shpory_po_astronomii

относительно тела, с поверхности которого запускается. Эта дополнительная скорость определяется как векторная разность между гелиоцентрической скоростью КА и гелиоцентрической скоростью планеты. В том случае, если мы рассматриваем возможность выхода тела за сферу действия Солнца

(т.е. выхода за пределы Солнечной системы) при старте с Земли, дополнительная скорость определяется как разность параболической скорости КА относительно Солнца на расстоянии Земли от Солнца vp = 42,1 км/с и гелиоцентрической скорости Земли v = 29,8 км/с (при старте в направлении движения Земли вокруг Солнца): vдоп = vp0 – v = 12,3 км/с, или как их сумма (при старте против направления движения Земли вокруг Солнца): vдоп = vp0 + v = 71,9 км/с.

Таким образом, принимая во внимание, что vp = 11,2 км/с, из (3.5) получаем, что начальная скорость,

необходимая для выхода за пределы Солнечной системы при старте с Земли, должна быть в пределах: 16,6 ≤ v0 ≤ 72,8 км/с. Минимально возможная при этом скорость v3к = 16,6 км/с

называется третьей космической скоростью.

17. Возмущённое движение. Возмущающая сила. Гравитационный манёвр.

Приливы и отливы как результат действия возмущающей силы. Орбитальные и спин-орбитальные резонансы. Задача трёх и более тел. Точки Лагранжа.

Ограниченная задача трёх тел. Точки либрации.

Возмущённое движение

Движение небесных тел в соответствии с законами Кеплера (решение задачи двух тел) называется невозмущённым. В действительности все тела Солнечной системы притягиваются не только Солнцем, но и друг другом. Поэтому ни одно тело в Солнечной системе не движется точно по эллипсу, параболе, гиперболе или окружности. Отклонения в движениях тел от законов Кеплера называются возмущениями, а реальное движение тел – возмущённым движением. Возмущённое

движение тела можно представлять как движение по законам Кеплера с переменными элементами орбиты. Возмущения (т.е. зависимости элементов орбиты от времени) описываются суммой линейной и множества периодических функций с различными значениями периодов. Линейные слагаемые называются вековыми возмущениями, а все остальные – периодическими. Коэффициенты в функциях, ответственных за возмущения, как правило, очень малы, однако за достаточно большой промежуток времени вековые возмущения могут стать сколь угодно большими.

Наибольший интерес представляют вековые возмущения больших полуосей, эксцентриситетов и углов наклона орбит планет, поскольку именно они определяют характер устойчивости Солнечной системы. Как следует из теории движения планет, вековые возмущения элементов орбит a, e и i

чрезвычайно малы, и есть основания полагать, что Солнечная система устойчива по крайней мере в течение весьма длительных промежутков времени, возможно достигающих даже нескольких миллиардов лет. Другие элементы орбит – долгота восходящего узла и долгота перицентра – подвержены значительным вековым возмущениям, но практически не изменяют общую конфигурацию Солнечной системы. Уточнение теории движения планет приводит к появлению квадратичных и кубических по времени возмущений элементов орбит. Возможно, что сумма таких возмущений может представлять собой начальные слагаемые разложения в степенной ряд некоторой периодической функции. В этом случае изменение всех элементов будет ограниченным.

Возмущающая сила.

Пусть имеется система трех тел, состоящая из центрального тела (притягивающего) массой М

(например, Солнце), тела массой m1, движущегося относительно этого тела (планета Р1) на расстоянии r1, и

возмущающего тела массой m2 (планета Р2) на расстоянии r2. Рассмотрим движение планеты P1

относительно Солнца. Солнце получает ускорение w1 =

Gm1/r12 от планеты Р1 и ускорение w2 = Gm2/r22 от планеты Р2. Соответственно планета Р1 получает ускорение w'1 = GM/r12 от Солнца и ускорение w' = Gm2/r2 от планеты Р2. Тогда в системе отсчета,

связанной с Солнцем, движение планеты Р1 будет происходить с ускорениями: w = w1 + w'1 = G(M + m1)/r12 , w' = Gm2/r2 и w" = –w2 = –Gm2/r22. Если первое ускорение обусловливает движение Р1 по законам Кеплера, то два последних как раз и дают возмущающее ускорение и, соответственно,

возмущающую силу. Возмущающая сила, а, следовательно, и вызываемое ею возмущающее ускорение определяются разностью действия возмущающего тела Р2 на М и Р1. Таким образом,

возмущающее ускорение wвозм выглядит так: wвозм = w' + w" = w' – w2. Это ускорение меняется по величине и направлению, т. е. величина и направление возмущающей силы вследствие движения тел непрерывно меняются. Если |wвозм| << |w| , то действием возмущающего тела Р2 можно пренебречь.

