Тетрадь 1 (определители,матрицы,СЛАУ,векторы)
.pdf150 |
240 |
320 |
|
280 |
300 |
450 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 100 |
130 |
175 |
, |
B |
120 |
150 |
170 |
. |
|
|
25 |
15 |
20 |
|
|
30 |
20 |
18 |
|
|
|
|
|
Таблиці, які задано в такому вигляді, називають матрицями. Над матрицями можна виконувати різні дії.
Складаючи відповідні елементи заданих матриць, одержимо матрицю С, яка визначає загальне число виробів за зазначеними
|
|
150 280 |
240 300 |
320 450 |
|
430 |
540 |
770 |
|
||||
категоріями якості: |
C |
|
100 |
120 |
130 150 |
175 170 |
|
|
|
220 |
280 |
345 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
30 |
15 20 |
20 18 |
|
|
|
55 |
35 |
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Складаємо опорний конспект
Матриці
Таблицю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
21 |
|
... |
a |
|
|
Отже, матриця, що складається з |
|||||||||||
|
|
11 |
|
|
|
|
1n |
|
|
3 2 чисел aij |
i 1, 2, 3; |
j 1, |
2 має |
||||||||
|
A |
a21 |
a22 ... |
a2n |
|
|
|||||||||||||||
|
... ... ... |
... |
, |
|
вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am2 ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
am1 |
amn |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
що складається |
|
з |
|
|
m n |
чисел |
|
|
A |
|
|
|
|
||||||||
aij i 1, 2, ..., n; |
j 1, |
2, ..., m , |
|
|
називають |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
матрицею |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Числа aij |
– елементи матриці, де |
|
i вказує |
|
…, |
а j – |
… |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Добуток кількості рядків на кількість |
Отже, для матриці |
|
|
|
|||||||||||||||||
стовців |
m n |
називають |
|
|
розміром |
a |
|
a |
|
a |
|
розмір |
… |
||||||||
матриці |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
11 |
12 |
|
13 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a22 |
|
a23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
|
|
|
|
|
|||
Коротко матрицю позначають так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ai j , де i 1, n , j 1, m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
та записують у вигляді таблиці |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрицю A розміру m n позначають |
Отже, матрицю |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Am n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A a21 |
a22 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
позначають … |
|
|
|
|
23
Матрицю, в якої кількість рядків |
Отже, квадратна матриця 3 3 має |
|||||||||||||||||
дорівнює кількості стовпців, називають |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
квадратною |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вигляд |
A |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо всі елементи матриці дорівнюють |
Отже, нульова матриця 3 3 має |
|
||||||||||||||||
нулю, то матрицю називають нульовою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вигляд |
A |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Квадратну |
матрицю |
називають |
Отже, трикутна матриця 3 3 має |
|
||||||||||||||
трикутною, якщо всі елементи, що |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
||||||||
розташовані |
під |
|
(над) |
головною |
|
A |
|
11 |
|
|
|
|
|
|||||
діагоналлю, дорівнюють нулю, а серед |
вигляд |
|
|
|
а22 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
тих, що залишилися, є ненульові |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а33 |
|
|||||||||
Квадратну матрицю, усі елементи якої, |
Отже, діагональна матриця 3 3 |
|
||||||||||||||||
крім діагональних, дорівнюють нулю, |
має вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
називають діагональною |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
а22 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а33 |
|
|
|
|
Квадратну матрицю, всі елементи |
Отже, одинична матриця розміру |
|||||||||||||||||
головної діагоналі |
|
якої |
дорівнюють |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
одиниці, а всі інші – нулю, називають |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 3 має вигляд Е |
1 |
|
|
|||||||||||||||
одиничною |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Матрицю |
|
|
A |
T |
|
|
