20 ВопросНапряжённость гравитационного поля

Напряжённость гравитацио́нного по́ля — векторная величина, характеризующая гравитационное поле в данной точке и численно равная отношению силы тяготения, действующей на тело, помещённое в данную точку поля, к гравитационной массе этого тела:

Свойства

Если источником гравитационного поля является некое гравитирующее тело, то согласно закону всемирного тяготения:

где:

• —гравитационная постоянная;

• —гравитационная масса тела-источника поля;

• —расстояние от исследуемой точки пространства до центра масс тела-источника поля.

Применяя второй закон Ньютона и принцип эквивалентности гравитационной и инерционной масс:

Гравитационный потенциал и уравнения движения

Движение частицы в гравитационном поле в классической механике определяется функцией Лагранжа, имеющей в инерциальной системе отсчета вид:

, где: —масса частицы, —координата частицы, — потенциалгравитационного поля.

Подставляя выражение для лагранжиана L в уравнения Лагранжа:

,получаем уравнения движения

.

Гравитационный потенциал и принцип эквивалентности

Уравнения движения частицы в гравитационном поле в классической механике не содержат массы или другой величины, характеризующей частицу. Это является выражением основного свойства гравитационного поля — принципа эквивалентности.

Гравитационный потенциал точечной частицы и произвольного тела

Гравитационный потенциал точечной частицы равен: , где—гравитационная постоянная, —масса частицы, — расстояние от частицы. Эта же формула справедлива и для гравитационного потенциала любого тела со сферически-симметричным распределением плотности массы внутри него.

Для тела с произвольным распределением плотности массы гравитационный потенциал удовлетворяетуравнению Пуассона: , где—оператор Лапласа, — объёмная плотность распределения массы в рассматриваемой точке. Общее решение этого уравнения имеет вид:где r — расстояние от элемента объёма dV до рассматриваемой точки поля, а интегрирование производится по всему объёму тел, создающих поле. Гравитационный потенциалсимметричного тела симметричен.

21 Вопрос

   Первая К. с. υ_Iна расстоянииror центра Земли определяется по формуле где f — постоянная тяготения, М — масса Земли. Принимается (см. Фундаментальные астрономические постоянные) fM = 398603 км³/сек². В небесной механике эта скорость называется также круговой скоростью, т. к. в задаче двух тел движение по кругу радиуса r тела с массой m вокруг др. тела, обладающего несравнимо большей массой М (при М >> m), происходит именно с такой скоростью.

         Если в момент выхода на орбиту космический аппарат имеет скорость υ₀ = υ_I, перпендикулярную направлению на центр Земли, то его орбита (при отсутствии возмущений) будет круговой. При υ₀ < υ_I, орбита имеет форму эллипса, причём точка выхода на орбиту расположена в апогее. Если эта точка находится на высоте около 160 км, то сразу же после момента выхода на орбиту спутник попадает в лежащие ниже плотные слои атмосферы и сгорает. Т. о., для указанной высоты первая К. с. является минимальной для того, чтобы космический аппарат стал спутником Земли. На больших высотах космический аппарат может стать спутником и при υ₀, несколько меньших υ_I, вычисленной для этой высоты. Так, на высоте 300 км космическому аппарату для этого достаточно иметь скорость на 45 м/сек меньшую, чем υ_I.

         Вторая К. с. υ_II на расстоянии r от центра Земли определяется по формуле υ₀ = υ_II, тело с массой m в задаче двух тел будет двигаться относительно тела с массой М (при М >>m) по параболической орбите и удалится сколь угодно далеко, освобождаясь, в известном смысле, от гравитационного воздействиям. Скорости, меньшие параболической, называются эллиптическими, а большие — гиперболическими, т. к. при таких начальных скоростях движение в задаче двух тел с массами m и М (при М >> m) происходит по эллиптической или гиперболической орбитам соответственно.

         Значения первой и второй К. с. для различных высот h, отсчитываемых от уровня моря на экваторе (h = r — 6378 км), приведены в табл. 1.

Первый закон Кеплера.

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением, где— расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния),—большая полуось. Величинаназываетсяэксцентриситетомэллипса. При, и, следовательно,эллипс превращается в окружность.