Тетрадь 1 (определители,матрицы,СЛАУ,векторы)

Два ненульові вектори a і b колінеарні

тоді й лише тоді, коли векторний

добуток

цих

векторів

…

, тобто

дорівнює

a || b a b ...

Якщо

відомі

координати

вершин

трикутника

АВС,

то

його

площу

S ABC ...

... ...

доцільно шукати за формулою

Обчислення векторного добутку двох векторів, заданих

координатами

Якщо

вектори

a

ax , ay ,

az ,

bx ,

by , bz

задані

своїми

i

j

k

b

координатами,

тоді

векторний

добуток

a b

... ... ...

знаходять за формулою

... ... ...

Момент сили щодо точки

Моментом сили F AB , прикладеної в

точці А щодо точки О позначають

вектор M та

M

...

...

, модуль якого

обчислюють за формулою

чисельно дорівнює

sin ... , ...

M

...

...

Лінійна швидкість обертання

Швидкість

точки М твердого тіла, що

обертається

з

кутовою

швидкістю

навколо нерухомої осі та

r OM ,

де О

– деяку нерухому точку осі визначають

за

формулою

Ейлера

... ...

Мішаний добуток векторів

Мішаним

(векторно-скалярним)

добутком трьох векторів a ,

b

і

c

називають число a b c , рівне

…

вектора a b на вектор

c : abc ...

Якщо в мішаному добутку поміняти

місцями будь-які два множники, то

мішаний добуток

…

, наприклад:

a b c ... сba

113

При циклічному переставленні

множників мішаний добуток

…

, тобто

a b c

... b c a ...

c a b

У мішаному добутку знаки векторного і

скалярного добутків

можна

…

, тобто

a

b

c

...

...

...

...

...

...

За геометричним

змістом

модуль

мішаного добутку a b c чисельно

…

, побудованого на

дорівнює

прикладених до спільного

початку векторах a , b і c тобто

V ...

Об’єм піраміди, побудованої на

… частини

…

, тобто

векторах a , b і c , дорівнює

Vпіраміди ...

Вектори a , b і c компланарні тоді

і лише тоді, коли

a b c ...

Обчислення мішаного добутку трьох векторів, що задані

координатами

ax ,

az ,

Якщо

вектори

a

ay ,

bx , by

, bz

сx , сy , сz

b

і

с

задано

своїми координатами, то мішаний

добуток цих векторів дорівнює

a b c

									ax ,	ay , az ,
Якщо			вектори					a
		bx					сx , сy , сz
	b		, by , bz		і	с				задано

своїми координатами, компланарні, то

0

114

Перевіряємо готовність до

практичного заняття

2 ,

3,

6.1. Відомо,

що

a

b

а кут між векторами a і b

дорівнює

.

3

Оберіть правильне твердження:

А

Б

В

Г

Д

a b 3 3

a b 3

a b

3

a b

3 3

a b 3 3

Векторним

добутком

двох

векторів a і

b називають

вектор c ,

який

задовольняє трьом умовам: 1)

c a, c b ; 2) вектори

a, b і c утворюють праву трійку

sin , де - кут між векторами

векторів; 3)

c

a

b

a і b .

6.2. Якщо

a b

3 , то можна стверджувати, що:

А

Б

В

Г

Д

інша

a і b не є

a і b не є

a і b

a і b

відповідь

перпендику-

колінеарними

утворюють

утворюють

лярними

гострий кут

тупий кут

Скористайтесь умовою колінеарності векторів: вектори a і b колінеарні тоді й лише тоді, коли a b 0 .

6.3. Якщо a 3b , то:

А

Б

В

Г

Д

інша

a b 0

a b 0

a b 0

a b 0

відповідь

Скористайтесь різними умовами колінеарностей векторів:

1) вектори

a і b колінеарні тоді й лише тоді, коли

a b ;

2) вектори

a і b колінеарні тоді й лише тоді, коли

a b 0 .

6.4. Спростіть вираз 2 p q q p p p .

А

Б

В

Г

Д

2

2

інша

3 p q

p q

p q p

3 p q p

відповідь

115

Використовуйте властивості векторного добутку векторів: 1) a a 0 ; 2) a b b a .

6.5. У

паралелограмі ABCD

AB a , а

BC b .