називають |
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
|
||||
транспонованою |
|
до |
матриці A , |
якщо |
Отже, |
до |
|
|
A a21 |
a22 |
a23 |
|
||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
рядки матриці |
A |
є стовпцями матриці |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A , а стовпці – рядками матриці A |
|
транспонованою є |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрицю, яка містить один стовпець, |
Отже, вектор-стовпець розміру |
|
||||||||||||||||
називають |
вектор-стовпцем |
та |
3 1 записують у вигляді |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
записують у вигляді A |
a2 |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
Матрицю, яка містить один рядок, |
Отже вектор-рядок розміру 1 3 |
|||||||
називають вектор-рядком та записують |
|
записують у вигляді |
||||||
у вигляді A a1 |
a2 |
|
... an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Будь-якій квадратній матриці |
|
|
|
|
|
|||
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
det A |
|
|
|
|
an 2 |
... |
ann |
|
|
|
|
|
an1 |
|
|
|
|
||||
можна поставити у відповідність |
|
|
|
|
||||
визначник det A (або A ) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
Квадратну матрицю A називають |
… |
|
|
|
||||
невиродженою, якщо її визначник |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
Якщо det A 0 , то матрицю |
A |
… |
|
|
|
|||
|
|
називають |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Лінійні операції над матрицями та операція множення матриці на матрицю
Сумою матриць A і B однакових розмірів |
|
|
|||||||||
є матриця A B того ж розміру, кожен |
|
|
|||||||||
елемент якої є сумою відповідних |
|
|
|
||||||||
елементів матриць A і B , тобто якщо |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
a11 |
a12 ... |
a1n |
|
b11 |
b21 ... |
b1n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
a21 |
a22 ... |
a2n |
|
b12 |
b22 ... |
b2n |
A B |
|
||
... ... ... |
, B |
... |
|
|
|
, |
|
||||
|
... |
|
|
|
... ... |
... |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bm2 ... |
|
|
|
|
|
am1 |
am2 ... amn |
|
bm1 |
bmn |
|
|
||||
Добутком дійсного числа на матрицю є |
|
|
|||||||||
матриця, кожен елемент якої є добутком |
|
|
|||||||||
цього числа на відповідні елементи |
|
|
|
||||||||
матриці, тобто якщо |
|
|
|
|
|
|
то |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
||
|
|
|
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
... |
a |
2n |
|
|
A |
|
||
|
|
A ... ... |
... ... |
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am2 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
amn |
|
|
|
|||||
Різницю матриць A B однакових |
|
|
|
||||||||
розмірів визначають як суму матриці A і |
|
|
|||||||||
матриці B , помноженої на 1: |
|
|
|
|
|||||||
A B A 1 B , тобто якщо |
|
|
|
то |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 ... |
a1n |
|
b11 |
b21 |
... |
b1n |
|
|
|
|
|||||
|
|
A B |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
a21 |
a22 ... |
a2n |
|
b12 |
b22 |
... |
b2n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
, B |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
... |
... |
|
|
|
|
|
||||
|
... ... ... |
... |
|
... |
... |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
am2 ... |
|
|
|
|
bm2 |
... |
|
|
|
|
|
|||
|
am1 |
amn |
|
bm1 |
bmn |
|
|
|
|
||||||||
Матриці A і B (тут A – перша матриця, B |
Отже, |
до |
матриці |
A розмірів |
|||||||||||||
– |
|
друга |
|
|
матриця) |
|
|
називають |
|||||||||
узгодженими, |
якщо |
кількість |
стовпців |
2 3 |
узгодженою |
може бути |
|||||||||||
матриця B розміром 3 ... |
|||||||||||||||||
матриці |
|
A |
|
дорівнює |
|
кількості |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
рядків матриці B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Добутком матриці A на матрицю B , |
|
|
|
|
|||||||||||||
розміри яких 2 3 |
і 3 2 відповідно, для |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
а |
а |
а |
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
11 |
12 |
13 |
|
B b21 |
b22 |
, |
|
|
|
|
|
|
|||
A |
а21 |
а22 |
а23 |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
b31 |
b32 |
|
|
…, де |
С |
|
|
|||
