Elektromekhanicheskie_perekhodnye_protsessy_-_konspekt

41

РТ – мощность, развиваемая турбиной, стремящаяся увеличить значение угла δ.

Если мощность турбины не зависит от изменений угла δ, то практический

критерий устойчивости простейшей системы
dP	> 0 .	(5.38)
dδ

(Сравните с выражением (5.15) для предельного режима.)

В этом случае устойчивыми будут режимы, для которых δ<δкр (рис. 5.5б).

а)

P P

PT

Устойчивые	Неустойчивые
режимы	режимы
	δ
0	δкр

б)

Рис. 5.5. Устойчивые и неустойчивые режимы генератора, работающего на шины неизменного напряжения: а – расчетная схема; б – характеристики мощности.

Рассмотрим узел системы, в котором обеспечен баланс активной мощности (имеется регулирующая станция), но может нарушиться баланс реактивной мощности. Предположим, что параметром П, по которому должна проверяться устойчивость, будет напряжение в узле U, зависящее от величины реактивной мощности QГ, поступающей в узел, и реактивной мощности QН, потребляемой нагрузками. Исходя из энергетических соображений, практический критерий статической устойчивости для узла может быть записан как

d Q > 0, (5.39) dU

где Q = QН − QГ .

(Сравните с выражениями (5.24) и (5.26) для предельного режима).

Рассмотрим асинхронный двигатель, подключенный к шинам с неизменным напряжением U. Его устойчивость может быть проверена по параметру П=s (скольжение двигателя) и соотношениям его механической Pмех (стремя-

42

щейся увеличить скольжение) и электромагнитной P (уменьшающей скольжение) мощности. Практический критерий статической устойчивости асинхронного двигателя в этом случае принимает вид

d (P − Pмех ) > 0 . (5.40) ds

В случае если механический момент не зависит от скорости вращения двигателя, получаем

dP > 0.

(5.41)

ds

(Сравните с выражениями (5.29) и (5.30).)

На рис. 5.6 приведены характеристики электромагнитной P и механической Pмех мощностей асинхронного двигателя и области устойчивых и неустойчивых режимов (для случая, когда механический момент не зависит от скорости вращения ротора).

P		Устойчивые
		режимы
		Неустойчивые
		режимы
		Pмех
		P
0	sк	s

Рис. 5.6. Устойчивыеи неустойчивые режимы асинхронного двигателя

5.3. Динамическая устойчивость. Практические критерии динамической устойчивости

Необходимость исследования динамической устойчивости системы возникает при появлении больших возмущений (КЗ, отключений или включений нагрузок или элементов системы). В этом случае необходимо учитывать нелинейность основных характеристик ( P = f (δ ), Q = f (δ ) и др.), инерционные

параметры элементов системы (генераторов и двигателей), изменение ЭДС генераторов. Однако, поскольку учет изменений ЭДС во времени значительно усложняет расчет, в дальнейшем будем учитывать генераторы квазипереходными характеристиками (т.е. характеристиками, построенными при условии неизменности ЭДС), принимая для всех моментов времени E = E′ .

Электромагнитный момент на валу генератора

				43
	M =	P	,	(5.42)
		ω

где ω = ω0 + ω .

Поскольку в начале переходного процесса из-за большой инерционности ротора его скорость изменяется медленно, для приближенных расчетов устойчивости обычно принимают, что в относительных единицах изменения момента численно равны изменениям мощности M ≈ P и M ≈ P . В дальнейшем в

формулах звездочки будут опускаться.

Рассмотрим простейшую систему – станцию, связанную с подстанцией системы через двухцепную линию (рис. 5.7). Станцию представим эквивалентным генератором. Напряжение на шинах подстанции системы примем неизменным, активные сопротивления элементов учитывать не будем. Предположим, что по какой-то причине произошло отключение одной из цепей линии.

а)

б)

в)

Рис. 5.7. Исследуемая простейшая система: а – расчетная схема; б – схема замещения исходного режима; в – схема замещения после отключения одной цепи линии

Характеристики режима могут быть определены как

P = EU sinδ , (5.43)

X12

где X12 = XΣ - суммарное сопротивление цепи от точки приложения ЭДС

Е до шин с напряжением U.