Площа цього

паралелограма обчислюється за формулою:

А

Б

В

Г

Д

1

a b

a b

a b

a b

a b

2

Геометричний зміст векторного добутку: модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на прикладених до спільного початку векторах.

6.6. Який із виразів не може бути правою частиною рівності abc …

А

Б

В

Г

Д

a

b

c

a

b

c

b

c

a

a

b

c

с

a

b

Мішаним

добутком векторів

a , b і

c називається число,

що дорівнює

a b c . У мішаному добутку знаки векторного та скалярного добутків можна міняти місцями: a b c a b c .

6.7. Відомо, що abc 4 . Оберіть правильне твердження:

А

Б

В

Г

Д

інша

a, b і c

a, b і c

a, b і c

a, b і c

відповідь

утворюють

утворюють

компланарні

колінеарні

праву трійку

ліву трійку

векторів

векторів

Якщо

a b c 0 , то вектори

a, b і c утворюють праву трійку векторів, якщо

a b c 0 , то – ліву трійку, якщо a b c 0 , то вектори

a, b і c компланарні.

6.8. Нехай ABCDA1B1C1D1 – паралелепіпед. Об’єм цього паралелепіпеда

може бути обчислений за формулою:

А

Б

В

Г

Д

1

інша

AB AD

AB AD AA1

AB AD AA1

AB AD AA1

6

відповідь

116

Скористайтесь геометричним змістом мішаного добутку векторів: модуль

мішаного добутку

a b c дорівнює обєму паралелепіпеда,

побудованого на прикладених

до спільного початку векторах a, b і c .

6.9. Нехай ABCA1B1C1 – трикутна призма. Об’єм цієї призми може бути

обчислений за формулою:

А

Б

В

Г

Д

1

1

1

інша

AB AD AA1

AB AC AA1

AB AC AA1

AB AC AA1

відповідь

2

3

6

Скористайтесь геометричним змістом мішаного добутку векторів: модуль

мішаного добутку

a b c дорівнює обєму паралелепіпеда,

побудованого на прикладених

до спільного початку векторах a, b і c .

6.10. Нехай A1 ABC – піраміда. За якою формулою можна обчислити її

об’єм?

А

Б

В

Г

Д

1

1

1

інша

AB AC AA1

AB AC AA1

AB AC AA1

ABBCCA

відповідь

3

6

6

1

Обєм піраміди, побудованої на векторах

a, b

і c , дорівнює

6

об’єму

паралелепіпеда, побудованого на цих же векторах.

6.11. Задано

вектори

1; 2; 3 і

0; 4; 5 .

Чому

дорівнює їх

a

b

векторний добуток a b ?

А

Б

В

Г

Д

i

j

k

i

j

k

інша

a 0;8; 15

a b

0

4

5

a b

1

2

3

16

відповідь

1

2

3

0

4

5

Якщо вектори

ax ; ay ; az і

bx ;by ;bz

задано своїми координатами, то

a

b

їхній векторний добуток обчислюється за формулою:

i j k

a b ax ay az bx by bz

117

6.12. Задано вектори											1; 2; 3 ,									0; 4; 5 і						1;1; 2 . Їхній мішаний
								a									b								c
добуток може бути обчислений так:
		А					Б												В									Г				Д
	1	2	3			0	4					5				1		2			3			1			1		2			інша
	0	4	5			1 2						3				1		1			2			0			4		5			відповідь
	1	1	2			1	1					2				0		4			5			1 2					3
											ax ; ay ; az ,										bx ;by ;bz							cx ;cy ;cz
			Якщо вектори						a									b						і			c					задано своїми

координатами, то їхній мішаний добуток обчислюється за формулою: ax ay az

a b c bx by bz . cx cy cz

Учимося розв’язувати типові задачі

6.13. Відомо, що

a

2 ,

b

6 і a b 24 . Знайдіть синус кута

між

векторами a і b .

Хід розв’язання.

Крок 1. Знайдіть cos .

	Скористайтесь формулою для обчислення косинуса кута між векторами:
cos			a			b			.
	a					b

Крок 2. Обчисліть sin .

Скористайтесь основною тригонометричною тотожністю: sin2 cos2 1.

118

Відповідь: sin

3

.

2

6.14. Знайдіть векторний добуток a b , якщо

a m 3n ,

b 2m n , де

1;0;3 ,

1;1;2 .

m

n

Хід розв’язання.

