Тема 5. Анализ рядов распределения
План
Формы рядов распределения. Расчет показателей центра распределения.
Измерение и оценка вариации.
2.1. Абсолютные показатели вариации.
2.2. Относительные показатели вариации.
Методы определения и свойства дисперсии.
Оценка меры асимметрии,
1. Формы рядов распределения. Расчет показателей центра распределения
Разнообразие статистических совокупностей обуславливает и многообразие рядов распределения, которые характеризуются прежде всего формой соотношения частот и значений варьирующего признака. По своей форме ряды распределения бывают одно-, двух- и многовершинными. Распределения качественно однородных совокупностей преимущественно одновершинные. Среди них выделяют симметричные и асимметричные, остро- и плосковершинные ряды распределения.
Для
характеристики центра
распределения
применяются: средняя арифметическая,
мода и медиана. В симметричном распределении
.
Порядок определения средней арифметической приведен в теме 4. Рассмотрим особенности расчета моды и медианы дискретных и вариационных рядов.
Модой называется наиболее часто встречающееся значение признака.
В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой.
В интервальном ряду модой приближенно считают центральный вариант модального интервала, т.е. того интервала, который имеет наибольшую частоту. В пределах интервала определяется значение признака, которое является модой:
,
(5.1)
где
-нижняя граница модального интервала;
-
величина модального интервала;
-
частота модального, предмодального и
послемодального интервалов соответственно.
Медиана – варианта, которая делит ранжированный ряд на две равные части.
Медиана в дискретном ряду – варианта, расположенная в середине ряда. Для ранжированного ряда с четным числом членов медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант.
В интервальном вариационном ряду порядок нахождения медианы следующий: располагаем варианты по ранжиру, определяем накопленные (кумулятивные) частоты, находим медианный интервал. Он соответствует интервалу, кумулятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот.
Медиана в интервальном вариационном ряду определяется по формуле:
,
(5.2)
где
–
нижняя граница медианного интервала;
-
величина медианного интервала;
-
сумма накопленных частот, предшествующих
медианному интервалу;
-
частота медианного интервала.
Измерение и оценка вариации
Вариация (колеблемость ) значений признака присуща любой статистической совокупности. Она обусловлена влиянием множества взаимосвязанных факторов, среди которых есть основные и второстепенные. Основные факторы формируют центр распределения, второстепенные – вариацию признаков, совместное их влияние формирует форму распределения.
Для измерения и оценки вариации признака используются абсолютные и относительные показатели.
2.1. Абсолютные показатели вариации и способы их расчета
Для характеристики абсолютной колеблемости признака используются размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.
Размах вариации представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака:
(5.3)
Достоинством этого показателя является простота расчета. Однако размах вариации зависит только от крайних значений признака, не учитываются частоты и отсутствует связь со средней величиной, поэтому область его применения ограничена однородными совокупностями.
Среднее линейное отклонение дает обобщающую характеристику распределению отклонений и учитывает различие всех единиц изучаемой совокупности. Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений индивидуальных значений от средней.
При расчете этого показателя по несгруппированным данным используется формула:
(5.4)
При расчете по сгруппированным данным определяется взвешенное линейное отклонение:
(5.5)
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение - наиболее широко применяемые на практике показатели вариации.
Дисперсия определяется как средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины:
для несгруппированных данных:
(5.6)
для сгруппированных данных:
.
(5.7)
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии:
(5.8)
Чем меньше значение линейного и среднеквадратического отклонения, тем меньше вариация признака в совокупности.
Рассмотренные абсолютные характеристики вариации – именованные величины, имеют единицы измерения варьирующего признака.