Тетрадь 1 (определители,матрицы,СЛАУ,векторы)
.pdfa x a x a x b , |
|
|
11x |
|
|
12 x |
|
|
13 x |
|
1, |
||||||||||||||||||
a |
a |
a |
b |
||||||||||||||||||||||||||
|
11 |
1 |
12 |
2 |
13 |
3 |
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
a2 2 x2 |
a23 x3 |
b2 , можна звести |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a22 x |
a23 x b2 , де |
||||||||||||||||||||||||
a21x1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
a31x1 |
a32 x2 a33 x3 b3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a33 x b3 , |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
до трапецієподібного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a21 ... , |
a31 |
... , à32 ... |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(чи трикутного) вигляду |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо r – ранг основної матриці A збігається з кількістю невідомих, то одержана система
|
|
11x |
|
|
12 x |
|
|
13 x |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a |
a |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a22 x2 a23 x3 |
b2 , |
|
|
отже, |
і |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у звортньому ході методу Гауса |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a33 x3 b3 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
спочатку з останнього рівняння |
|||||
початкова система |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 ..., після цього з |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
a12 x2 |
a13 x3 |
b1, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
попереднього рівняння x2 ...; |
|||||||||||||||||||||||||||
a11x1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
a21x1 a2 2 x2 |
|
a23 x3 b2 , |
|
|
|
|
|
піднімаючись по системі від |
||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x a |
|
x |
a |
x |
|
b , |
|
|
|
|
|
останнього рівняння до першого |
||||||||||||||||||||||
|
31 |
1 |
32 |
2 |
|
|
|
|
|
|
33 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
x1 ... |
|
||||||||||||||
має єдиний розв’язок, який |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
визначимо так: |
|
|
|
|||||||
Елементарні |
|
|
|
|
|
|
перетворення |
|
рівнянь |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
системи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
a12 x2 |
a13 x3 b1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
a11x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
a21x1 a2 2 x2 a23 x3 b2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
a x a x a x b , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
31 |
1 |
32 |
2 |
|
|
|
|
|
|
33 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
розширеної матриці |
|
||||||||||||||
рівносильні перетворенню рядків |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критерій сумісності СЛАР |
|
||||||||||
У заданій систему вигляду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a11 x1 |
a12 x2 ... a1n xn |
b1 , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 2 x2 |
... a2 n xn |
b2 , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a21 x1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
..............................................., |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
a |
|
x |
|
a |
|
x |
|
... a |
|
x |
|
b |
, |
|
позначаються відповідно … , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m1 1 |
|
|
|
|
|
|
m 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
m n |
|
n |
|
m |
|
||||||||
ранги головної і розширеної матриць |
|
… |
|
|
|
53
Для того, щоб СЛАР була сумісною, |
|
|
|
|||||||||||
необхідно і достатньо, щоб |
r(A)… r(B) |
, де r(A) – ранг |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
головної матриці A , |
r(B) – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ранг розширеної матриці В |
||
Якщо ранг головної матриці дорівнює |
|
|
|
|||||||||||
рангу розширеної |
|
матриці і |
дорівнює |
|
|
|
||||||||
кількості невідомих, то система має |
… |
|
|
|||||||||||
Якщо ранг головної матриці дорівнює |
|
|
|
|||||||||||
рангу розширеної матриці, але менший |
|
|
|
|||||||||||
від кількості невідомих, |
|
|
|
|
|
… |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
то система має |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Якщо r B r A |
для системи, то |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вона |
… |
|
|
|
|
|||||||||||||
Однорідні системи лінійних алгебраїчних рівнянь |
||||||||||||||
Однорідна система вигляду |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a11 x1 |
a12 x2 ... a1n xn b1 , |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
a2 2 x2 |
... a2 n xn |
b2 |
|
|
|
|
||||||
a21 x1 |
, |
|
|
|
||||||||||
..............................................., |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
a |
m 2 |
x |
2 |
... a |
m n |
x |
n |
b |
, |
|
|
|
|
m1 1 |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
||||
завжди сумісна та має розв’язок |
|
x1 x2 ... xn … |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
Для того, щоб система однорідних |
|
|
|
|||||||||||
рівнянь мала ненульові розв’язки, |
|
|
|
|||||||||||
необхідно й достатньо, щоб |
ранг її головної матриці був |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
за кількістю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
невідомих, тобто r A |
... n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перевіряємо готовність до |
|
|||
|
|
практичного заняття |
|
|||
|
|
2x y 3z 4, |
|
|||
|
|
|
є : |
|
||
3.1. Розв’язком системи рівнянь x 2 y z 3, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 5 y z 2; |
|
|
|
|
А |
Б |
В |
|
Г |
|
Д |
(7; 3;5) |
(1;0;2) |
(1;0; 2) |
|
( 1;0;2) |
|
(1;1; 1) |
|
|
|
|
|
|
|
54
Скористайтесь означенням розв’язку СЛАР із трьома невідомими: трійка чисел (x0 ; y0 ; z0 ) називається розв’язком СЛАР із трьома невідомими, якщо під час
підстановки цих чисел замість невідомих усі рівняння СЛАР перетворюються в тотожності.
