого запишем систему для преобра-

26

зованной расширенной матрицы:

		x1 4x4	7
	4x2	x3 10x4	18
		x4	1.

Подставим в первое и второе уравнения системы х4=1, получим

		x1	3
	4x2	x3	8
		x4	1.

Выразим из второго уравнения системы, например, х3. Тогда общее решение системы будет иметь вид

x1 3

x3 8 4x2 ,x4 1

где х2 – свободная переменная решения.

П ри м е р 3 . Решить методом Гаусса систему

2x1 x2 3x3				2x4 2
	x1 x2 x3			x4 4
	3x1 2x2 4x3			6x4 3
	4x 3x	2	5x 5x		4	6.
	1		3

Р еше н ие . Выпишем расширенную матрицу для данной системы

2 1 3 2							2			1 1 1 1					4			1 1 1 1					4
1 1 1 1							4			2		1 3	2		2			0		3 1 4			6
	3 2 4		6				3		~		3 2 4		6		3			~	0	1 1 9			9		~
	4 3 5		5				6				4 3 5		5		6				0	1 1 9			10
1 1 1 1						4					1 1 1 1							4		1 1 1		1			4
0 1 1			9				9				0 1 1 9						9			0 1 1			9		9
~		0 3 1 4					6			~		0 3 1 4					6			~	0 0 2 23				21 .
		0 1 1	9				10					0 1 1 9					10				0 0 0	0			1
													27

Данной матрице соответствует система уравнений

x1 x2 x3 x4 4
	x2 x3 9x4 6
	2x3 23x4 21
	0x4 1.

Эта система несовместна, так как последнее уравнение приводит к противоречию. Следовательно, исходная система имеет пустое множество решений.

Л и т е р а т у р а: [2, гл. 15, § 15.2], [3, гл. 2, 2.2, 2.3], [4, гл. 1, § 4.4].

2. ЗАДАНИЯ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ АУДИТОРНЫХ И ДОМАШНИХ ЗАНЯТИЙ

Практическое занятие 1

3		6		1		1
						3
1. Найти А–В, если А= 8		2		, В= 0			.
	4	1			2	5

1		1 3			2 4 6
2. Найти матрицу Х из уравнения 4 3		2	1		2Х 10 2 4		.
	2	1 3				1 1 10

3. Найти АВ, если:
1 1											1 0 2		1	2
			1		2						3 1 1
a) A 0	4						;		б) А=			,	В= 0 1 .
		, B
			3 4								1 2 1
2	1										1 3 2		0	1
					1		2	5
	А2 , если А
4. Найти					2		4	10 .
					1	2		5
	3	6			1		0	3	2	. Найти E В 4В А2В.
5. Дано: А=		,	В =
	2	1			0		1 1 1

6. Проверить, выполняются ли равенства AB BA , (AB)C=A(BC) для матриц:

28

			3 0							0					2					0 0							3				0 0
		A 0						1 0 ,					B 0							5 0 ,						C 0					2 0 .
				0 0																0 4								0			0 5
										4					0
7. Вычислить AB 2CT , если
					1					1				1					2								2 4				6
			A 0							4 ,														, C
													B			3															.
								2	1												4						5 7 3
								Домашнее задание к занятию 1
														1					2				3					6			0		0
1. Даны матрицы:											А=			0				1						2	и В= 3						4		0 .				Найти
																												0
													1 0										7								5 2
А2 2АВ ВА В .
													2	1										1	1		1
2. Найти АВ, если										А=			3 3
																			и В =								.
													5	2										2	4		3
			1 0							2				1						3				0			6				5 7
3. Дано: А=				0				1		1 ,			В=			0				4					1 ,		Х=	2			2		4 .
				2 0												2												3
											2											3 0									3 6
Показать, что А Х=В Х, хотя А В .
										Практическое занятие 2
1. Вычислить определители:
	3 2								2																		2				1			2			0	0
																									3
1)			; 2)		3							;	3)		а					1			; 4)		2		1				3	; 5)		5 2 4					;
	4 6				4				5
														а						а					2		0				2			3			3	8
		4 3 5
										6 4 2											3 4 5									2 3			1
6)		2 0 1					; 7)			4		1 2					; 8)				3 2 2						; 9)			4	1 2					.
		4 1 3								1 3 1											0 1 1									3 5			0
																			29

