27

Пусть U и V независимые распределенные по закону хи-квадрат со

U

степенями свободы k1 и k2 . Тогда СВ F= Vk1 называется F-распределением

k2

(иногда распределением Фишера-Снедекора) со степенями свободы k1 и k2 . при этом плотность вероятности определяется так

		0		для х≤0,
			k1−2
		x		2
C								для х>0
						k1+k 2
f(x)=	0							, где С0=
		(k +k x) 2
		1	2

k 1+2k 2 k 1k21 k 2k22

Г(k21 )Г(k22 )

20.4.3.Многомерные случайные величины.

Если мы имеем две СВ Х и У, то можно сказать, что мы имеем систему двух случайных величин. Этот факт обозначают так (Х,У).

Законом распределения для дискретной (Х,У) принято называть таблицу с двумя входами

			Х
					хn
У	х1	х2	х3	…
у1	р( х1 ; у1)	р( х2 ; у1)	р( х3 ; у1)	…	р( хn; у1)
у2	р( х1 ; у2)	р( х2 ; у2)	р( х3 ; у2)	…	р( хn ; у2)
.	.	.	.	…	.
уm	р( х1 ; уm)	р( х2 ; уm)	р( х2 ; уm)		р( хn ; уm)

m,n

Контроль таблицы ∑pij =1. На основании этого распределения можно

i =1, j =1

получить законы распределения для составляющих .

Можно использовать и функцию двумерного распределения , которая определяется так F(x,y)=Р(Х<x,Y<y).

Геометрически это означает попадание случайной точки внутрь сектора расположенного ниже прямой х=х и левее прямой у=у , которые пересекаются в точке (х,у) (внимание! Не на границу).

Свойства F(x,у) обычны:

0 ≤ F(x,у) ≤1, что вытекает из определения ее как вероятности; F(x,у) неубывающая по обеим координатам (см. одномерную F(x)); F(- ∞;y)= F(x;- ∞)= F(- ∞;- ∞)=0;

F( ∞; ∞)=1;

27

28

F(x; ∞)=F1(x);

F( ∞;y)=F2(y);

Вероятность попадания случайной точки в полосу {x1 ≤ X ≤x2 ; Y<y} равна приращению F на промежутке x1 ≤ X ≤x2 ,т.е. Р(x1 ≤ X ≤x2) =F(x2)-F(x1).

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник

{x1 ≤ X ≤x2 ; у1 ≤ У ≤у2 } можно вычислить из Р(x1 ≤ X ≤x2 ; у1 ≤ У ≤у2)= =F(x2 у2)-F(x1 у2)- F(x2 у1)+ F(x1 у1). (можно несколько видоизменить)

Если двумерная СВ (система случайных величин) непрерывна по обоим аргументам и имеет двумерную функцию распределения F(x,y), то двумерная

плотность вероятности определяется как f(x,у)= д2 F .

дxду

Из такого определения вытекают свойства двумерной плотности и ее связь с двумерной функцией распределения.

Имеем : f(x,у) – неотрицательая функция (как производная от неубывающей);

		x	y
F(x,y)=		∫	∫ f(t,z)dσ - несобственный, сходящийся;
		−∞	−∞
∫∞	∫∞	f(х,у)dσ=1.
−∞	−∞

Вероятность попадания двумерной СВ в область D равна ∫∫ f(х,у)dσ.

D

20..5.Законы больших чисел.

Изучение вероятностных закономерностей приводит к некоторым выводам. Один из них : располагая небольшой по объму информацией относительно одной СВ вряд ли можно сказать что-либо о сумме достаточно большого числа таких величин. Однако в действительности при некоторых достаточно широких условиях суммарное поведение большого числа случайных величин почти закономерно. Такие условия, при выполнении которых ма получаем почти закон, важны на практике. Эти условия собраны в пакеттеорем, которые в комплекте носят название законы больших чисел.

Неравенство Чебышова.(Теорема) Пусть задано распределение

xi

x1

x2

. . .

xn

pi

p1

p2

pn

модуля

разности Х-М(Х)

Тогда

оценкой

для

величины

отклония

служит неравенство Р(

X − M ( X )

<ε ) ≥1-

D( X )

.

ε2

Комментарий. Отметим, что все оценки в теории вероятностей проводят

на основе вычисления некоторых вероятностей. И в данном случае – тоже.

Док. Т.к. события

X − M ( X )

<ε

и

X − M ( X )

≥ε

противоположны, то

сумма их

вероятностей

равна

1.

Поэтому либо выяснить, чему равна

28

29

Р( X − M ( X ) <ε ) или выяснить чему равна Р( X − M ( X ) ≥ε ), а затем найти

первую вероятность.

Воспользуемся формулой для вычисления дисперсии. Имеем D(X)=( x1- -M(X))2p1 +( x2-M(X))2p2 + ( x3-M(X))2p3 + … В этой сумме все слагаемые неотрицательны. Отбросим из этой суммы те слагаемые, для которых X − M ( X ) <ε . Вследствие этого сумма уменьшится. Пусть мы отбросили k

слагаемых (при этом порядок несущественен и можно считать, что мы отбросили первые слагаемые из суммы). Значит для оставшихся слагаемых

n

X − M ( X ) ≥ε и мы получаем D(X) ≥ ∑( xj+1-M(X))2pj+1. Но ведь каждое

j=k

n

слагаемое в сумме не меньше ε. Значит, мы получаем D(X) ≥ ε2 ∑ pj+1. Но

j=k

полученная сумма есть как раз вероятность Р(

X − M ( X )

≥ε ), откуда имеем

D(X)

≥ ε2

Р(

X − M ( X )

≥ε ). Откуда Р(

X − M ( X )

≥ε ) ≤

D( X )

. После чего

ε2

получаем оценку для вероятности противоположного события – утверждение

теоремы Р( X − M ( X ) <ε )

≥

1- D( X ) .

