(xi;p(xi)) называют многоугольник

13

С.В. – сингулярная - занимает промежуточных значение между ними. (ибо в одном интервале она диспертна, а в другом непрерывна).

20.2. Законы распределения случайных величин.

Задать значения, которые может принимать С.В. - это значит фактически ничего сказать о характере ее (или сказать очень мало). Например, если сказать, что случайная величина Х – возраст студентов 1-го курса, принимает значения 17,18,19,20 и 21, то этим будет указан только диапазон возможного возраста . да и тот может оказаться не полным.

Поэтому для задания С.В. используют понятие Закона Распределения

Случайной Величины.

З.Р.С.В. - соответствие, связывающее значения случайной величины с вероятностями появлеия этих значений.

Для дискретной С.В. закон можно (!) Задать в виде таблицы

	хi	х1	х2	…	хn
	pi	p1	p2	…	pn
						n	n
которая может быть и не оконченной, но в любом случае ∑pi							= ∑p( X = xi ) =1.
						i =i	i =i

Если дискретная С.В. имеет бесчисленное количество значений, то это - ряд, сходящийся, его сумма равна 1.

Пример 20.2.Составить закон распределения С.В.- числа бракованных деталей среди 5 поступивших на сборку, если автомат выпускающий их дает в среднем 80% годных (стандартных) деталей.

Решение. По характеру СВ Х – дискретная и может принимать любые значения от 1 до 5. Т.к. вероятность появления бракованной детали постоянна и равна 0,2 , а количество (серия) деталей невелико, то расчет вероятности событий Х=0, Х=1 и т.д. следует вести по формуле Бернулли

Pn(k)=Сnk pkqn-k, q=1-p . Т.е. ро=Р(Х=0)=С500,200,85=1*1*0,32768. Аналогично р1=Р(Х=1)=С51 0,210,84=5*0,2*0,4096. И т.д. Получаем ряд распределения

Х	0	1	2	3	4	5
Р	0,32768	0,4096	0,2048	0,0512	0,0064	0,00032

Ломаную, соединяющую точки распределения этой задачи.

Задать закон распределения непрерывной С.В. по виду ранее приведенного не удастся ввиду невозможности перечислить все значения С.В. Делают иной подход .

Пусть Н.С.В. X принимает случайные значения x из некоторого интервала. Вероятность вида P(X<x) зависит от значения х, т.е. есть функция x. Читается: вероятность, что С.В. Х принимает значение меньшее x.Такую вероятность можно взять в качестве характеристики Н.С.В. X.

Итак, определение: функцией распределения называют вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х.

13

14

Обозначают это так F(x)=P(X<x). Часто функцию распределения называют - интегральной функцией распределения, интегральным законом. Причина такого названия прояснится далее.

F(x) универсальна, что подходит и для характеристики Д.С.В.,то есть она является одной из форм закона распределения С.В.

Ее свойства:

1.0 ≤ F(x) ≤1. Что вытекает из определения F(x) как вероятности. 2.F(x)-неубывающаяя.

Доказательство: пусть x2>x1, тогда события X<x1 и x1 ≤ X<x2 несовместны

и P(Х<x2)=	P(Х<x1)+ P(x1 ≤Х<x2 ). Отсюда получаем P(Х<x2)-P(Х<x1)=
P(x1 ≤Х<x2).	Но, т.к. всякая вероятность неотрицательна, то справа записана

неотрицательная величина. А потому и слева записана такая же величина. Т.е.

имеем P(Х<x2)-P(Х<x1) ≥0 или по определению функции F(x)	имеем F(x2)-
F(x1) ≥0 , или F(x2) ≥F(x1), что соответствует определению	неубывающей
функции.

Следствие. Вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка (x1;x2) равна приращению функции рсапределения на этом промежутке. В самом деле, P(x1 ≤Х<x2)= P(Х<x2)-P(Х<x1)= F(x2)-F(x1).