2. Найти все миноры и алгебраические дополнения матрицы

		3	9	4	10
		0	0	0	3
		4	0	1	3	.
		2	3	3	1

3.Решить системы уравнений методом Крамера:
1)	3х 4 у 2					3х 4 у 1						3х 4 у 1
			; 2)							; 3)						;
	2х 3у		7			6х 8у 3						9х		12у 3
	2х у 3z 9							3х у				z 1
								5х		2 у 3z
4) 8х 3у 5z 13 ; 5)														2 .
								8х		3у 2z
	2х 5 у z 5													3
				Домашнее задание к занятию 2
1.Вычислить определители:
	2 1			5		4				3		1			2	3	7
									2
1)		;	2)				; 3)		4	1 5			;	4)	10 11 9			.
	3 2			6		2			1	2		1			6	8	5
2.Решить системы уравнений методом Крамера
	3х 2 у 7					2х 4 у 3z 1										х 2 у 3z 4 0
					2) х 2 у									; 3) 2х у z 3
1)				;						4z 3										0 .
	4х 5у		40			3х у 5z									3х 3у 2z 7
												2								0
						Практическое занятие 3
1. Найти обратную матрицу А-1											к данным матрицам:
a)	8		1				11 3							1 11
	A			; б)		A				;	в) A						;
								7								6
	3		5							4				4
	2		3 4					1		1 2						1	1		2
г) А 1			2 5		; д) А 2					1		2		; е) А 2			4		2 .
																	2
	4		7 6					4		1 4						4			4

Показать, что АА-1 А-1А Е.

30

2. Матричным способом решить системы линейных уравнений:

	x1 4x2 5x3 8						x1 2 x2 x3 3
								5x1 12x2 2x3 1
а)	2x1 3x2 4x3 9					б)
		x 2x	2		x 6;			4x 9x	2	2x 2;
		1			3			1		3
	x1 2x2 3x3 8,						х 2у 3z 4
		4x1 5x2 6x3 19
в)						г)	2х у z 3
		7x 8x		2	1;		3х 3у 2z 7.
		1

		Домашнее задание к занятию 3
1. Найти обратную матрицу А-1					к данным матрицам:
6			1	1	1		1	6	1
	13
			А 2	1	2 ; в) А 2 3 1					.
а) A	2	; б)
14
			4	1	3		1	5	2
Показать, что АА-1 А-1А Е.

2. Матричным способом решить системы линейных уравнений:

x1 x2			x3 3								6x1 x2 x3					10
											б) 3x1 x2 x3
a) 2x1 x2 2x3 6 ;																	15		.
4x x	2			3x			3	9			5x x		2	2x	3	20
1											1
										Практическое занятие 4
1. Решить системы уравнений методом Гаусса:
2x1 x2 x3 4														3x1		2x2					x3 5
а) 3x1 4x2 2x3
										11 ;			б) 2x1 3x2 x3 1 ;
3x 2x		2		4x 11										2x x				2			3x		3	11
1							3							1
2x1			x2 x3							2				x1 3x2								2x3			0
														2x1			x2 3x3 0
в) 3x1			x2 x3 0 ;									г)		3x 5 x							4x				0	;
4x 3x					2	x			3	1				1					2					3
1														х		17х						4х			0
																				2				3
														1
											31

	3x1 x2				2x3		x4		x5 1			4x1 3x2 2x3 x4									8
	2x1 x2				7x3		3x4		5x5			3x1 3x2						x3 3x4			7
д)										2	е)
										;												.
	x1	3x2			2x3 5x4 7x5					3		2x1 x2						x3 5x4			6
	3х 2 х			2	7х 5x			4	8x 3			5х 3 х			2			х 8x		4	1
	1					3			5			1						3
					Домашнее задание к занятию 4
Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:
	x1 x2 2x3						1				2x1 3x2 5x3 7x4 1
а) 2x1 x2 2x3 4 ;											б) 4x1 6x2 2x3 3x4 2 ;
	4x x		2		4x	3	2				2x 3x		2	11x			3	15x	4	1
	1											1
	2x1 3x2				x3		x4		1
	8x1 12x2 9x3						8x4
в)									3
									.
	4x1	6x2 3 x3 2x4 3
	2х 3 х			2	9х 7x			4	3
	1					3

3. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

При выполнении приведенных ниже заданий вместо буквы N необходимо поставить число, обозначающее порядковый номер студента в списке группы, а вместо буквы G – номер группы.

	(А2	B 4 B)T C	1		2
1. Вычислить выражение			, где A	2	G	3		,
		2

0 1 0 0 G

В1 2 1 G 2 , C 22 N .

2.Решить систему А x=b методом Крамера и матричным способом,

если

G 1		2	0				1
A	2	N 2			,	b G		.
	1	1	0
							1

Сравнить результаты решения системы в реализованных методах.

32