Гравитационные манёвры для ускорения и торможения космических аппаратов

Гравитационный манёвр заключается в ускорении, торможении или изменении направления движения КА в результате возмущения его движения в гравитационном поле небесного тела

(планеты). Используется для экономии топлива и дополнительного разгона КА при полётах к дальним планетам Солнечной системы.

В зависимости от направления движения и скорости КА относительно небесного тела, КА может получить дополнительное положительное или отрицательное ускорение (относительно Солнца).

Гравитационные манёвры, в частности, четырежды использовались при полёте КА «Кассини» к

Сатурну в 1997–2004 годах.

Приливы и отливы как результат действия возмущающей силы.

Схема образования приливов и отливов Пример одного из проявлений возмущающей силы

–приливы и отливы земной поверхности.

Поскольку размеры Земли конечны, то независимо от ее формы, силы лунного (и солнечного)

притяжения на разные точки Земли неодинаковы. В

результате появляется возмущающая сила, зависящая от расстояний и направлений от точек поверхности до притягивающего тела. Точка A находится ближе к Луне, чем центр Земли, и,

следовательно, испытывает меньшее результирующее ускорение относительно центра Земли. Точка В находится дальше от Луны, чем центр Земли, и также испытывает меньшее результирующее ускорение относительно центра Земли. Таким образм, в точках А и В действие Луны уменьшает силу тяжести на земной поверхности. В точках F и D действие Луны, наоборот, увеличивает силу тяжести на поверхности Земли. Итак, под действием лунного притяжения водная оболочка Земли принимает форму эллипсоида, вытянутого по направлению к Луне. Вблизи точек А и В будет прилив, а вблизи точек F и D – отлив. Вследствие вращения Земли приливная волна бежит по поверхности океана. За промежуток времени между двумя последовательными верхними (или нижними) кульминациями Луны, равный в среднем 24h52m, приливные выступы дважды обойдут вокруг всего земного шара.

Под действием солнечного притяжения водная оболочка Земли также испытывает приливы и отливы, величина которых в 2,2 раза меньше лунных. Во время новолуний и полнолуний солнечный и лунный приливы происходят в «фазе» и наблюдается самый большой прилив. Во время первой и последней четвертей в момент лунного прилива происходит солнечный отлив, и наблюдается наименьший прилив. Приливы и отливы испытывает земная атмосфера, а также земная кора.

Орбитальные и спин-орбитальные резонансы.

Возмущающая сила может приводить к возникновению орбитального и спин-орбитального резонансов. Орбитальный резонанс наблюдается в том случае, когда периоды обращения двух или более небесных тел относятся как небольшие натуральные числа. Орбитальные резонансы могут быть устойчивыми и неустойчивыми. В первом случае небесное тело стабилизируется на резонансной орбите. Во втором – избегает резонансной орбиты. Спин-орбитальный резонанс

заключается в синхронизации периодов обращения одного небесного тела относительно другого и вращения первого небесного тела вокруг своей оси.

В устойчивых орбитальных резонансах находятся, например, Плутон и Нептун (2:3), троянские астероиды и Юпитер (1:1), галилеевы спутники Юпитера Ио, Европа и Ганимед (1:2:4), планеты b, c

и e красного карлика Глизе 876 (созвездие Водолея, 15 св. лет) и др. небесные тела. Примерами неустойчивых орбитальных резонансов служат «щели Кирквуда» в распределении орбит астероидов главного пояса, деление Кассини (промежуток между внешними кольцами Сатурна). В спин-

орбитальных резонансах находятся Меркурий и Солнце (2:3), Луна и Земля (1:1), многие другие спутники планет, например, галилеевы спутники Юпитера (1:1).

Общее решение задачи трёх тел

Определение движения трёх тел, взаимно притягивающих друг друга с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними, называется задачей трёх тел. В отличие от задачи двух тел задача трёх тел не допускает общего аналитического решения, позволяющего для произвольных значений координат и скоростей тел в начальный момент времени t = 0 предсказать положение каждого из трёх тел для любого будущего момента времени t > 0. В 1906–1909 годах Карл Зундман (Karl Frithiof Sundman) предложил алгоритм поиска общего решения задачи трёх тел в виде степенных рядов. Однако в 1931 году Д. Белорицкий (D. Belorizky) показал, что в общем случае для вычисления положений планет методом Зундмана с точностью, соответствующей наблюдениям,

необходимо использовать не менее 108000000 слагаемых.