Построим согласно (5.43) характеристики для исходного режима (I) и режима, возникшего после отключения одной цепи, (II) - рис. 5.8. При этом учи-

44
тываем, что в первом режиме				XΣ = X Г	+	X	, а во втором -	XΣ = X Г + X . Уве-
						2
личение сопротивления			XΣ приводит к уменьшению предела передаваемой
мощности ( PII	< PI	).
m	m
PmI		M=P				I	M I=P I
				d	II		M II=P II
	II
Pm
М0I=P0		a	c				f	MТ=PТ
				e
М0II			b

δ0I		δ0II	δмакс	δкр	δ
δ	I	II	δмакс	а)	δ
0		δ0

t

б)

Рис. 5.8. Характеристики динамического перехода: а – характеристики P=f(δ) для исходного режима (I) и режима, возникающего после отключения одной цепи линии (II); б – зависимости δ=f(t) для консервативной системы (сплошная линия) и диссипативной системы (штриховая линия)

Из анализа этих характеристик следует, что в результате резкого изменения параметров системы, вызванного отключением одной из цепей линии, происходит уменьшение электромагнитного момента на валу генератора до вели-

чины M0II . Появившийся небаланс между ускоряющим моментом турбины и

45

тормозящим электромагнитным моментом генератора ( M = MТ − M0II ) приво-

дит к тому, что скорость вращения ротора генератора начинает возрастать и превысит синхронную скорость. Избыточный момент М при этом будет уравновешиваться не только электромагнитным моментом, но и моментом, отвечающим накапливаемой ротором кинетической энергии

A = ò	Mdδ .		(5.44)
δ
Уравнение движения генератора в относительных единицах (без учета
демпфирования и действия регулирующих устройств)
M = MT − M II = Tj		d ω	(5.45)
или		dt
	d 2δ ,
M = T			(5.46)
	j dt2

где δ – угол сдвига ЭДС генератора по отношению к оси, вращающейся с угловой скоростью ω0;

ω – изменение угловой скорости по отношению к синхронной скорости

ω0;	= d2δ
d ω		= α - ускорение.
dt	dt2

В общем случае момент М является функцией скорости и изменяется при изменении режима системы M II = f (δ , ω), но приближенно будем считать,

что M II = f (δ ) = MmII sinδ . Тогда уравнение движения генератора можно записать как

T		d2δ	= P − PII sinδ .	(5.47)
	j	dt2	0 m
Интегрируя уравнение (5.47), можно получить зависимости δ(t) или				ω(t),

по которым можно судить об устойчивости системы. Однако решить это уравнение, как правило, можно только приближенно.

Грубо динамическую устойчивость системы во многих случаях можно проверить без выявления характера движения во времени (без решения уравнения движения) с помощью способа площадей, рассматриваемого далее.

Будем считать, что движение ротора происходит только под действием сил (вращающих моментов), зависящих от положения ротора в пространстве (позиционная система).

Из теоретической механики известно, что при движении со скоростью v материальной точки массой m под действием силы F, зависящей от положения этой точки, происходит работа, определяемая как приращение кинетической энергии на пройденном пути. Так при движении от b1 до b2 с начальной скоростью, равной нулю, приращение кинетической энергии

46

A = mv2	2	b
		= ò2	Fdx .	(5.48)
		b1

Рассматривая изменения скорости по отношению к неизменной синхронной скорости ω0, по аналогии с движением материальной точки получим, что

кинетическая энергия, запасенная при перемещении ротора от угла δ0I до угла δ0II , равна

	T	j	ω2		δ0II
A1 =				=	ò Mdδ	(5.49)
			2
					δ0I
или
A1 = δò0II (P0 − PmII sinδ )dδ = P0 (δ0II − δ0I )+ PmII (cosδ0II − cosδ0I).						(5.50)
δ0I

При переходе от движения материальной точки к движению ротора генератора расстоянию x будет соответствовать угол δ , массе m – постоянная инерции Tj, скорости v – относительная электрическая скорость ω, силе F – избыточный момент M (или избыточная мощность P).