ε2

Комментарий. Доказанная оценка слишком груба для практических приложений. Так при достаточно большой дисперсии не исключено, что

	D(X)>	ε2. Тогда получаем 1-	D( X )	<0, т.е.что Р(		X − M ( X )		<ε ) больше
			ε2

некоторого отрицательного числа. Так мы это и так знаем из свойств вероятности.

Теорема Чебышева. Если Xi попарно независимы и D(Xi) равномерно ограничены (не превышают некоторого С), то при любом ε>0 вероятность

выполнения неравенства		∑Xi −	∑M(Xi )		<ε как угодно близка к 1, если n
		n	n

достаточно велико.

Комментарий. Иными словами, экспериментальное среднее практически не отличается от теоретического математического ожидания.

Док. Введем в работу среднее случайных величин X− = ∑nX i . Найдем

−	−	∑X i		∑M ( X i	)		−
М( X ). Имеем	М( X )=М(	n	)=	n		. Теперь применим к	X

29

30

≥

−

−

−

D( X )

неравенство

Чебышева. Имеем

Р(

X

− M (

X

)

<ε ) 1-

. Но

ε

2

D( X )

C

−

∑ n 2

−

C

D( X )=

i

и потому D( X ) ≤ ∑n 2

=

. Теперь имеем

n

∑Xi

∑M(Xi )

<ε)

C

Р(

n

−

n

≥ 1-

и при

n

→ ∞

мы

получаем

утверждение

nε2

теоремы.

На практике М(Х) почти всегда одинаково и тогда к случайным величинам применима эта теорема в виде : среднее арифметическое большого числа независимых случайных величин утрачивает характер случайной величины.

Это значит следует провести n измерений искомой величины и найти их среднее; оно будет давать истинное значение, если :

-измерения попарно независимы (прибор настроен и не перенастраивается в процесс всей работы); -если измеряют одно и то же (нет систематических ошибок – тогда М(Х) –

истинное значение искомого);

-если D(Xi)=C (известна точность прибора и потому измерения разбросаны недалеко).

Внимание! Точность измерения при этом повысить невозможно, т.е. ответ имеет погрешность прибора.

Теорема Бернулли. Пусть реализована схема повторных независимых испытаний. Если в каждом испытании р=const , то отклонение относительной частоты от вероятности в опыте по модулю как угодно мало с вероятностью,

	близкой к 1, т.е. lim P(	m	− p	<ε )=1.
		n
	n → ∞				∑X i
	Док. Нам известно, что в такой серии D(Xi) ≤0,25. При этом					=	m	. И
					n		n

мы получаем один из случаев теоремы Чебышева.

Комментарий. Нельзя считать, что увеличивая число опытов, мы получаем требуемое.Речь идет только о вероятном приближении (по

вероятности) mn к р.

21. Элементы математической статистики 21.1.Основные понятия

Задачей статистики является :

указание способов сбора и группировки (если данных много) статистических данных (сведений);

разработка методов анализа этих данных в зависимости от целей исследователя ;

построение научно обоснованных выводов и рекомендаций.

30

31

Наибольший вклад в развитие статистики внесли: Чебышев П.Л.; Марков А.А.; Ляпунов А.А.; К.Гаусс; А.Кетле; Ф.Гальтон; К.Пирсон и позднее Романовский В.И.; Слуцкий Е.Е.; Колмогоров А.Н.; Смирнов Н.В.; Р.Фишер; Э.Пирсон; Ю.Нейман; А.Вальд; Стьюдент.

Выборка – совокупность случайно отобранных объектов для изучения некоторого количественного или качественного признака.

Если в качестве исследуемой величины берется признак Х, то выборка – это набор случайно отобранных значений случайной величины Х : {xi}, i=1,…,n.

Генеральная (генеральная совокупность) – совокупность , из которой сделана выборка.

Комментарий. Генеральная – это существительное (а не прилагательное). Если исследуется признак Х , то он и есть генеральная.

Объем – количество объектов (выборки или генеральной).

В математической статистике принято правило (договор) : даже если генеральная конечна все равно она считается бесконечной по объему. (когда обследуется продукция завода, то она не бесконечна по объему; то же касается аттестации студентов некоторого вуза).

К выборке предъявляют основное требование – выборка должна быть репрезентативна – правильно представлять генеральную. Для репрезентативности выборки требуется, чтобы:

отбор был случайным; все объекты генеральной должны иметь одинаковую вероятность попасть

в выборку. Иначе говоря, объем выборки должен иметь возможность стремиться к бесконечности (хотя бы гипотетически) и все xi должны быть независимыми.

Для обеспечения этих требований разрабатывают способы отбора (сбора) информации. Способы отбора информации могут быть:

без расчленения генеральной (когда объемы генеральной и выборки малы);

при этом отбор может быть простым случайным повторным (когда объекты выбирают из генеральной по одному, нумеруют крточки обследования, карточки перемешивают, берут карточки по одной и анализируют, затем возвращают в генеральную и процесс повторяют);

простой бесповторный (все то же самое, но после анализа карточки в генеральную не возвращают);

с расчленением генеральной (при большой генеральной и малой выборке);

типический (когда из типической части генеральной (от станка, выпускающие однотипные детали с другими станками) отбирают определенное число изделий, составляющих определенную часть генеральной; делают это при заметных колебаниях исследуемого признака в типических частях генеральной);

механической (устанавливают объем выборки, делят генеральную на такое же число частей , из кадой части берут объект для исследования; гарантий репрезентативности мало);

31