Частные точные решения задачи трёх тел.

Тем не менее, существуют частные точные решения задачи трёх тел, которые имеют важное значение в механике планет и малых небесных тел.

В1767 г. Леонард Эйлер нашёл три точных т. н. прямолинейных или коллинеарных решения задачи трёх тел: все три тела постоянно находятся на одной прямой, вращающейся вокруг общего центра масс в соответствии со вторым законом Кеплера, а расстояния между телами изменяются также по законам кеплеровских движений.

В1772 г. Жозеф Лагранж нашёл два точных треугольных решения задачи трёх тел: три тела,

расположенные в вершинах равностороннего треугольника произвольных размеров, при определённых по величине и направлению скоростях будут и впоследствии двигаться, постоянно образуя треугольник; величина стороны треугольника изменяется со временем согласно законам Кеплера, а сам треугольник вращается в фиксированной плоскости вокруг общего центра масс, также подчиняясь законам Кеплера.

Ограниченная задача трёх тел. Точки Лагранжа (точки либрации)

Если же орбиты всех тел являются круговыми и масса одного из них намного меньше массы любого из двух других, то можно считать, что два массивных тела обращаются вокруг их общего центра масс с постоянной угловой скоростью, и такая задача носит название ограниченной задачи трёх тел,

а решения Эйлера и Лагранжа в этом случае называются точками Лагранжа или точками либрации.

В пространстве вокруг двух массивных тел существуют пять точек, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой может оставаться неподвижным во вращающейся системе отсчёта,

связанной с массивными телами. В этих точках гравитационные силы, действующие на малое тело,

уравновешиваются центробежной силой.

Точки либрации

Три решения (коллинеарные точки, L1, L2 и L3) имеют место, если все три тела находятся на одной прямой. Два решения (треугольные или троянские точки, L4 и L5) расположены в вершинах равносторонних треугольников с основанием, совпадающим с отрезком, соединяющим два массивных тела.

Коллинеарные точки либрации неустойчивы. Треугольные точки либрации устойчивы, если для параметра μ = m2/(m1 + m2) выполняется условие 0 < μ(1 – μ) < 1/27, за исключением двух значений µ ≈ 0,0135 и µ ≈ 0,02429.

Вблизи 4-й и 5-й точек Лагранжа орбит многих планет Солнечной системы находятся т. н. троянские астероиды (ТА). Так, у Земли известен 1 ТА вблизи 4-й точки Лагранжа, у Марса — 1 ТА вблизи 4-й

точки и 3 ТА вблизи 5-й, у Юпитера — 2793 ТА вблизи 4-й точки (т. н. «греки») и 1733 ТА вблизи 5-

й точки («троянцы»), у Нептуна — 6 ТА вблизи 4-й точки и 1 ТА вблизи 5-й. Понятно, что ТА планет находятся в орбитальном резонансе 1:1 со своей планетой.

Кроме этого, в системе Сатурн – Тефия в точках L4 и L5 находятся два небольших спутника — Телесто и Калипсо. Ещё одна пара спутников известна в системе Сатурн – Диона: Елена в точке L4 и

Полидевк в точке L5.

В настоящее время несколько космических аппаратов размещены в различных точках Лагранжа Солнечной системы: SOHO (Solar and Heliospheric Observatory) находится на орбите в точке L1

между Землёй и Солнцем; WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), изучавший реликтовое излучение — в точке L2 за орбитой Земли.

18. Элементы специальной теории относительности (СТО). Постулаты СТО.

Эффект Доплера. Доплеровское смещение спектральных линий. Синхротронное

излучение.

Основные положения СТО

Специальная (от нем. speziell – частная) теория относительности (СТО), частная теория относительности, или теория физических инвариантов (Альберт Эйнштейн, 1905 год), – это физическая теория пространства-времени для областей, в которых можно пренебречь полями тяготения и в которых могут быть введены локально инерционные системы отсчёта. Некоторые следствия СТО играют чрезвычайно важную роль в современной астрономии и астрофизике.

Основные положения (постулаты) СТО:

1.Принцип относительности. Все физические процессы в инерциальных системах отсчёта протекают одинаково.

2.Принцип постоянства скорости света. Скорость света c не зависит от скорости движения источника или приёмника излучения (в вакууме c = 299 792 458 м/с).

Следствия из постулатов СТО

Среди важнейших для астрономических задач следствий из постулатов СТО следует выделить следующие:

•преобразования Лоренца,

•формулы для сложения скоростей,

•эффект замедления времени,

•эффект сокращения линейных размеров,

•аберрацию света (см. раздел 2.6.2),

•выражения для энергии и импульса релятивистской частицы,

•эффект Доплера.