називають матрицю C AB розміру |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо А і В – матриці однакового |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
розміру, |
то |
A B |
… |
|
|
|
|||||
Якщо A – матриця, , – довільні |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
сталі, то A |
… |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Якщо A – матриця, , |
– довільні |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
сталі, то A |
|
… |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Якщо A, |
B, C – матриці, де С – матриця |
|
|
|
|
||||||||||||
узгоджена з А і В , то |
|
|
A B C |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Якщо A – матриця та AТ – транспонована |
|
|
|
|
|||||||||||||
до неї, то AT T |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
||||||
Якщо A, |
B, C – матриці, де С – матриця |
|
|
|
|
||||||||||||
того ж розміру, що А і В , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
то A B C |
… |
|
|
|
|||||
Якщо А і В – матриці однакового розміру, |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
– довільна стала, то |
|
A B |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Якщо А і В – узгоджені матриці, – |
|
|
|
|
|||||||||||||
довільна стала, |
|
|
|
|
то |
A B |
… |
|
|
|
|||||||
Якщо А, В і С – узгоджені матриці , |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
то A B C |
… |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Якщо А і В – матриці однакового розміру, |
|
|
|
|
|||||||||||||
то A B T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
26
Якщо А і В – узгоджені матриці, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
A B T |
|
|
… |
|
|
|
|
|
||
Якщо А і Е (одинична) – узгоджені |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
матриці, |
|
|
|
|
|
|
то Am n En n |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обернена матриця |
|
|
|
||||||||
Обернена матриця A 1 |
існує |
|
|
|
|
тільки для кожної … |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матриці A |
|
|
||||
Якщо виконуються рівності |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A 1 A A A 1 E , де E |
– одинична |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
матриця, того ж розміру, що й А, то |
|
|
матрицю A 1 |
називають … |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
до матриці A |
|
|||||
Транспонована матриця, що складається |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
з |
алгебраїчних |
доповнень |
Aij |
до |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
відповідних елементів |
aij |
матриці |
до |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
матриці |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A |
11 |
12 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a21 |
a22 |
a23 , має вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a31 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обернену матрицю A 1 до матриці |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
a |
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A a21 |
a22 |
a23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
... |
||||||||||||||
|
|
знаходять за формулою |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матричні рівняння |
|
|
|
||||||||
Матричне рівняння |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a |
a |
a |
|
х |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11 |
12 |
13 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
|
|
х2 |
|
b2 |
, |
де |
|
– |
|
|
|
|
|
|
||
|
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
|
х3 |
|
b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
11 |
12 |
|
13 |
|
|
|
невироджена |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a21 |
a22 |
a23 |
|
– |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
a32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матриця, |
а |
|
|
X |
х2 |
, B |
b2 |
|
– |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектори-стовпці, |
може бути |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
записано у вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
Розв’язати матричне рівняння AX B , де |
знайти невідому матрицю …, що |
|||||||||
А і В – відомі матриці, означає |
задовольняє це матричне |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
рівняння |
|
|
||