3.F( − ∞)=0	, т.е. вероятность того, что СВ не примет никакого значения
равна нулю, т.к. такое событеи невозможно.
4.F( ∞)=1 0	, т.е. вероятность того, что СВ примет хотя бы какое-то

значение равна 1, т.к. такое событие достоверно.

5. Р(Х=х)=0. В самом деле из P(x1 ≤Х<x2)= F(x2)-F(x1) следует, что при сближении x1и x2 справа получим нуль . а слева в скобках равенство Х=х.

Пример 20.3. Построить функцию распределения для случайной величины из Примера 20.2.

Решение. Т.к. СВ Х – дискретная, то нам предстоит построение F(x) по определению F(x) =Р(Х<х) для х=0,1,2,3,4,5. Получаем F(x ≤0) =Р(Х<0)=0 для

х≤0, что естественно, т.к. значений, меньших 0,			СВ Х не принимает. Теперь
F(x ≤1)=Р(Х<1)=Р(Х<0 или	0 ≤Х<1)	для х≤1.	В скобках записаны два
несовместных события. И	потому	имеем F(0<x ≤1)=Р(Х<0)+Р(0 ≤Х<1)=

=0+0,32678 для х≤1. Теперь F(1<x ≤2)=Р(Х<2)=Р(Х<1 или 1 ≤Х<2) для х≤2. В

скобках		записаны		два несовместных события.	И	потому имеем
F(1<x ≤2)=Р(Х<1)+Р(1 ≤Х<2)=0,32678+0,4096=0,73638					для х≤0. Теперь по
аналогии		F(2<x≤3)=		0,73638+0,2048=0,94118. F(3<x ≤4)=		0,94118+0,0512=
=0,99238. F(4<x ≤5)=0,99238+0,0064=0,99878. F(x ≥5)=1.
Получаем окончательно
		0	äëÿ õ ≤ 0,
	0,32678		0 < äëÿ õ ≤1,
	0, 73638		1 < äëÿ õ ≤ 2,
F(x)=
	0,94118		2 < äëÿ õ ≤ 3,
	0,99238		3 < äëÿ õ ≤ 4,
			4 < äëÿ õ ≤ 5,
0,99878
		1	äëÿ õ ≥ 5.

14

15

Справа приведен график этой функции.

Если СВ Х непрерывна и имеет непрерывную F’(x), тогда имеет силу определение – дифференциальной функцией распределения СВ Х называют функцию f(x)=F’(x). Такую f(x) называют иначе плотностью вероятности. Этот термин объясняется тем, что при наличии F(x) всегда можно поставить задачу вычисления F(x)=F(x+ x) - F(x). После этого можно подсчитать

отношение F(x + x) − F(x) , которое легко истолковать как среднюю плотность x

вероятности на промежутке х, т.к. в числителе записана разность Р(х+ х)- Р(х) (Смотри определение функции F(x)). Но предел такого отношения, как известно, дает производную для F(x). Естественно, что такая функция вполне может служить законом распределения специального типа для СВ Х.

Основные свойства плотности вероятности.

1.f(x) – неотрицательная функция, т.к. она является производной от неубывающей функции F(x).

2.Р(a<x<b)=P(a ≤x ≤b)= ∫b f (x)dx . В самом деле, произведение f(x)dx можно

a

истолковать как «массу вероятности», которая приходится (сосредоточена) на участке dx. После суммирования и перехода к пределу получаем нужное.

3.Если СВ Х распределена на [a;b], то ∫b f (x)dx = ∫∞ f (x)dx =1. Это также

a −∞

естественно, потому что представляет всю вероятность для СВ.

4.Если известна f(x), то F(x)= ∫b f (x)dx .

−∞

20.3.Числовые характеристики случайных величин.

В то время, как законы дают полное представление о СВ, иногда достаточно гораздо меньших сведений о случайной величине. В этих случаях используют числовые характеристики СВ. Наиболее распространенными числовыми характеристиками СВ являются: математическое ожидание СВ, отклонение СВ от ее математического ожидания, дисперсия СВ, среднее квадратическое ожидание и др. Мы познакомимся только с перечисленными.

