Elektromekhanicheskie_perekhodnye_protsessy_-_konspekt

Если ω << ω0 , то можно принять, что P ≈ M . Ускорение ротора, с-2, может быть найдено как

a = d(ΔΩ) =						M ,
			dt			J0
где DM - избыток вращающего момента, Н ×м;
J0 - момент инерции, кг ×м2 .
Из выражения (4.28)	DMW2					DM
								2	,
a =			0		=	T		W0
	æ J		W2	ö
	2ç	0	0	÷			j
	ç	2		÷
	è			ø

31

(4.28)

(4.29)

где J0W20 - кинетическая энергия, запасенная ротором при его движении с

2

синхронной скоростью Ω0 ;

Tj = J0W02 - постоянная инерции, Вт ×c .

Постоянная инерции численно равна удвоенному значению кинетической энергии ротора, вращающегося с синхронной скоростью.

Из выражения (4.29) можно получить

d

æ Dwö

DP

2

DPW

DPw

a =

ç

÷

=

W0

=

0 =

0

(4.30)

W T

T

T

m

dt ç m

÷

j

p

è

p ø

0 j

j

или, выражая угол поворота ротора в электрических радианах:

a =

d

(Dw)=

Pω0

= 2pf0

P » 314

P .

(4.31)

dt

Tj

Tj

Tj

Если ω0 имеет размерность рад/с, DP - МВт, Tj - МВт ×с, то α выражено

в рад/с2.

Из выражения (4.31), разделив числитель и знаменатель на Sб , можно по-

лучить	P ,
a » 314				(4.32)
Tj
где α имеет размерность рад/с2, T		j	- с, P - безразмерная величина.
Выражая угол поворота в электрических радианах, получаем
a =18000 P , град/с2,				(4.33)
Tj
где DP имеет размерность МВт,	Tj - МВт ×с,
или		P ,
a =18000				(4.34)
	Tj

32

где постоянная Tj выражена в секундах.

В этом случае постоянная инерции Tj численно равна времени разгона

ротора генератора от неподвижного состояния до синхронной скорости при условии, что на ротор действует постоянный вращающий момент, равный номи-

нальному, и что момент сопротивления постоянен.

Постоянная инерции может быть найдена как

Tj =

2,74GD2n2

(4.35)

10

6

Sб

,

где GD2 - маховый момент,

кг ×м2 ;

n - частота вращения ротора, об/мин;

Tj выражена в секундах и Sб

- в МВА.

Если время выразить в относительных единицах, то можно получить

a

=

P ,

(4.36)

где

Tj

Tj = Tjω0

(4.37)

и a

=

α

.

(4.38)

w2

0

Tj и α являются безразмерными величинами.

Приращение энергии ротора при изменении его скорости

T

j

Dw2

DA = òDPdd »

,

(4.39)

2

δ

откуда

Dw »

2

ò

DPdd .

(4.40)

T

j

δ

4.2. Виды записи уравнений относительного движения ротора син-

хронного генератора

Уравнение относительного движения имеет вид

T

d 2d

+ P

dd

+

P

= M

,

j dt2

dd

1

(4.41)

d dt

1

Т

+ dt

w

0

где P - электрическая мощность генератора;

Pd - демпферный коэффициент (мощность демпфирования);

MТ - момент турбины (механический момент).

Упрощенно (при

dδ

<< w0 ) можно получить, что

dt

						33
T	d 2δ		+ P	dδ	+ P = P ,	(4.42)
	j dt2		d	dt	Т
где PТ - механическая мощность турбины.						= 0 ), то
Если не учитывается явление демпфирования ( Pd
	T		d 2δ	= P − P .		(4.43)
		j	dt2	Т

В уравнениях (4.41)-(4.43) все величины выражены в относительных единицах. Иногда используются другие варианты записи уравнений (4.41)-(4.43), в которых все или некоторые переменные выражены в именованных единицах. Так, например, если угол δ выражен в электрических градусах, время и постоянная инерции Tj – в секундах и мощности – в относительных единицах, то

уравнение (4.43) приобретает вид

Tj	d 2δ		= PТ	− P ,	(4.44)
360 f0	dt	2

где f0 - частота тока в сети.

Другие варианты записи уравнения движения ротора приведены в учебнике [1].

5. ПРОСТЕЙШИЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ

5.1. Практические критерии статической устойчивости

Если малые возмущения приводят к прогрессирующему изменению параметров режима, то система будет неустойчивой. В начале эти изменения происходят очень медленно, проявляясь в виде самопроизвольного изменения, называемого сползанием (текучестью) параметров режима системы. Условия возникновения такого нарушения устойчивости можно выявить на основе анализа соотношений, характеризующих режим системы.