Розв’язок матричного рівняння AX B , |
|
|
|
|
||||||
де А і В – відомі матриці, знаходять за |
Х … |
|
|
|
||||||
формулою |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Ранг матриці |
|
|
|
||
Визначник порядку k , складений із |
|
|
|
|
||||||
елементів, що стоять на перетині |
|
|
|
|
||||||
виділених рядків і стовпців, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
називають |
… |
k -го рядку матриці A |
||||
Найбільший порядок відмінного від |
… |
матриці A і позначають |
||||||||
нуля мінору матриці називають |
r A |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
Ранг нульової матриці дорівнює |
… |
|
|
|
||||||
Мінор, порядок якого визначає ранг |
|
|
|
|
||||||
матриці, називають |
|
|
|
… |
|
|
|
|||
Ранг матриці можна знаходити так. |
|
|
|
|
||||||
Якщо в матриці |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a11 |
a12 ... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
a21 |
a22 ... |
a2n |
|
знайдено |
|
|
|
|
|
... ... ... |
... |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an 2 ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
ann |
|
|
|
|
|
|||
відмінний від нуля мінор: |
|
|
|
|
|
|||||
1) 2 -го порядку, а мінори порядку вище |
|
|
|
|
||||||
2 -го дорівнюють нулю, то ранг матриці |
1) дорівнює |
… |
; |
|||||||
2) k -го порядку, то ранг матриці |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||
3) k -го порядку та всі мінори k 1 -го |
2) не менший |
… |
; |
|||||||
порядку дорівнюють нулю, то ранг |
||||||||||
матриці |
|
|
|
|
|
3) дорівнює |
… |
; |
||
4) k 1 -го |
порядку, |
то |
|
переходять до |
||||||
дослідження мінорів |
|
|
|
4) порядку |
… |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Ранг матриці не зміниться, якщо над |
1) переставити місцями |
|
||||||||
нею |
виконати |
|
|
елементарні |
|
… |
; |
|||
перетворення, а саме: |
|
|
|
2) помножити |
кожний |
елемент |
||||
|
|
|
|
|
|
… |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) додати до |
елементів рядка |
|||
|
|
|
|
|
|
(стовпця) |
… |
; |
||
|
|
|
|
|
|
4) викреслити |
… |
. |
28
|
|
Перевіряємо готовність до |
|
|||||||||
|
|
|
|
практичного заняття |
|
|||||||
2.1. Елемент a12 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
1 |
|
дорівнює: |
|
||
суми матриць |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
||
А |
|
Б |
|
|
В |
|
|
|
|
Г |
|
Д |
0 |
|
1 |
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
Скористайтеся означенням суми двох матриць.
2.2. Елемент a21 |
|
1 |
2 |
|
3 |
1 |
|
дорівнює: |
|
різниці матриць |
1 |
3 |
|
|
1 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
А |
Б |
В |
|
|
|
|
|
Г |
Д |
0 |
-2 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
4 |
Скористайтеся означенням різниці двох матриць.
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3. Матриця |
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
дорівнює: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
А |
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
Г |
|
|
Д |
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
3 |
3 |
3 |
|
|
3 |
1 |
1 |
|
інша |
|
2 |
2 2 |
|
|
|
6 2 |
2 |
|
|
|
|
6 6 6 |
|
|
2 |
6 2 |
|
відповідь |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
1 |
1 |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
Скористайтеся означенням добутку матриці на число.
2.4. Елемент c23 |
добутку двох матриць С=АВ дорівнює: |
|
|||
|
|
|
|
|
|
А |
|
Б |
В |
Г |
Д |
добутку від- |
|
сумі добутків |
сумі добутків |
сумі добутків |
сумі добутків |
повідних еле- |
|
відповідних |
відповідних |
відповідних |
відповідних |
ментів мат- |
елементів 2-го |
елементів2-го |
елементів 2-го |
елементів2-го |
|
риць А і В |
|
стовпця мат- |
рядка матриці |
стовпця матри- |
рядка матриці |
|
|
риці А і 3-го |
А і 3-го стовп- |
ці А і 3-го |
А і 3-го рядка |
|
рядка матриці В |
ця матриці В |
стовпця |
матриці В |
|
|
|
|
|
матриці В |
|
29
Скористайтеся означенням добутку двох матриць.
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
1 |
|
дорівнює: |
2.5. Елемент a21 добутку двох матриць |
1 |
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
||
А |
Б |
В |
|
|
|
Г |
|
|
Д |
1 ( 3) 3 1 |
1 ( 1) 2 ( 2) |
1 1 |
|
|
|
1 ( 3) |
|
1 ( 3) 3 1 |
Скористайтеся означенням добутку двох матриць.