Опр. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений значений СВ на вероятности их появления.

Обозначают математическое ожидание для СВ Х так М(Х). (Реже Е(Х)). Из определения М(Х) следует, что нужно иметь ряд распределения для

n

СВ Х и тогда можно записать М(Х)= ∑xi pi .

i=1

Можно дать физическое (механическое) толкование для М(Х). Имеем

М(Х)=	x1 p1 + x2	p2 + x3 p3 +... + xn pn	, т.к. в знаменателе записана 1. Поэтому такая
	p1
		+ p2 +... + pn

запись дает координату хс – центра масс, сосредоточенных в точках хi .

15

16

Если же СВ Х – непрерывна и принимает значения из промежутка [a;b], то рассуждаем иначе. Для непрерывной СВ Х имеем в наличии плотность распределения вероятности (дифференциальную функцию распределения) f(x).

Разобьем промежуток на достаточно малые участки				x. Вычислим “массу”
вероятности, приходящейся на этот участок			pi=f(x) x. По определению М(Х)
имеем М(Х)= ∑n	xi pi = ∑n	xi f ( xi )dx . Если	в последней сумме количество
i =1	i =1
слагаемых увеличивать неограниченно, а			размеры	x неограниченно

уменьшать, то справа в пределе получим интеграл ∫b xf (x)dx . В общем случае

a

имеем для непрерывной СВ Х М(Х)= ∫∞ xf(x)dx.

−∞

Пример 20.4. Для СВ Х из примера 20.2 имеем ряд распределения

Х	0	1	2	3	4	5
Р	0,32768	0,4096	0,2048	0,0512	0,0064	0,00032

А потому математическое ожидание числа бракованных деталей среди 5

поступивших на сборку равно М(Х)=0*0,328+1*0,41+2*0,205+4*0,0064+5*0= =0,86.

Пример 20.5.(Необходимый для дальнейшей теории). Производится 1 опыт на предмет появления события А с вероятностью появления события А, равной р. Найдите математическое ожидание СВ Х -–числа появлений события А в одном опыте.

Решение. Данная СВ Х – дискретная и может принимать только два значения 1 (событие А появилось) и 0 (событие А не появилось). Вероятности таких исходов испытания равны р и 1-р. Получаем ряд распределения вида

Х	0	1
Р	1-р	р

А потому М(Х)=0*(1-р)+1*р=р.

Простейшие свойства М(Х). 1.М(С)=0. Т.к. Р(С)=1 и иного нет.

2.М(СХ)=СМ(Х). Для любого вида СВ имеем : или постоянную выносим за знак суммы или за знак интеграла.

3.Для независимых СВ Х и У имеет место равенство М(ХУ)=М(Х)М(У). Для док-ва ограничимся дискретными СВ, имеющими распределения

Распределение для Х

Распределение для У

Х

х1

х2

У

у1

у2

Рх

р1

р2

Ру

у1’

у2’

на этих таблицах строим распределение для ХУ

ХY

х1 у1

х1 у2

х2у1

х2у2

Р

р1 р1’

р1р2’

р2 р1’

р2 р2’

16

17

Распределение для ХУ получают из таких рассуждений: например, значение х1 у1 для случайной величины ХУ появится, если Х примет значение х1, а у примет значение у1 . Т.к. мы получаем произведение (Х= х1)(У= у1) независимых случайных событий, то вероятность такого события равна произведению вероятностей перемножаемых событий.

Р(ХУ=x1у1) = Р(Х=x1 и У=у1) = Р(Х=x1)Р(У=у1). Остальное по аналогии.

Апотому математическое ожидание М(ХУ)= x1у1 p1p1’+x1у2 p1p2’+

+x2у1 p2p1’+x2у2p2p2’=x1p1(у1p1’+у2p2’)+ x2p2(у1p1’+у2p2’)= (у1p1’+у2p2’)( х1p1+х2p2)=

=М(У)М(Х).