В качестве примера рассмотрим систему, включающую две станции, работающие через сопротивления X1 и X 2 на общую нагрузку (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Исследуемая система

Установившийся режим этой системы характеризуется определенными зависимостями:

34
P1 = f1(δ1,U,ω); ü
Q1 = f2		(δ1,U,ω); ïï
P = f	3	(δ		2	,U,ω); ï
2						ï
Q2 = f4 (δ2 ,U,ω);ï							,	(5.1)
PН =	f5 (U,ω );					ý
						ï
Q = f		6	(U ,ω );			ï
Н						ï
PТ1 =	f7 (ω );
						ï
PТ 2 =	f8 (ω ),					ï
						þ

где P1 ,				Q1 , P2 , Q2 - активные и реактивные мощности, отдаваемые гене-
раторами первой и второй станций;
PН		и QН - активная и реактивная мощности в узле нагрузки;
PТ1 , PТ 2				мощности турбин первой и второй станций;
U - напряжение в узле, к которому подключена нагрузка;
δ	1	и δ	2	- углы между векторами ЭДС станций E&	, E&	2	и напряжения U& ;
				1
ω - угловая частота тока в сети.
Зависимости (5.1) представляют собой статические характеристики (т.к.
не зависят от скорости изменения параметров).
В установившемся режиме уравнения моментов на валах генераторов
				M1 - MТ1 = 0;ü			(5.2)
				ý,
				M2 - MТ 2 = 0,þ

где M1 и M 2 - электромагнитные моменты генераторов первой и второй

станций;

MТ1 и MТ 2 - механические моменты (моменты турбин) этих станций.

При малых медленных изменениях режима в относительных единицах M ≈ P , поэтому вместо выражений (5.2) будем использовать равенства

P1 - PТ1	= 0;ü	(5.3)
	ý.
P2 - PТ 2 = 0,þ

Кроме того, можно записать уравнения баланса активной и реактивной мощности в рассматриваемой сети

P1 + P2 - PН = 0;	ü	(5.4)
Q1Н + Q2Н - QН =	ý
	0.þ

Отклонения режима могут быть вызваны различными факторами, например, изменением мощности одной из турбин, активной и реактивной мощности нагрузки. Предположим, что происходит одновременное воздействие всех этих факторов. Тогда для станций и нагрузки можно записать уравнения баланса активной и реактивной мощности при отклонении режима от исходного

35

¶P1

Dδ

+ 0 +

¶P1

DU + æ ¶P1

-

¶PТ 1

öDω = DP ;

ü

1

ï

¶δ1

¶U

ç

¶ω ¶ω

÷

1

è

ø

ï

0 +

¶P2

Dδ

+ 0 + ¶P2 DU +

æ ¶P2 -

¶PТ 2

öDω = DP ;

ï

2

ï

¶δ2

¶U

è ¶ω ¶ω

ø

ï

¶P

¶P

æ ¶P

¶P

¶P

ö

æ

¶P

¶P

¶P

ö

ï

1

Dδ1 +

2

Dδ2 + ç

1

+

2

-

Н

÷DU + ç

1

+

2

-

Н

÷Dω = DPН ;ý (5.5)

¶δ1

¶δ2

¶U

¶U

¶ω

¶ω

è ¶U

ø

è

¶ω

ø

ï

¶Q1Н Dδ + ¶Q2Н Dδ

+ æ

¶Q1Н

+

¶Q2Н

-

¶QН öDU +

ï

2

ï

1

¶δ2

ç

¶U

¶U ¶U

÷

ï

¶δ1

è

ø

æ ¶Q1Н

¶Q2Н

¶QН ö

ï

ï

+ç

+

-

÷Dω = DQН .

¶ω

¶ω

¶ω

ï

è

ø

þ

При малых отклонениях параметров производные,

входящие в систему

уравнений (5.5), можно считать постоянными величинами. Предположим, что известны значения изменений мощности P1 , P2 , PН и QН , тогда с помо-

щью уравнений (5.5) можно найти любое из отклонений параметров режима. Например,

Dd =

M11

DP +

M12

DP +

M13

DP +

M14

DQ ,

(5.6)

1

D

1

D

2

D

Н

D

Н

где D - главный определитель системы уравнений (5.5);

M11 , M12 , M13 , M14 - миноры этого определителя.

При этом

¶P1

0

¶P1

¶P1

-

¶PТ1

¶U

¶d

¶w

¶w

1

¶P2

¶P2

¶P2

¶PТ 2

0

-

¶d2

D =

¶U

¶w

¶w

.