Преобразования Лоренца связывают декартовы координаты x, y, z неподвижной системы координат (СК) и координаты x', y', z' СК, движущейся относительно неподвижной СК x, y, z вдоль оси x со скоростью v: y' = y, z' = z,

Компоненты скорости частицы ux, uy, uz в неподвижной СК при переходе в СК, движущуюся относительно неподвижной СК вдоль оси x со скоростью v преобразуются следующим образом

(формулы для сложения скоростей):

Интервал времени Δt' между событиями, измеренный движущимися часами, меньше, чем интервал времени Δt между теми же событиями, измеренный покоящимися часами:

В этом заключается эффект «замедления времени» (темп хода движущихся часов замедлен относительно неподвижных).

Длина движущегося стержня l', расположенного в направлении движения, меньше длины покоящегося l (эффект сокращения линейных размеров):

Полная энергия E, энергия покоя E0 и импульс p релятивистской частицы определяются соответственно:

E0 = mc2

Полная энергия и импульс связаны следующим образом: E2 – p2c2 = m2c4.

Эффект Доплера.

Исключительно важную роль в астрофизике играет эффект Доплера (1842 год) и следствие из него – доплеровское красное смещение спектральных линий. С помощью эффекта Доплера определяются лучевые скорости звёзд, пульсаров и других объектов, угловые скорости вращения небесных тел.

Так, вследствие вращения Солнца его восточный край приближается к наблюдателю, а западный – удаляется. Поэтому спектральные линии излучения на восточном краю Солнца вблизи его экватора сдвинуты на 0,035 Å в фиолетовую область спектра, а на западном краю – на такую же величину в красную область. Доплеровское смещение спектральных линий позволяет обнаруживать двойные звёздные системы и открывать планеты у других звёзд. По величине доплеровского уширения спектральных линий определяются характеристики вещества звёздных атмосфер и межзвёздной среды. На основе эффекта Доплера обнаружена дипольная составляющая анизотропии реликтового излучения, связанная с движением Земли относительно поля этого излучения.

Оптический эффект Доплера в вакууме определяется только относительной скоростью источника и приёмника и является следствием преобразований Лоренца.

Если источник равномерно движется относительно приёмника со скоростью u, то наблюдаемая частота ν определяется следующим образом:

где ν0 – частота электромагнитного излучения в случае покоящихся источника и приёмника; θ – угол между направлением движения источника и направлением на приёмник; множитель (1 – u2/c2)½

учитывает различный ход времени в системах источника и приёмника. При сближении источника и

приёмника частота ν возрастает (фиолетовое смещение), при удалении – убывает (красное смещение).

При θ = 0 или π, когда источник движется прямо к приёмнику или от него, наблюдается продольный

эффект Доплера:

В нерелятивистском случае (u << c) выражения (3.5) и (3.6) преобразуются к следующему виду: ν ≈ ν0(1 + (u/c)cos θ) и ν ≈ ν0(1 ± u/c).

Продольный эффект Доплера, при котором изменение частоты излучения максимально, является эффектом первого порядка относительно u/c.

При θ = π/2, когда источник движется относительно приёмника по окружности, наблюдается

поперечный эффект Доплера, который не имеет аналога в классической механике и полностью обусловлен релятивистским эффектом замедления времени:

Поперечный эффект Доплера наблюдать значительно труднее, поскольку он является эффектом второго порядка относительно u/c. Как чисто релятивистский эффект, поперечный эффект Доплера с успехом использовался для проверки соотношений специальной теории относительности.

Следствием из эффекта Доплера является красное смещение — сдвиг спектральных линий излучения атомов и ионов в красную (длинноволновую) область. Величина красного смещения определяется следующим образом:

где λo – наблюдаемая (observed) длина волны, λe – длина испущенной (emission) источником волны.

Доплеровское смещение длины волны в спектре источника, движущегося с лучевой скоростью u,

имеет вид:

Головная линия серии Лаймана (Ly-α) атомарного водорода (λe = 121.567 нм) при учёте красного доплеровского смещения будет наблюдаться на длине волны:

λo = 121.689 нм при z = 0.001; λo = 122.783 нм при z = 0.01; λo = 133.724 нм при z = 0.1; λo = 243.134 нм при z = 1.0; λo = 486.268 нм при z = 2.0; λo = 729.402 нм при z = 5.0;

λo = 1337.24 нм при z = 10.0.