3.2. Яка з наведених СЛАР є однорідною:
А |
|
|
Б |
|
В |
|
|
Г |
|
Д |
x y 2z 0, |
z 4x y, |
x y z 2, |
2x y z 1, |
x y 2 0, |
||||||
|
7 |
0, |
|
|
|
|
|
4 y 4, |
|
|
3x 6z |
5x z 0, |
2x 5t z, |
x |
2x 5 z, |
||||||
|
|
|
|
|
7z |
5. |
|
|
|
z 0. |
2x 5 y z 0. |
7 y x 5z. |
x |
y z 9. |
x |
Скористайтесь означенням однорідної СЛАР: СЛАР називають однорідною, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю.
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2z y 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.3. Головна матриця системи 3x 6z 7 0, має вигляд: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 5 y z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
А |
|
|
|
|
Б |
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
Д |
|
1 1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0 |
6 |
|
|
3 |
0 |
6 |
|
|
|
|
3 |
6 |
0 |
|
3 |
6 |
0 |
|||
|
2 5 |
1 |
|
|
2 |
5 |
|
|
2 |
5 |
1 |
|
|
|
2 |
5 |
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
Скористайтесь означенням головної матриці системи: головною матрицею
a x a y a z b , |
|||
11 |
12 |
13 |
1 |
системи a21x a22 y a23 z b2 , називають матрицю її коефіцієнтів |
|||
a x a y a z b |
|||
31 |
32 |
33 |
3 |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
A |
a |
a |
a |
. |
|
21 |
22 |
23 |
|
|
|
a32 |
a33 |
|
|
a31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2z y 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.4. Розширена матриця системи |
|
|
|
|
0, |
має вигляд: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3x 6z 7 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 5 y z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
А |
|
|
|
Б |
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
Д |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 1 |
2 |
0 |
|
1 2 |
1 |
0 |
|
1 |
2 |
1 |
0 |
|
|
1 |
1 |
2 |
0 |
|
1 |
1 2 |
0 |
|
||||||
|
3 0 |
6 |
7 |
|
|
3 6 |
7 |
0 |
|
|
3 |
0 |
6 |
0 |
|
|
|
3 |
0 |
6 |
7 |
|
|
|
3 |
0 6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 5 |
1 |
0 |
|
|
2 5 |
1 |
0 |
|
|
2 |
5 |
1 |
0 |
|
|
|
2 |
5 |
1 |
0 |
|
|
|
2 |
5 1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55
Розширеною матрицею системи
|
a |
a |
a |
|
b |
|
|
|
|||||
|
11 |
12 |
13 |
|
1 |
|
A a21 |
a22 |
a23 |
|
b2 . |
||
|
a |
a |
a |
|
b |
|
|
31 |
32 |
33 |
|
3 |
|
a x a y a z b , |
|||
11 |
12 |
13 |
1 |
a21x a22 y a23 z b2 , називається матриця |
|||
a x a y a z b |
|||
31 |
32 |
33 |
3 |
|
|
|
2x 3y z 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3.5. Систему лінійних рівнянь |
|
|
4 y |
3z 4, |
|
можна записати у вигляді |
||||||||||||||||
x |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x z 9 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
наступного матричного рівняння: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
1 x |
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
А |
|
|
1 |
|
4 |
|
3 |
|
y |
|
4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
7 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
9 z |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x 2 |
|
3 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Б |
|
y |
|
1 |
|
4 3 |
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
0 1 |
|
|
|
|
9 |
|
|
||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 3 |
|
1 x |
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В |
|
|
1 4 |
|
3 |
|
y |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
7 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
1 x |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Г |
|
|
1 |
|
4 |
|
3 |
y |
|
|
|
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
7 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Д |
|
x 2 |
|
3 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y |
|
1 |
|
4 3 |
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
0 1 |
|
|
|
|
9 |
|
|
||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
СЛАР
|
a11 |
a12 |
A |
a |
a |
|
21 |
22 |
|
|
a32 |
|
a31 |
a x a y a z b , |
|
||||||
|
11 |
12 |
|
|
13 |
1 |
|
a21x a22 y a23 z b2 , |
можна записати у вигляді рівняння АХ=В, де |
||||||
a x a y a z b |
|
||||||
|
31 |
32 |
|
|
33 |
3 |
|
a13 |
|
|
x |
|
b1 |
|
|
a |
, |
X |
y |
|
, B |
b |
. |
23 |
|
|
|
|
|
2 |
|
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
b3 |
|
56
3.6. Для деякої СЛАР 3, x 12, y 6, z 0 . Можна стверджувати, що система:
А |
|
|
Б |
|
В |
|
Г |
Д |
|
система |
|
система має |
система має |
|
система має |
система має |
|||
несумісна |
|
єдиний |
три розв’язки |
|
безліч |
два розв’язки |
|||
|
|
|
розв’язок |
|
|
|
розв’язків |
|
|
СЛАР несумісна, |
якщо 0 , а принаймні один із визначників x , y , z не |
||||||||
дорівнює |
нулю; |
СЛАР |
має |
безліч |
розв’язків |
чи не має жодного, якщо |
|||
x y |
z 0 ; СЛАР має єдиний розв’язок, якщо 0 . |
|
|||||||
3.7. Для деякої СЛАР 0, x |
12, y |
6, z 0 . Можна стверджувати, що: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
Б |
|
В |
|
Г |
Д |
|
система |
|
система має |
система має |
|
система має |
система або |
|||
несумісна |
|
єдиний |
три розв’язки |
|
безліч |
має безліч |
|||
|
|
|
розв’язок |
|
|
|
розв’язків |
розв’язків, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
несумісна |
Дивись підказку до попередньої вправи 3.6. |
|
|
|||||||
3.8. Для деякої СЛАР 0, x 0, y |
0, z 0. Можна стверджувати, що: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
А |
|
|
Б |
|
В |
Г |
Д |
||
система |
система має |
система має |
система має |
система або |
|||||
несумісна |
єдиний |
три розв’язки |
безліч |
має безліч |
|||||
|
|
|
розв’язок |
|
|
|
розв’язків |
розв’язків, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
несумісна |
Дивись підказку до вправи 3.6.