Крок 1. Знайдіть координати векторів a і b .

a b

ax ; ay ; az ,

bx ; by ; bz ,

Якщо вектори задано своїми координатами

a

b

тоді

ax bx ; ay

by ; az bz , а

ax ; ay ; az .

a

b

a

4; 3; 3 і

3;1; 4 . Знайдіть

.

Крок 2. Отже,

a

b

a

b

i

j

k

1 ...

... ...

1 ...

... ...

1 ...

... ...

...

a b

...

...

i

j

k

... ... ...

... ...

... ...

... ...

Якщо вектори a ax ; ay ; az і b bx ; by ; bz задано своїми координатами, то їхній векторний добуток обчислюється за формулою:

				i		j		k
a b				ax	ay			az
				bx	by			bz

Для обчислення визначника скористайтесь теоремою Лапласа.

Крок 3. Отже, a b 15i 25 j 5k . Знайдіть координати вектора

a b .

119

Скористайтесь тим, що векторну рівність a ax i ay j az k

у символічній

формі записують так:

ax ; ay ; az .

a

Відповідь: 15; 25;5 .

6.15. Знайдіть площу паралелограма, побудованого на векторах

p 2a b

і

q

3

b

4

a

, якщо

a

3 ,

b

2 , а кут між векторами a і

b

дорівнює

6 .

Хід розв’язання.

Крок 1. Спростіть вираз p q . p q 2a b 3b 4a

Скористайтесь

властивостями векторного

добутку векторів: 1) a a 0 ;

; 3)

.

2)

a

b

b

a

a

b

a

b

Крок 2. Отже,

p q 10a b . Знайдіть

p q

.

Скористайтесь тим, що

a

a

.

sin , де - кут

Для обчислення

a b

використовуйте формулу:

a

b

a

b

між векторами a і b .

Крок 3. Отже, площа паралелограма, побудованого на векторах p і q дорівнює:

Скористайтесь геометричним змістом векторного добутку векторів: модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на прикладених до спільного початку векторах.

Відповідь: 30.

120

6.16. Знайдіть вектор a , якщо a b ,

a c і

a m 2 та відомо, що

1;0; 2 ,

2;1;1 ,

1;1;1 .

b

c

m

Хід розв’язання.

Крок 1. Знайдіть a b c .

Якщо вектори a ax ; ay ; az і b bx ;by ;bz задано своїми координатами, то їхній векторний добуток обчислюється за формулою:

				i		j		k
a b				ax	ay			az			.
				bx	by			bz

Крок 2. Визначте взаємне розміщення векторів

a

і

,

a

і c та

a

і a

b

a ... b,

a ... c

a ... a.

Векторним

добутком

двох векторів

a і

b називають вектор

c ,

який

задовольняє трьом умовам: 1)

c a, c b ; 2) вектори

a, b і c утворюють праву трійку

sin , де

- кут між векторами

векторів; 3)

c

a

b

a і b .

Крок 3. Оскільки а

/

. Виразіть координати вектора a .

// а , то a a

		Якщо вектор задано своїми координатами		ax ; ay ; az ,
			a		тоді
		ax ; ay ; az .
	a

121

Крок 4. За умовою a m 2 . Запишіть цю рівність через

координати векторів		2 ; 5 ; і		1;1;1 та знайдіть .
	a		m

Якщо, a ax ; ay ; az , b bx ; by ; bz то a b ax bx ay by az bz .

Крок 5. Оскільки 1, то a 2; 5;1

Відповідь:

2; 5;1 .

a

6.17. З’ясувати орієнтацію трійки векторів

2; 5;1 ,

1;1;2 і

a

b

3; 4;0 .

c

Хід розв’язання.

Крок 1. Знайдіть мішаний добуток векторів abc .

		ax ; ay ; az ,		bx ;by ;bz і		cx ;cy ;cz задано своїми
Якщо вектори	a		b		c

координатами, то їхній мішаний добуток обчислюється за формулою:

						ax	ay	az
a b c						bx	by	bz
						cx	cy	cz

Крок 2. З’ясуйте орієнтацію трійки векторів a, b, c .

Якщо a b c 0 , то вектори a, b і c утворюють праву трійку векторів, якщо a b c 0 , то – ліву трійку.

122