Высшая математика. Матрица и модули

П р о д о л ж е н и е

	1				2					3	4	5	6
		1			3	1
	4.10		2		1	1				1) 14	2) 15	3) 13	4) 16
			1		3	2
		1			3	1
	4.11		2		1	1				1) 9	2) 11	3) 10	4) 8
			1		0	2
		1			3	1
	4.12		2		1					1) 3	2) 2	3) 1	4) 4
						1
			1		0
						1
		1			3	1
	4.13		3		2	1				1) 11	2) 13	3) 12	4) 10
			1		0
						1
		2			1	0
	4.14		3		1	3				1) 9	2) 11	3) 8	4) 10
					1	2
		2
		2			1	0
	4.15			3	1	1				1) –9	2) –10	3) –11	4) –8
			2		1	2
		2			1	0
	4.16			4	1	1				1) –11	2) –13	3) –12	4) –14
			2		1	2
		3			1	0
	4.17			4	1	1				1) –5	2) –4	3) –3	4) –6
				1	1	3
		3			1	0
	4.18			2	1	5				1) –8	2) –7	3) –6	4) –5
				1	1	3
		2			1	0
	4.19			3	1	5				1) –8	2) –5	3) –7	4) –6
				1	1	2
		2			0	4
	4.20			3	1	5				1) 1	2) 3	3) 4	4) 2
				1	1	2

43

П р о д о л ж е н и е

1				2				3	4	5	6
	2			0	4
4.21			3	1	5			1) –13	2) –15	3) –14	4) –17
			5	1	2
	1			0	3
4.22			2	3	2			1) –13	2) –14	3) –15	4) –12
			5	1	9
	6			0	3
4.23			2	3	2			1) –15	2) –14	3) –16	4) –13
			5	1	2
	5			0	1
4.24			1	3	5			1) –8	2) –10	3) –11	4) –9
			5	1	2
	4			0	1
4.25			1	3	4			1) –2	2) –3	3) –4	4) –1
			4	1	2
	3			0	1
4.26			1	3	3			1) 4	2) 2	3) 1	4) 3
			3	1	2
	3			0	1
4.27			1	2	3			1) –2	2) –1	3) –3	4) 0
			3	1	2
	3			0	1
4.28		1		2	3			1) –13	2) –15	3) –14	4) –12
		3		1	2
	3			0	2
4.29			2	3	3			1) –9	2) –10	3) –11	4) –12
			3	2	2
	3			0	2
4.30			2	1	3			1) –4	2) –3	3) –6	4) –5
			3	1	2

П ри м ер. Вычислить определитель матрицы

1		1	10
			3
	2	0		.
	1	6	4
		44

Р е ш е н ие . Вычислим определитель матрицы третьего порядка по теореме Лапласа, т. е. как сумму произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения.

Алгебраическими дополнениями элемента матрицы aij называется определитель второго порядка, полученный вычеркиванием из матрицы i-й строки и j-го столбца и умноженный на (–1)i+j. Получаем

		1	10			0	3										2	3									2			0
	1
	2	0	3		1				( 1)											10											1 (0 18) 1 (8 3)
	1	6	4			6	4										1	4									1			6
[phone].																																								Ответ: 149.
Задание 5. Определить союзную матрицу для заданной.
Задание оценивается в 1 балл
Номер		Заданная
зада-																							Варианты ответов
		матрица
ния
1			2						3											4											5										6
5.1		6		5
							1)											2									)				3)										4)
		3		7
5.2		2		4
							1)											2)													3)										4)
			3 3
5.3		11		9
							1)											2)													3)										4)
			4	3
5.4		6		1
							1)											2)													3)										4)
		5		2
5.5		0		7
							1)											2)													3)										4)
		1		4
5.6		6		3
			1				1)											2)													3)										4)
				0
5.7		2		8
							1)											2)													3)										4)
		0		1
5.8		6		0																2)
			2				1)																								3)										4)
				3
5.9		8			9
			5				1)											2)													3)										4)
					6
																		45