(5.7)

¶P1

¶P2

¶P1

+

¶P2 -

¶PН

¶P1

+ ¶P2 -

¶PН

¶U

¶d

¶d

2

¶U

¶U

¶w

¶w

¶w

1

- ¶QН

+ ¶Q2Н

- ¶QН

¶Q1Н

¶Q2Н

¶Q1Н

+

¶Q2Н

¶Q1Н

¶d

¶d

2

¶U

¶U

¶U

¶w

¶w

¶w

1

δ2 ,

U и

Отклонения параметров

ω могут быть найдены с помощью

выражений аналогичных выражению (5.6).

Если при неравных нулю минорах определитель D окажется равным ну-

лю, то любое очень малое отклонение величин P1 ,

P2 ,

PН и

QН

может вы-

звать неограниченно большое изменение параметров режима

δ1 ,

δ2 , U и

ω, т.е. параметры режима будут самопроизвольно уползать от исходных значений. Таким образом, критерием критического режима, разделяющего устой-

чивые и неустойчивые режимы, будет условие
D = 0 .	(5.8)

36

Использование критериев, основанных на условии (5.8), позволяет выявить тенденции системы к неустойчивости без учета характера движения, зависящего от инерционных постоянных системы. Эти критерии выявляют только возможную текучесть режима (сползание, апериодическую неустойчивость), не позволяя выявить неустойчивость, которая может проявиться в виде колебаний (колебательную неустойчивость, самораскачивание).

Принимая постоянными те или иные параметры режима, из условия (5.8)

можно получить частные критерии – практические критерии устойчивости.

Так считая, что не меняются частота тока, напряжение в узловой точке и мощности турбин станций, с учетом выражений (5.5) получаем

∂P1

Dd1 = DP1

(5.9)

¶d1

и

∂P2

Dd2 = DP2

(5.10)

¶d2

или Dd = DP

æ

¶P1

ö

,

ç

÷

(5.11)

1

1

ç

¶d

÷

è

1

ø

Dd

= DP

æ

ö

2

ç

¶P2 ÷ .

(5.12)

2

ç

÷

è

¶d2 ø

На основании выражений (5.11) и (5.12) можно сделать вывод о том, что

критический по устойчивости режим наступит при

dPi

= 0 ,

(5.13)

где i =1,2,...

ddi

или для схемы, изображенной на рис. 5.1, при

dP1

= 0 и

dP2

= 0 .

(5.14)

dd12

dd12

В случае генератора, отдающего мощность системе несоизмеримо боль-

шей мощности (рис. 2.14в), критерий предельного режима

dP = 0 .

(5.15)

dd

При этом предполагается, что ЭДС генератора E и напряжение на шинах подстанции системы U неизменны.

Если пренебречь активными сопротивлениями, то

P =	EU sin d ,	(5.16)
	X
где X суммарное реактивное сопротивление,		включающее сопротивле-

ние генератора и сети, которая связывает генератор и подстанцию системы. Предел передаваемой мощности

				37
	P = EU .			(5.17)
	m	X
Критический режим, соответствующий выполнению условия (5.15), на-
ступит в точке 1 (рис. 5.2).
Pm	P	1	dP	= 0
			dd

P

P0 = PТ

δ

δ0 δкр

Рис. 5.2. Характеристики мощности, отдаваемой генератором в сеть, P и мощности турбины PТ

Из устойчивого режима можно получить неустойчивый его утяжелением, например увеличением нагрузки. Сопоставляя параметры существующего устойчивого режима П0 с параметрами нового режима, полученного в результате

утяжеления и лежащего на границе между устойчивым и неустойчивым режимами, т. е. критического режима Пкр , можно рассчитать коэффициент запаса

статической устойчивости по параметру П :
KЗП	=	Пкр − П0	×100 % .	(5.18)
		П0

Например, для генератора, отдающего мощность системе (рис. 2.14в),

KЗP = Pm − P0 ×100 % (5.19)

P0

Рассмотрим узел нагрузки (рис. 5.1). Принимаем, что частота тока неизменна ( ω = 0 ) и сохраняется баланс активной мощности в узле нагрузки ( PН = 0). Из последнего уравнения системы (5.5) можно получить

æ	¶Q		¶Q		¶Q ö
ç	1Н	+	2Н	-	Н	÷DU = DQН	или	(5.20)
è	¶U		¶U		¶U ø

DU =		Q		.
		Н			(5.21)
	¶Q	¶Q	¶Q
	1Н +	2Н -	Н
	¶U	¶U	¶U

Обозначив реактивную мощность, поступающую в узел от генераторов

как

38
QГ = Q1Н + Q2Н ,		(5.22)
критерий предельного режима можно записать в виде
d(QН − QГ )	= 0 или	(5.23)
dU
d( Q)	= 0,	(5.24)
dU

где Q = QН − QГ .

