9

19.3.4.1.Формулы Бернулли и Пуассона

Решим задачу: вычислить вероятность, что А появится точно k раз в серии n независимых испытаний.

Решение. Обозначим искомую вероятность Pn(k).Отметим, что нас не интересует последовательность, в которой А появляется в серии, а интересует

только число k. В этом смысле исходы	_ _ _ _	_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
	А А А А,	А А А А, А А А А, А А А А

равноправны для нас при n=4 и k=1. В таком случае по теореме умножения независимых событий получаем вероятность появления k раз события А и непоявления n-k раз этого события равной pnqn-k. Т.к. таких ситуаций будет

столько, сколько сочетаний можно составить из n элементов по k элемнтов, то

Pn(k)=Cnkpnqn-k.

Комментарий. Полученную формулу называют формулой Бернулли. Она удобна, если серия невелика и вероятность p достаточно велика.”Велика” – в этой ситуации означает – “близка к 0,5”.

Следствия.

1. Если в схеме повторных независимых испытаний нас интересует событие “А появилось не более k1 раз “, то на основании теорем сложения и

i=k

формулы Бернулли получим Pn(k≤ k1)= ∑1 Cnipnqn-i.

i=0

Аналогично и другие следствия.

2.Если серия очень велика, а p очень мала ( если np=const), тогда формула Бернулли трудно применима (для ручной работы).Выполним некоторые преобразования,положив np= λ . Тогда получаем

k

n

q

n-k

=

n(n −

1)...(n −(k −1))

λ k

λ n−k

=

n(n −1)...(n(m −1))...(n −m)...3 2 1

=

Cn

p

k!

n

1− n

n n...n

λk

λ

n

λ −k

λ k

λ

=

=

k! е

.

k! 1− n

1− n

19.3.4.2.Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Если в СПНИ

p велика и велико n , то справедливо Pn(k)=

1

ф(х),

где

npq

1

2

х= k −np .

(ф)x=

е−

х

;

Формула

наиболее

точна при

больших

n.

2

2π

npq

Доказательства опускается, т.к. формула эмпирическая (получена но основе опытов, экспериментов).

Комментарии.

1.Значения ф(х) затабулированы (представлены в виде таблицы). 2.ф(х) - четная и потому таблица построена только для х>0. 3.ф(х) - быстроубывающая и потому при аргументе х>3,…,5 ф(х)=0.

4.Формулы Пуассона, Бернулли и локальная теорема перекрывают весь диапазон значений n и p.

5.Не следует удивляться малым значениям Pn(k) при больших n, т.к. достоверной будет ситуация , что А появится хотя бы один раз или не появится

9

10

совсем. Каждому из таких событий нужна своя часть вероятности от общей части, равной 1.

Следствия из формул.

						k −1
1.Pn (А появится менее k раз)= ∑Pn(i) .
						i=1
				k
2.Pn(k1 ≤ k ≤k2)= ∑2					Pn(k) .
				k =k1
Интегральная теорема Лапласа.
Если	в СПНИ p					достаточно велика, то при n →∞ справедлива
приближенная формула Pn(k1 ≤ k ≤k2)= Ф(х2)-Ф(х1), где
		х	t2
Ф(х) =	1	∫е−		dt , х= k		−np .
			2
	2π	0				npq

Док-во. Используем следствие 2 из предыдущей теоремы, где каждое слагаемое вычислим по локальной теореме Лапласа. Получим

k	k	1	х	1
Pn(k1 ≤ k ≤k2)= ∑2	Pn(k) = ∑2		ф(х)= ∑2		ф(х). Мы видим, что эта
k =k1	k =k1	npq	х2	npq

сумма похожа на интегральную с отличием только в множителе, записанном

перед

ф(х). Выясним смысл этого

множителя.

Положим k=i+1

и тогда

х2= i +1−np

; если положить k=i, то получим х1= i −np

. Отсюда легко получить

npq

npq

х2-х1=

1

= х.

После

этого

выражение

для

Pn(k1 ≤k ≤k2)

становится

npq

интегральной суммой. А при больших n просто интегралом. Получаем

1

х2

t2

Pn(k1 ≤

k ≤k2)=

∫

е−

dt .

Преобразуем полученное равенство,

используя

2

2π

х

1

1

х2

t2

1

0

t 2

1

х2

t2

свойства интегралла

∫е−

dt =

∫е−

dt +

∫е−

dt =

2

2

2

2π

х

2π

х

2π

0

1

1

1

х2

t2

=

∫е−

dt =Ф(х2)-(х1).

(Сначала интеграл по всему отрезку заменили на

2

2π

0

интеграл по сумме отрезков, а затем во втором интеграле изменили порядок интегрирования, что привело к смене знака интеграла).