Экспериментальные и наблюдательные подтверждения СТО

Эксперименты Майкельсона и Морли подтвердили справедливость постулата относительности. Для проверки независимости скорости света от движения источника измерялась, например, скорость фотонов, возникающих в результате распада π0-мезонов с энергией около 1 ГэВ (т. е. движущихся со скоростью, практически равной c). При этом скорость движущихся вперёд γ-квантов совпадала со скоростью света с погрешностью порядка 0.0001. Изменение частоты в релятивистском продольном эффекте Доплера также проверено экспериментально. Отклонение от теоретического предсказания составляет 10–7. Экспериментально наблюдался поперечный эффект Доплера, который связан с чисто релятивистским эффектом замедления времени. Эффект замедления времени проверен для скоростей вплоть до 0.995c. Полученный результат, включая зависимость времени жизни от v,

согласуется с предсказаниями СТО. Соотношение E0 = mc2 для дефекта массы и выделяющейся в ядерных реакциях энергии проверено с погрешностью 0.01.

Синхротронное излучение.

Синхротронное излучение — магнитотормозное электромагнитное излучение, испускаемое релятивистскими заряженными частицами (чаще всего электронами или позитронами) в магнитном поле. Синхротронное излучение обусловлено ускорением частиц, появляющимся при искривлении их траекторий в магнитном поле. Аналогичное излучение нерелятивистских частиц, движущихся по круговым или спиральным траекториям, называется циклотронным излучением.

Циклотронное излучение происходит на основной гиромагнитной частоте ωL = qH/m и на её первых гармониках. С увеличением скорости частицы роль высоких гармоник возрастает; при приближении к релятивистскому пределу излучение в области наиболее интенсивных высоких гармоник обладает практически непрерывным спектром и сосредоточено в направлении мгновенной скорости частицы в узком конусе с углом раствора θ ≈ mc2/E = 1/γ << 1 . Для ультрарелятивистских частиц частота синхротронного излучения сосредоточена вблизи значения ωγ = ωLγ2 .

Излучение отдельной частицы в общем случае эллиптически поляризовано, причём большая ось эллипса поляризации расположена перпендикулярно видимой проекции магнитного поля. Степень эллиптичности и направление вращения вектора напряжённости электрического поля зависят от направления наблюдения по отношению к конусу, описываемому вектором скорости частицы вокруг направления магнитного поля. Для направлений наблюдения, лежащих на этом конусе, поляризация излучения линейная.

Синхротронное излучение представляет большой интерес в астрофизических исследованиях,

поскольку синхротронная природа нетеплового излучения космических объектов (нетепловой радиофон Галактики, нетепловое радио- и оптическое излучение дискретных источников — сверхновых звёзд, пульсаров и окружающих их плерионов, чёрных дыр, квазаров, радиогалактик)

подтверждается особенностями их спектра и поляризации. Так, пульсарный эффект обусловлен синхротронным излучением электронов, движущихся в сильных магнитных полях вблизи магнитных

полюсов быстро вращающейся нейтронной звезды. Источником голубоватого свечения в центре туманности Краба (плериона, pulsar wind nebula) также является синхротронное излучение.

Релятивистские выбросы вещества (джеты) из чёрных дыр (например, из сверхмассивной чёрной дыры, находящейся в центре гигантской эллиптической галактики M87) также сопровождаются синхротронным излучением.

Релятивистские электроны, входящие в состав космических лучей, в космических магнитных полях дают синхротронную составляющую космического излучения в радио-, оптическом и рентгеновском диапазонах. Измерения спектральной интенсивности и поляризации космического синхротронного излучения позволяют получить информацию о концентрации и энергетическом спектре релятивистских электронов, величине и направлении магнитных полей в удалённых частях Вселенной.

19. Общие сведения о Солнечной системе. Состав и структура, характер движения объектов. Планеты земной группы и планеты-гиганты. Спутники планет. Карликовые планеты и их спутники. Малые тела. Пояс Койпера.

Гелиосфера. Облако Оорта.

Общие сведения о Солнечной системе. Состав и структура, характер движения объектов.

Солнечная система представляет собой совокупность небесных тел, движущихся вокруг Солнца, для большинства из которых оно является центральным притягивающим телом. Масса Солнца составляет 99,8% от суммарной массы всей Солнечной системы.

В состав Солнечной системы входят восемь планет со спутниками, пять карликовых планет (также со спутниками), более 2500 больших астероидов, несколько десятков тысяч комет, метеоритные тела и потоки пыли.

Наибольшая часть астероидов движется по своим орбитам в промежутке между орбитами Марса и Юпитера (в так называемом Главном поясе астероидов).