На рис. 5.8 величина А1 пропорциональна площади площадки abca. Возникающий небаланс P между электрической и механической мощ-

ностями приводит к появлению ускорения α =					P Tj и относительному пере-
мещению ротора со скоростью
ω =		2	ò Pdδ .		(5.51)
		T
		j δ

При δ = δ0II электрическая и механическая мощности оказываются рав-

ными (избыточный момент отсутствует), но наличие кинетической энергии A1, запасенной ротором в процессе его ускорения, приводит к тому, что ротор движется далее, проходя точку с и увеличивая угол δ. При движении от точки с к точке d ротор испытывает торможение под действием электрической мощности, которая превышает механическую. Кинетическая энергия Aуск=A1, запасенная при ускорении, называется энергией ускорения, а соответствующая пло-

щадка abca – площадкой ускорения.

На участке от точки с до точки d электромагнитный (тормозящий) момент превышает механический (ускоряющий). По мере продвижения ротора к точке d ротор тормозиться, а кинетическая энергия превращается в потенциальную. В точке d вся кинетическая энергия, полученная при ускорении, переходит в потенциальную, а относительная скорость ω оказывается равной нулю. Площадку cdec называют площадкой торможения. На этом движение ротора не прекращается, т. к. на ротор действует избыточный электрический момент, под действием которого начинается обратное движение ротора (угол δ при этом

47

уменьшается), и ротор снова подходит к точке с с кинетической энергией Аторм (энергией торможения), полученной на участке dc. Эта энергия пропорциональна площади площадки cdec. В точке b скорость ω и кинетическая энергия становятся равными нулю и процесс повторяется. При всех перемещениях ротора сумма кинетической и потенциальной энергии остается неизменной.

Энергия, запасенная ротором в процессе ускорения, математически выражается как

δ0II	δ0II
Aуск = ò	Mdδ = ò		Pdδ	(5.52)
δ0I	δ0I
и представляется графически в виде площадки abca.
Энергия торможения равна
δмакс	δмакс
Aторм = ò	Mdδ =	ò	Pdδ	(5.53)
δ0II	δ0II
и представляется графически в виде площадки cdec.
Правило площадей формулируется как
Aуск = Aторм				(5.54)
или
ò	Pdδ = 0.			(5.55)
δ

Соотношение (5.55) (или (5.54)) является простейшим критерием ди-

намической устойчивости.

Способ площадей основан на предположении, что рассеяние энергии не происходит, т. е. что рассматриваемая система консервативна. Консервативной называется система, в которой отсутствуют потери, зависящие от скорости (т. е. не учитывается мощность демпфирования, потери на трение и т.п.). Система, в которой имеются потери, зависящие от скорости, называется диссипативной. Колебания угла δ (рис. 5.8б) в случае консервативной системы не затухают, а в случае диссипативной – будут затухать.

Для качественного анализа способ площадей может применяться и в тех случаях, когда система не является консервативной, т. е. когда при относительном движении системы происходят изменения ее полной энергии за счет потерь, зависящих от скорости движения.

При учете активного сопротивления система также рассматривается как

консервативная, поскольку потери активной мощности в ней ( I 2R ) не зависят от изменения угловой скорости ротора ω.

Точку f (рис. 5.8) можно назвать критической, т. к. при превышении углом δ значения δкр, соответствующего этой точке, на ротор будут действовать ускоряющие силы и произойдет прогрессирующее нарастание угла δ и выпадение из синхронизма. Такой вид нарушения устойчивости называется апериоди-

48

ческий нарушением устойчивости. (В консервативных системах нарушение устойчивости всегда будет происходить как апериодическое).

В случае, изображенном на рис. 5.8, при колебаниях ротор не достигает точки f и вся энергия, полученная при ускорении ротора (площадка ускорения abca), уравновешивается энергией торможения (площадка торможения cdec), а площадка возможного торможения (cdfec) больше, чем площадка ускорения.