		4.М(Х+У)=М(Х)+М(У) для любых событий. Доказательство аналогичное
предыдущему. Опять ограничимся двумя СВ с распределениями
		Распределение для Х				Распределение для У
	Х		х1	х2		У	у1		у2
	Рх		р1	р2		Ру	у1’		у2’

На этих таблицах строим распределение для Х+У.

Распределение для Х+У получают из таких рассуждений: например, значение х1 + у1 для случайной величины Х+У появится, если Х примет значение х1, и у примет значение у1 . Т.к. мы получаем сумму (Х= х1)+(У= у1) несовместных случайных событий, то вероятность такого события равна произведению вероятностей перемножаемых событий.

Р(Х+У=x1+у1) = Р(Х=x1 и У=у1) = Р(Х=x1)Р(У=у1). Остальное по аналогии.

ХY х1 + у1		х1 + у2	х2 +у1	х2 +у2
Р	р1 р1’	р1р2’	р2 р1’	р2 р2’

А потому ряд математическое ожидание М(ХУ)= (x1+у1)p1p1’+(x1+у2)p1p2’+

+(x2+у1)p2p1’+(x2+у2)p2p2’= x1p1(p1’+p2’)+x2p2(p1’+p2’)+у1p1’(p1+p2)+у2p2’(p1+p2) = = х1p1+х2p2+у1p1’+у2p2’= М(У)+М(Х).

5.В серии n независимых испытаний на предмет появления события А с вероятностью появления Р(А)=р=const в каждом испытании случайная величина Х-число появлений события А имеет математическое ожидание , равное М(Х)=np.

Док. Число появлений события А в серии равно сумме чисел появлений этого события в каждом испытании. Т.е. Х=Х1+ Х1+… Хn . Но ранее (см. Пример 20.5) получено, что M(Хi)= р для любого i. По свойству 5 имеем М(Х)=np.

Опр. Отклонением случайной величины от ее математического ожидания называют разность х-М(Х).

Это одна из характеристик для СВ Х. Некоторое представление о характере СВ эта характеристика дает. Однако свойство отклонения М(Х-М(Х))=0 независимо от СВ говорит о том, что такая характеристика мало информативна и даже может ввести в заблуждение. Поэтому сразу рассмотрим следующую числовую характеристику.

Опр. Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

17

18

Согласно этому определению имеем обозначение D(X)=M((X-M(X))2). Из определения МD(Х) следует, что нужно иметь ряд распределения для

СВ Х и ряд распределения для СВ (Х-M(X))2 . Тогда можно записать формулу

n

для вычисления дисперсии дискретной СВ D(Х)= ∑(xi −M (X )2 pi . По

i=1

аналогии для непрерывной СВ получим D(Х)= ∫∞ (x −M(X))2 f (x)dx или

−∞

D(Х)= ∫b (x −M(X))2 f (x)dx, если СВ распределена на отрезке (интервале) [a;b].

a

Из этих рассуждений строим алгоритм вычисления дисперсии: при наличии ряда распределения вычисли М(Х);

составь ряд распределения для СВ (Х-М(Х))2 , руководствуясь тем что величины Х и (Х-М(Х))2 распределены одинаково;

n

вычисли дисперсию по формуле D(Х)= ∑(xi −M (X )2 pi .

i=1

Можно воспользоваться свойствами дисперсии, которая вычисляется как

математическое ожидание. Получаем D(X)=M((X-M(X))2)=М(Х2 – 2ХМ(Х) + +М2(Х))= М(Х2)-2М(Х)М(Х)+ М2(Х)= М(Х2)- М2(Х).

