16 Нелинейные системы

Нелинейной называется такая САУ, у которой зависимость между входными и выходными переменными одного или нескольких элементов описывается нелинейными уравнениями.

Все реальные элементы и системы, строго говоря нелинейны, и к понятию линейной системы приходят путем линеаризации. Но на практике встречаются такие нелинейные элементы, к которым операция линеаризации по малому отклонению не применима. Такие нелинейности называют существенными.

Прежде всего, к нелинейным дифференциальным уравнениям не применим принцип суперпозиции. Нелинейные дифференциальные уравнения не имеют каких — либо общих методик решения. Для исследования нелинейных дифференциальных уравнений нельзя использовать аппарат преобразований Лапласа и Фурье.

Судить об устойчивости решений нелинейных дифференциальных уравнений на основании теорем Ляпунова, по дифференциальным уравнениям линеаризованных систем, можно только при малых отклонениях от установившегося движения, т е. можно судить только об устойчивости в малом. Между тем, нелинейная система, устойчивая в малом, может быть неустойчивой при больших отклонениях. Различают, кроме устойчивости в малом, следующие виды устойчивости нелинейных систем.Система называется устойчивой в большом, если она устойчива при больших конечных по величине отклонениях. Система называется устойчивой в целом, если она устойчива при любых, не ограниченных по величине, начальных отклонениях. Если система асимптотически устойчива в целом, то ее называют абсолютно устойчивой.

Особенностью нелинейных систем является возникновение в них, при некоторых начальных условиях, гармонических колебаний с определенной амплитудой и частотой, так называемых предельных циклов. Если предельный цикл устойчив, т.е. к нему сходятся все траектории сверху и снизу в определенном диапазоне начальных условий, то он называется автоколебаниями. Амплитуда и частота автоколебаний зависят только от параметров системы.

17 Низкочастотный участок лачх – влияние на переходные процессы и качество системы

Низкочастотная часть ЛАЧХ желаемой системы влияет на статику системы, т.е. она определяется требуемой точностью работы системы, а, следовательно, коэффициентом усиления системы и порядком ее астатизма. Низкочастотный участок желаемой ЛАЧХ проводят, как правило, с наклоном дб/дек и если исходная система отвечает требованиям задания по точности, то низкочастотный участок желаемой ЛАЧХ оставляют совпадающим с низкочастотным участком исходной ЛАЧХ.

V порядок астатизма

18 19 20

Прежде всего, выбираем типовую ВЧХ замкнутой САУ, отвечающую требуемым показателям качества. На рис. 9 изображена типовая трапецеидальная ВЧХ, которую можно реализовать, используя корректирующее звено наиболее простой структуры.

Рис. 9. Типовая трапецеидальная ВЧХ замкнутой системы.

Типовая ВЧХ описывается следующими параметрами:

—коэффициент наклона;

—дополнительный коэффициент наклона;

—коэффициент формы;

—интервал положительности.

P_max и P_min—максимальное и минимальное значения ВЧХ.

Из рассмотрения заранее построенных кривых переходных процессов для различных коэффициентов ,₁ и λ было установлено, что лучшие переходные процессы соответствуют ВЧХ с коэффициентами ≤ 0,8,₁ ≥ 0,4, λ ≥0,5. Величина перерегулирования σ_max в этом случае определяется в основном значением P_max. Для связи параметров переходного процесса (t_р – времени регулирования и σ – перерегулирования) с параметрами ВЧХ замкнутой САУ (P_max – максимальным значением и ω_п – частотой положительности) существуют специальные номограммы перевода (рис. 10).

Рис. 10. Графики зависимости времени регулирования t_р и перерегулирования σ от максимального значения P_max ВЧХ при ≤ 0,8,₁ ≥ 0,4, λ ≥0,5.

Отрицательная часть ВЧХ влияет на перерегулирование, увеличивая его на величину:

.(4.1)

Увеличение перерегулирования можно учесть, положив (при этом кривые с индексами P_min и P_max на рис. 11 будут располагаться симметрично):

.(4.2)

Затем по P_max по рис. 9 определяем зависимость между t_р и ω_п. По заданному t_р определяем ω_п.

После нахождения основных величин для типовой ВЧХ – ω_п, P_max и P_min – можно переходить к формированию желаемой ЛАЧХ.

Очевидно, что

P_min ≤ P(ω) ≤ P_max.(4.3)

С помощью номограммы перевода ЛАФХ разомкнутой САУ в ВЧХ замкнутой САУ (рис. 11) можно определить требование к желаемой ЛАЧХ.

Последнее условие эквивалентно требованию, чтобы ЛАФХ не заходила в запретную область, ограниченную кривыми с индексами P_min и P_max. Можно заменить это условие более жестким, но и более простым: АФХ не должна заходить в прямоугольник, охватывающий две эти кривые. Чтобы ЛАФХ не попадала внутрь указанного прямоугольника, одновременно должны выполняться условия в определенном интервале частот:

L₂ ≤ L_ж(ω) ≤ L₁

φ_ж(ω) > φ₁,(4.4)

где

φ₁ – вертикаль прямоугольника, охватывающего кривые с индексами P_min и P_max на рис. 10;

L₁ и L₂ – соответственно верхняя и нижняя горизонталь прямоугольника;

Рис. 11. Номограмма для перевода логарифмической АФХ разомкнутой системы в ВЧХ замкнутой системы