Количественно запас динамической устойчивости можно оценить с помощью коэффициента

K =	Aвозм. торм	= 1+	A	,	(5.56)
	Aуск		Aуск
где Aвозм. торм - площадь площадки возможного торможения;
Aуск - площадь площадки ускорения;
A = Aвозм. торм − Aуск .					(5.57)

При K>1 переход устойчив; при K<1 переход неустойчив; при K=1 критический случай.

Для случая, изображенного на рис. 5.8, критический угол

δ		= π − δ II = π − arcsin	P	= π − arcsin	PI	sinδ I
	кр		0		m	0	.
			PII
		0				PII
			m			m

δкр

A = Aвозм. торм − Aуск = ò (PmII sinδ − P0 )dδ . δ0I

(5.58)

(5.59)

5.4. Предельный угол отключения короткогозамыкания

Рассмотрим схему, изображенную на рис. 5.9а. Предположим, что в точке К произошло двухфазное КЗ, которое затем было отключено в результате срабатывания релейной защиты. Схемы замещения исходного (нормального), аварийного и послеаварийного режимов приведены на рис. 5.9б-г. Схема замещения аварийного режима отличается от схемы замещения аварийного режима наличием сопротивления Х, которое равно для двухфазного КЗ результирующему сопротивлению схемы замещения обратной последовательности.

На рис. 5.10 приведены угловые характеристики мощности, соответствующие исходному (I), аварийному (II) и послеаварийному (III) режимам. Для простоты при их построении принято допущение о равенстве нулю всех активных сопротивлений.

49

а)

б)

в)

г)

Рис. 5.9. Определение предельного угла отключения КЗ: а – расчетная схема; б – схема замещения исходного режима; в – схема замещения аварийного режима; г – схема замещения послеаварийного режима

Предельное значение угла отключения δоткл.пр, при превышении которого переход из исходного режима в послеаварийный не будет устойчивым, можно найти исходя из условия равенства площадок ускорения (abcda) и возможного торможения (dfed):

δотклò	.пр (P0 − PmII sinδ )dδ =	δòкр (PmIII sinδ − P0 )dδ ,			(5.60)
δ0I		δоткл.пр
где			P0
	δкр = π − δ0III = π − arcsin			.	(5.61)
			PIII
			m

50

M=P		I
PmI		III
	e
PmIII
a	d		MТ=PТ
P0		f
PmII		II
	c
b
δ0I δ0III	δоткл.пр	δкр	δ

Рис. 5.10. Угловые характеристики мощности для случая отключения двухфазного КЗ: I – нормального (исходного) режима; II – аварийного режима;

III– послеаварийного режима

Врезультате решения уравнения (5.60) можно получить, что

δоткл.пр =	P0 (δ0I − δкр )+ PmII cosδ0I − PmIII cosδкр		.	(5.62)
	PII	− PIII
	m	m

При трехфазном КЗ в точке К или полном разрыве передачи угловая характеристика электромагнитной мощности, соответствующая аварийному режиму, совпадет с горизонтальной осью координат и предел передаваемой мощ-

ности PmII в этом случае будет равен нулю.

5.5. Определение предельного времени отключения короткого замыкания

Метод площадей позволяет определить предельный угол отключения КЗ δоткл.пр , однако для практического применения необходимо знать предельное

время отключения tоткл.пр . Перейти от предельного угла отключения к предель-

ному времени отключения можно, имея зависимость δ=f(t), которую можно получить, решив уравнение (5.46) или (5.47). Однако это уравнение в большинстве случаев не имеет аналитического решения и может быть решено только с помощью численных методов.

5 . 5 . 1 . П о л ны й сб рос м ощн ос т и . При трехфазном КЗ на шинах подстанции, в начале или конце двухцепной линии, в любой точке одноцепной линии, разрыве передачи электрической мощности Y12 = 0 и в аварийном режи-

ме электромагнитная мощность падает до нуля ( PmII = 0). Движение ротора ге-