2.6. Розв’язок матричного рівняння АХ=В знаходиться за формулою:
А |
|
Б |
В |
|
Г |
Д |
|
B |
1 |
1 |
B |
X B ( A) |
X ( A) B |
X |
X B A |
X A |
|
|
||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скористайтесь формулою для розв’язку матричного рівняння АХ=В.
|
0 |
5 |
|
1 |
|
|
0 1 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
||
|
, |
|
, |
|
0 |
|
|
||||||||
2.7. Для матриць A |
, |
B |
|
C |
|
|
D |
1 |
|||||||
|
2 |
1 |
|
3 |
|
|
1 3 0 |
|
|
|
2 |
6 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
оберіть неправильне твердження: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А |
Б |
|
|
В |
|
|
Г |
|
|
|
|
Д |
|
|
|
АіD |
А і В |
|
|
В і С |
|
|
С і А |
|
|
|
D іВ |
|
|
||
неузгоджені |
узгоджені |
|
неузгоджені |
узгоджені |
|
|
узгоджені |
|
|||||||
Скористайтесь означенням узгоджених матриць. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.8. Добутком матриць A2 3 |
B3 4 |
є матриця розміром: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
А |
Б |
|
|
В |
|
|
Г |
|
|
|
|
Д |
|
|
|
2 4 |
3 3 |
|
|
3 4 |
|
|
2 3 |
|
|
|
4 2 |
|
|
Скористайтесь означенням добутку двох матриць.
2.9. Добутком вектора-рядка з двох елементів на вектор-стовпець з двох елементів є:
А |
Б |
В |
Г |
Д |
вектор-рядок |
вектор- |
матриця |
число |
інша |
з двох |
стовпець з |
розміром |
|
відповідь |
елементів |
двох елементів |
2 2 |
|
|
Скористайтесь означенням добутку двох матриць.
30
2.10. Добутком вектора-стовпця з двох елементів на вектор-рядок із двох елементів є:
А |
Б |
В |
Г |
Д |
вектор-рядок |
вектор- |
матриця |
число |
інша |
із двох |
стовпець з |
розміром |
|
відповідь |
елементів |
двох елементів |
2 2 |
|
|
Скористайтесь означенням добутку двох матриць.
2.11. Одинична матриця розміру 3 3 має вигляд:
|
А |
|
|
Б |
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
Г |
|
Д |
|
|
1 1 1 |
1 |
1 1 |
|
|
|
1 0 |
0 |
|
0 |
0 1 |
1 0 |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 1 |
|
0 |
1 1 |
|
|
|
|
0 1 |
0 |
|
|
|
0 |
1 0 |
|
1 1 |
0 |
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 0 |
1 |
|
|
|
1 |
0 0 |
|
|
1 |
|
|
1 1 1 |
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
||||||||
|
Скористайтесь означенням одиничної матриці. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2.12. Якщо det( A) 2, то det( A 1) дорівнює: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
А |
|
|
Б |
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
Г |
|
Д |
|
|
|
0,5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
–2 |
|
|
|
|
|
–0,5 |
|
інша |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
відповідь |
||
|
Скористайтесь властивостями оберненої матриці. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
2 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
1 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.13. Визначіть ранг матриці |
|
0 |
|
0 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
А |
|
|
Б |
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
Г |
|
Д |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
Рангом матриці називають найбільший порядок відмінного від нуля мінора |
|||||||||||||||||||
цієї матриці. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.14. Визначіть ранг матриці |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
А |
|
|
Б |
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
Г |
|
Д |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
31
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
5 |
|
: |
|
2.15. Визначіть ранг матриці |
|
|
|||||
|
|
0 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А |
Б |
|
В |
|
|
Г |
Д |
1 |
2 |
|
3 |
|
|
4 |
інша |
відповідь
Учимося розв’язувати типові задачі
1 |
0 |
2 |
2 4 |
1 |
|||||
|
3 |
2 |
5 |
|
|
1 |
0 |
5 |
|
2.16. Обчисліть значення виразу 4 |
|
3 |
. |
||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
Хід розв’язання.
Крок 1. Виконайте множення першої матриці на 4, а другої – на 3.
Скористайтесь означенням добутку матриці на число: добутком дійсного числа
на матрицю є матриця, кожен елемент якої є добутком цього числа на відповідні елементи матриці.
Крок 2. Обчисліть різницю отриманих матриць.
4 |
0 |
8 |
6 12 |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
8 |
20 |
|
|
3 |
0 |
15 |
|
|
|
4 |
8 |
12 |
|
|
3 |
9 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
32