Замечания.

1.Ф(х) – затабулирована; называется интеграл вероятностей; обозначается часто erf(x); нечетная из-за четности подинтегральной функции.

2.Так как подынтегральная функция быстроубывающая, то таблица Ф(х) содержит только значения до х=3,…,5.

3.Т.к. P(0 ≤ k ≤n)=P(Ω)=1,то при х>3,…,5 имеем Ф(0)=0,5. В самом деле,

из геометрического смысла интеграла от ф(х) следует, что площадь под кривой равна 1 (единице). А ввиду симметрии криволинейной трапеции под кривой ф(х) следует, что половина площади равна 0,5, что и утверждается. Смотри рисунок ниже.

10

11

4.На свойстве 3 и будущих приложениях Ф(х) основан тот факт, что в

2

х2

t2

литературе стречаютcя функции другого вида :

(х)=

∫е

−

dt и

Ô

2

2π

0

1

х2

t 2

Ô

(х)=

∫е

−

dt . Таблицы этих функций различаются

существенно. Но

2

2π

−∞

использовать в любых расчетах их можно, если знать причину таких различий и

учитывать это. Например, между табличными значениями Ф и Ô разность равна 0,5 (использованы только значения для положительных значений аргумента, и потому левая часть криволинейной трапеции не использована).

Значения Ф и Ô различаются в 2 раза (за счет множителя перед интегралом). И т.д.

5. В свойстве 3 использован тот факт, что при m=0 и n → ∞ получаем

х=	0−np	=-	np	=-∞, а при m=n имеем х= n −np	= n(1− p)	=	nq	=	nq	=∞.
	npq		q	npq	npq		npq		p

19.3.4.3.Отклонение частоты от вероятности Оценим величину отклонения относительной частоты появления

события А от вероятности появления этого события в схеме повторных независимых испытаний.

Пусть имеем серию n независимых испытаний с вероятностью p появления события А в каждом испытании (p известна а priori - до опыта). Если

же мы проведем серию n испытаний, то вычислим w= mn - относительную частоту появления А в серии испытаний. Для оценки отклонения используем величину P( mn − p <δ ), т.е. вычислим вероятность модуля отклонения w от p.

			m		<δ или -ε	n	< m −np		n .
	Сначала преобразуем	неравенство		− p				ε
			n			pq
							npq		pq

Или, иначе говоря, оценим величину P( mn − p <ε )=

11

12

=P(-ε	n	< m −np	ε	n	)=P(х1<x<x2)=Ф(х2-х1)=Ф(ε	n	)-Ф(-ε	n	)=
	pq	npq		pq		pq		pq

=2Ф(ε pqn ).

Из этого соотношения видно что, если при неизменных априорных p , q и постоянной ε увеличивать объем серии n, то надежность (вероятность

выполнения) требования (условия) mn − p < εувеличивается. Если же требовать

высокую точность этого условия (малостьε), то вероятность такого требования (надежность его выполнения) уменьшается при постоянном объеме серии.

По заданной надежности и точности можно указать объем испытаний - затрат на эксперимент.

Задача. Сколько раз следует бросить игральную кость, чтобы с надежностью 0,9876 (с такой вероятностью) можно было гарантировать, что w появления 6

(шестерки) на верхней грани будет отличаться от 16 не более, чем на 0,01?

	Решение. P(						m		1		<0,01)=2Ф(0,01	n	. По таблице для Ф(х) находим х, при
								−
							n		6
												1 5
												6 6
	котором P=0,9876,									а Ф(х)=0,4938. Это будет, если х=2,5. Решаем уравнение
	0,01	1	n	5	=2,5 и находим n>12000.
	((		)(		))
		6		6

20.Случайные величины 20.1.Определение и классификация

Определение. Случайная величина - действительная функция от случайного события.

Или иначе С.В.-величина, которая в результатах испытания может принимать одно и только одно числовое значение, неизвестное заранее и зависящее от случайных причин, не учтенных и не могущих быть учтенными.

Обозначение X, Y, Z .Их значения - x, y, z. Пример20.1.

1. Число выпавших очков при бросании игральной кости. 2.Число грузовиков, проходящих за 1 час через КПП. 3.Расстояние точки падения ядра от точки метания. 4.Периметр сечения ствола дерева.

С.В.-дискретная (прерывная) принимает отдельные изолированныя значения с определенными вероятностями. Количество значений может быть и бесконечно.(Примеры 1,2).

С.В. - непрерывная, может принимать любое значение из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Количество значений всегда бесконечо. (Примеры 3,4).

12