В этом случае коэффициент запаса статической устойчивости может быть определен как

KЗU	=	U0 −Uкр	×100 %,	(5.25)
		U0

где Uкр - критическое напряжение, при котором выполняется условие

(5.24).

Рассмотрим систему, включающую несколько станций, подключенных к общей узловой точке с нагрузкой (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Многомашинная система с узловой точкой, к которой подключена нагрузка

Нагрузки задана статическими характеристиками QНi = f (Uk ). При сохра-

нении баланса активной мощности и неизменных ЭДС станций критерий предельного режима для узла k может быть записан как

	d(	Q) = 0,				(5.26)
где	dUk
Q = åQГi − åQНi					;	(5.27)
QГi =	EU	k		U 2
	i		cosdi -	k	,	(5.28)
	Xi
				Xi

а коэффициент запаса статической устойчивости найден с помощью выражения (5.25).

Если рассмотреть асинхронный двигатель, питающийся от шин с неизменным напряжением, то критерием предельного режима будет

			39
	dP	= 0 ,	(5.29)
	ds

где P - активная мощность, потребляемая двигателем; s - скольжение двигателя.

Выражение (5.29) получено для случая механического момента, не зависящего от скорости вращения ротора.

При наличии взаимосвязи между механическим моментом на валу двигателя и скоростью его вращения критерий предельного режима

	d (P − Pмех )	= 0 ,	(5.30)
	ds

где Pмех – механическая мощность.

Другие практические критерии узлов нагрузки будут рассмотрены в дальнейшем.

Каждый из практических критериев статической устойчивости имеет ограниченную область применения, которая зависит от принятых при выводе критерия допущений и схемы.

5.2. Энергетическая трактовка практических критериев устойчиво-

сти
В установившемся режиме
WГ = W	(5.31)
где WГ - энергия, поступающая в систему извне;
W - энергия, расходуемая в системе:
W = WН + WП ,	(5.32)
где WН - энергия, расходуемая в нагрузке;
WП - энергия, расходуемая на покрытие потерь в системе.
Предположим, что
WГ = f1(П) и W = f2 (П),	(5.33)
где П - определяющий параметр режима, т. е. единственный параметр, от
которого зависят WГ и W .	П ) расход энергии бу-
Если после возмущения (отклонения параметра

дет происходить более интенсивно, чем увеличение энергии, отдаваемой в сеть внешним источником, то новый (возмущенный) режим не может быть обеспечен энергией и в системе должен восстановиться прежний установившийся режим или режим, близкий к нему. В этом случае система будет устойчивой.

Данное условие можно записать как
W	>	WГ ,	(5.34)
П		П

где W - изменение расхода электроэнергии; WГ - изменение генерирования энергии.

Это же условие в дифференциальной форме

40
	d(W − WГ )		> 0.	(5.35)
	dП
В случае, если
	d(W −WГ )		< 0,	(5.36)
	dП
то система будет неустойчивой.
Таким образом, устойчивыми будут режимы,				при возмущении которых

факторы, стремящиеся их нарушить, изменяются менее интенсивно, чем факторы, противодействующие этому нарушению.

В качестве примера на рис. 5.4 показаны графики зависимостей W (П) и WГ (П) . Исследуемому режиму соответствует значение параметра П = П0 . Если характеристика WГ = f (П) фактора, стремящегося нарушить режим, идет более полого, чем характеристика W = f (П) фактора, стремящегося восстановить

режим, то режим будет устойчивым (рис. 5.4а), в противном случае - неустойчивым (рис. 5.4б).

W			W=f(П)			W			WГ=f(П)
				WГ=f(П)
		W								W=f(П)
				WГ
							WГ
											W
				П					П
							П0 П
		П0		П
		а)					б)
		Рис. 5.4. Графическая интерпретация энергетической трактовки критери-

ев устойчивости а – режим устойчив; б – режим неустойчив

Рассмотрим простейшую электрическую систему, изображенную на рис. 5.5а, которая состоит из синхронного генератора, работающего через реактивное сопротивление Х на шины неизменного напряжения. Предположим, что в этой системе параметром П, по которому должна проверяться устойчивость, будет угол δ между векторами ЭДС Е и напряжения U. Продифференцировав по времени обе части выражения (5.34), получим

d (P − PT ) > 0, (5.37) dδ

где Р – электромагнитная мощность генератора, тормозящая турбину;