																													П р о д о л ж е н и е
1	2		3									4									5									6
5.10	4	3	1)									2)									3)									4)
	5	4
5.11	2	3																												4)
			1)									2)									3)
	5	2
5.12	2	3	1)									2)									3)									4)
	3	2
5.13	7	5
			1)									2)									3)									4)
	5	9
5.14	4	3
			1)									2)									3)									4)
	8	6
5.15	1	2										2)																		4)
			1)																		3)
	0	1
5.16	2	3
			1)									2)									3)									4)
	3	2
5.17	6	3	1)									2)									3)									4)
	4	6
5.18	9	3
			1)									2)									3)									4)
	8	2
5.19	9	8
			1)									2)									3)									4)
	8	9
5.20	6	1	1)									2)
																					3)									4)
	9	1
5.21	0	3
			1)									2)									3)									4)
	8	2
5.22	5	3
			1)									2)									3)									4)
	4	6
5.23	7	7
			1)									2)									3)									4)
	8	8
5.24	4	4
			1)									2)									3)									4)
	8	6
5.25	9	9
			1)									2)									3)									4)
	1	1
5.26	2	2
			1)									2)									3)									4)
	5	4
									46

																								О к о н ч а н и е
1	2		3							4									5					6
5.27	3	3	1)							2)									3)					4)
	0	1
5.28	0	1	1)							2)									3)					4)
	2	0
5.29	4	1	1)							2)									3)					4)
	1	4
5.30	3	1	1)							2)
																			3)					4)
	0	1

П ри м ер. Найти союзную матрицу для заданной матрицы

1		3
A	4	2	.

Р еше н ие . Союзная матрица для матриц второго порядка имеет вид

	A11	A21		,
A		A22
	A12

где Aij – алгебраическое дополнение элемента aij.

Найдем алгебраические дополнения для элементов заданной

	матрицы: A11			= –2, A12 = –4, A21																	= –(–3) =3, A22 = 1. Составляем
	союзную матрицу: A								2				3																Ответ:					2			3
													.																										.
									4				1																					4			1
	Задание 6.			Выписать соответствующий минор Мij или алгебраическое
	дополнение Aij для заданной матрицы.
	Задание оценивается в 1 балл.
	Номер	Исходные данные																				Варианты ответов
	задания
	1			2								3									4					5								6
		2		1	3
	6.1		4	5	6				1)												2)					3)								4)
		М11,
			2	7	9
		2		1	3
	6.2		4	5	6			1)													2)					3)								4)
		М12,
			2	7	9
												47

																																												П р о д о л ж е н и е
	1					2			3											4													5													6
			2			1	3
	6.3	А12,		4		5	6		1)											2) –													3) –													4)
				2		7	9
			2			1	3
	6.4	А11,		4		5	6		1)											2)													3) –													4)
				2		7	9
			2			1	3
	6.5	М13,			4	5	6		1)											2)													3)													4)
					2	7
							9
			2			1	3
	6.6	М21,			4	5	6		1)											2)													3)													4)
					2	7
							9
			2			1	3
	6.7	А13,		4		5	6		1)											2)													3)													4)
				2		7	9
			2			1	3
	6.8	А21,		4		5	6		1)											2) –													3)													4)
				2		7	9
			2			1	3
	6.9	М22,			4	5	6		1)											2)													3)													4)
					2	7
							9
			2			1	3
	6.10	М23,			4	5	6		1)											2)													3)													4)
					2	7
							9
			2			1	3
	6.11	А22,		4		5	6		1)											2)													3)													4)
				2		7	9
			2			1	3
	6.12	А23,		4		5	6		1)											2)													3)													4) –
				2		7	9
			2			1	3
	6.13	М31,			4	5	6		1)											2)													3)													4)
					2	7
							9

48

																																									П р о д о л ж е н и е
	1					2			3											4												5										6
					2	1	3
	6.14	М32,			4	5	6		1)											2)												3)											4)
					2	7
							9
			2			1	3
	6.15	А ,		4		5	6		1)											2) –												3)											4) –
		32
				2		7	9
			2			1	3
	6.16	А ,		4		5	6		1)											2)												3)											4) –
		31
				2		7	9
					2	1	3
	6.17	М33,			4	5	6		1)											2)												3)											4)
					2	7
							9
			5			7	4
	6.18	М11,			3	6			1)											2)												3)											4)
							1
					8	0	9
			2			1	3
	6.19	А ,		4		5	6		1)											2)												3)											4)
		33
				2		7	9
			5			7	4
	6.20	А11,			3	6			1)											2)												3)											4)
							1
				8		0	9
			5			7	4
	6.21	М12,			3	6			1)											2)												3)											4)
							1
					8	0	9
			5			7	4
	6.22	М13,			3	6			1)											2)												3)											4)
							1
					8	0	9
			5			7	4
	6.23	А12,							1)											2)												3)											4)
					3	6	1
				8		0	9
			5			7	4
	6.24	А13,							1)											2)												3)											4)
					3	6	1
				8		0	9