Комментарий по получению формулы. Сначала в скобке возвели квадрат. Затем записали математическое ожидание суммы как сумму математических ожиданий. При этом во втором слагаемом за знак математического ожидания

вынесли	константу	2М(Х), а в третьем слагаемом использовали	свойство
М(С)=С ( т.е М(М2(Х))= М2(Х) ).
Аналогичные		преобразования сделаем с интегралами и	получим
D(Х)= ∫∞ x2 f (x)dx- ( ∫∞ xf(x)dx) 2. Или D(Х)= ∫∞ x2 f (x)dx- (М(Х)) 2.
−∞	−∞	−∞

Естественно, что дисперсия характеризует уровень (степень) рассеивания возможных значений СВ Х около значения М(Х).

Из свойств дисперсии отметим :

1.D(С)=0; это вытекает из того, что константа С не рассеивает своих значений.

2.D(CX)=C2D(X). Что также естественно, потому что из суммы будет вынесено C2. То же сделано для интеграла.

Комментарий. Для того, кто занимется экспериментом, следует это помнить при масштабировании данных.

3.Для независимых Х и У имеет место равенство D(X+У)=D(X)+D(У). Это следует из соответствующего свойства математического ожидания. И

потому D(X-У)=D(X)+D(У). (см. свойство 2). 4. D(С+Х)=D(X).

5.При выполнении условий схемы повторных независимых опытов имеет место D(числа появлений А в серии n испытаний)=npq. В самом деле ,

18

19

математическое ожидание появления события А в одном испытании в схеме независимых испытаний равно p (см.Пример 20. 5). Пусть Х –случайная величина – число появлений события А в одном испытании. Тогда У- случайная величина – число появлений этого события в серии n испытаний можно рассматривать как сумму чисел появлений события А в каждом испытании. Т.е. У=nX. Случайная величинв Х2 принимает значения 1 и 0 с вероятностями p и q. И потому М(Х2)=р. Тогда дисперсия числа появлений события А в одном таком испытании равна D(X) = М(Х2)- М2(Х) = р-р2= =р(1-р) = pq. И потому по свойству 2 дисперсии суммы имеем D(числа появлений А в серии n испытаний)=npq.

6.Для случайных величин Х и У имеет место равенство

D(X+У)=D(X)+D(У)+2Кху.

В самом деле, имеем D(X+У)=М(((Х+У)-(МХ+МУ))2) где для краткости математические ожидания записаны значками МХ и МУ . Выполним преобразования с учетом свойств математического ожидания. Получаем

D(X+У)=М(((Х+У)-(МХ+МУ))2)=М(((Х- МХ)+(У- МУ)) 2)=

=М((Х- МХ) 2+(У- МУ) 2-2(Х- МХ)( У- МУ))= М((Х- МХ) 2)+ М((У- МУ) 2)- -2М((Х- МХ)( У- МУ))= D(X)+D(У)-2 М((Х- МХ)( У- МУ)).

Последнее слагаемое называют коэффициент корреляции и обозначают Кху. Он показывает влияние одной случайной величины на другую. Если такого вляния нет (т.е. величины независимы), то Кху =0, т.к. тогда по свойству 3 математического ожидания имеем М((Х- МХ)( У- МУ))= М(Х- МХ)М( У- МУ)= 0*0=0.

Комментарий. При внимательном анализе дисперсии видно, что рассеивание значений СВ некоторой размерности определяется величиной с размерностью квадрата размерности самой величины (например, рассеивание расстояния точки падения снаряда от центра мишени определяется в квадратных метрах). А это уже не очень логично. Поэтому вводят следующую числовую характеристику.

Опр. Средним квадратическим отклонением называют корень квадратный из дисперсии случайной величины.

Обозначают σ(Х)= D( X ) . И эта характеристика рассеивания СВ

относительно ее математического ожидания имеет размерность самой величины.

Теперь можно сделать заметки о числовых характеристиках среднего одинаково распределенных случайных величин.

Опр. Средним нескольких величин называют величину X = ∑X i .

n

Пусть все Xi распределены одинаково – т.е. имеют одинаковые числовые характеристики. М(Xi)=а ; D(Xi)=D ; σ(Xi)= σ.

19