49

																																							О к о н ч а н и е
1				2		3												4											5											6
		5		7	4
6.25	М21,					1)												2)											3)											4)
			3	6	1
			8	0
					9
		5		7	4
	М22,
6.26			3	6	1	1)												2)											3)											4)
			8	0
					9
		5		7	4
6.27	А21,		3	6		1)												2) –											3)											4) –
					1
				0
		8			9
		5		7	4
6.28	А22,		3	6		1)												2)											3)											4) –
					1
				0
		8			9
		5		7	4
6.29	М23,		3	6		1)												2)											3)											4)
					1
			8	0
					9
		5		7	4
6.30	А23,		3	6		1)												2)											3) –											4)
					1
				0
		8			9

П ри м ер. Выписать минор М22 и алгебраическое дополнение А23 для

1		3	4
	2	0	11
заданной матрицы				.
	6	4	5

Р еше н ие . Для получения минора М22 исключим из матрицы
1	4
вторую строку и второй столбец. Получаем М22=	5	.
6

Для записи алгебраического дополнения А23 исключаем из данной матрицы вторую строку, третий столбец и учитываем местоположение

элемента a23, стоящего на пересечении исключенной строки и столбца
с помощью коэффициента (–1)2+3=(–1)5=–1. В			результате		алгебра-
ическое дополнение А23	1		3
	запишется в виде А23=	6	4	.
	1		4	, А23=	1	3
	Ответ: М22=					.
	6		5		6	4
	50

Задание 7. Решить заданную систему линейных уравнений. Задание оценивается в 1 балл.

	Номер	Заданная система
	зада-													Варианты ответов
		линейных уравнений
	ния
	1	2			3											4								5										6
																1												2
		6x 3y 4					1																												1
																	3										3
	7.1		1)											2)								3)											4)
		5x 4 y 1		2															2				1												1
																			3							3
					1																				1									3
		5x 2 y 1																2
							3																		3
	7.2		1)											2)								3)											4)		1
		6x 3y 1					1									1											2
																												3								3
							3
							1																		2											1
		3x 4 y 1																2
							7																		7										5
	7.3		1)											2)								3)											4)
		2x 9 y 4					3											1										1								2
							5																					5								5
							1										2										2									4
		3x 6 y 2					5										7										3									7
	7.4		1)											2)								3)											4)
		4x 5 y 6					2												1			2														3
																			5
							5															3														8
		4x 5 y 1		1														1					3													1
	7.5		1)											2)								3)			5								4)
		3x 3y 6		1											1																				3
																									1
							1										1																			1
		7x 2 y 1																					1
							3
	7.6		1)											2)			3					3)											4)		7
		3x 3y 6							5								1						3													3
									3								3																			5
							3																		1									1
		x 4 y 1													1
																									3										7
	7.7		1)				5							2)								3)											4)
		3x 6 y 2													1												1									5
							1
																											6
																																				6
							0																												2
		x 4 y 1	1)															1					1
								1																											7
	7.8													2)								3)											4)
																																					1
		7x 8 y 2						4							3								1
																																					5
										51

П р о д о л ж е н и е

1	2			3									4								5										6
				4																			1										1
	3x 4 y 1										2																						3
7.9		1)			7					2)				5									3					4)
	2x 4 y 1				3														3)														1
																							2
					8									4																			4
																							3
					2																		1										8
	4x 3y 1													1
					7
7.10		1)								2)									3)				7					4)					5
	x 2 y 2					1								1									5										9
						5																	6										5
			2										1																				0
	5x 2 y 3																						1
														3
7.11		1)				5				2)									3)									4)					1
	x 3y 2													2									1
						4																											4
														3
																							1								1
	7x 3y 3		12									1
																							3										3
7.12		1)								2)									3)									4)
	5x 2 y 2			29								3											1										1
																							6										4
			5										5							3													1
	9x 4 y 1																																3
7.13		1)				7				2)									3)				7					4)
														23
	5x 2 y 2																																	2
						2								2									2										3
														2																	5
	5x 4 y 1				1																		1
														7
7.14		1)								2)									3)									4)					13
	3x 2 y 2		3											1									1
														5																			2
	5x 4 y 1				1							5								3											5
7.15		1)								2)				7					3)				7					4)					23
	3x 2 y 2			1
														2									2										2
						5					1																								1
	6x 4 y 1																						1
						4								3																			3
7.16		1)								2)									3)									4)
	x 2 y 2				13									1						3													1
														6																			4
						8
														5									1								5
	5x 4 y 1				1
														7									3
7.17		1)								2)									3)									4)					13
	x 2 y 3			1										8									2
																																	2
														7									3
							52