3.9. Які з наведених дій не є елементарними перетвореннями рядків розширеної матриці СЛАР:
А |
Б |
В |
Г |
Д |
множення |
почленне |
переставляння |
почленне |
додавання до |
рядка на |
додавання |
місцями двох |
множення |
рядка |
ненульовий |
двох |
рядків |
двох |
іншого, |
множник |
рядків |
|
рядків |
помноженого |
|
|
|
|
на будь-яке |
|
|
|
|
число |
Скористайтесь переліком елементарних перетворень рядків розширеної матриці системи СЛАР.
57
3.10. Нехай А – основна матриця СЛАР, а A – її розширена матриця.
|
|
|
|
|
|
|
Відомо, що |
r( A) 2 i r( A) 3. У цьому випадку: |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
А |
Б |
|
|
В |
Г |
Д |
СЛАР |
СЛАР має |
|
|
СЛАР має |
система або має |
інша |
несумісна |
єдиний |
|
|
безліч |
безліч розв’язків, |
відповідь |
|
розв’язок |
|
|
розв’язків |
або несумісна |
|
Скористайтесь теоремою Кронекера-Капеллі: СЛАР сумісна тоді й лише тоді, коли ранг розширеної матриці дорівнює рангу основної матриці. Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці й дорівнює кількості невідомих, то СЛАР має єдиний розв’язок; якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці,
але менший від кількості невідомих, то система має безліч розв’язків.
3.11. Нехай А – основна матриця СЛАР з трьома невідомими. Якщо r( A) r( A) 2 , то:
А |
Б |
В |
Г |
Д |
СЛАР |
СЛАР має |
СЛАР має |
система або |
інша |
несумісна |
єдиний |
безліч |
має безліч |
відповідь |
|
розв’язок |
розв’язків |
розв’язків, |
|
|
|
|
або |
|
|
|
|
несумісна |
|
Скористайтесь теоремою Кронекера-Капеллі (дивись попередню вправу 3.10).
Учимося розв’язувати типові задачі
3.12. Розв’яжіть систему рівнянь матричним способом:
4x 2 y 3z 4,x y 2z 4,
8x 3y 6z 7.
Хід розв’язання.
Крок 1. Випишіть матрицю системи А, матрицю-стовпець невідомих Х та матрицю-стовпець із вільних членів В.
А= |
Х= |
В= |
58
Крок 2. Запишіть подану систему у вигляді матричного рівняння та виразіть із цього рівняння матрицю Х.
Для розв’язання матричного рівняння АХ=В необхідно його обидві частини
помножити на A 1 |
зліва та скористатись тим, що A 1 A E . |
||||
Крок 3. Знайдіть матрицю A 1 . |
|||||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|||
det( A) |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
8 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A12 |
|
|
|
A13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A21 = |
|
|
|
A22 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
A23 = |
|
|
|
A31 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
A32 = |
|
|
|
A33 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
1 |
|
||
A |
1 |
|
1 |
|
10 |
0 |
5 |
|
|
|||
|
5 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
5 |
4 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Скористайтесь формулою для знаходження матриці, оберненої до А: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A11 |
A21 |
A31 |
|
|
|
A 1 |
1 |
|
|
|
|
A |
A A |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
det( A) |
12 |
22 |
32 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A13 |
A23 |
A33 |
|
де Aij - алгебраїчні доповнення до елементів матриці А.
Крок 4. Знайдіть Х за формулою X A 1B .
59
|
|
|
|
|
0 |
3 |
1 |
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X A |
|
B |
|
|
10 |
0 |
5 |
|
|
4 |
|
= |
|
5 |
|||||||||||
|
|
|
|
5 |
4 |
2 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Елемент aij матриці АВ дорівнює сумі добутків відповідних елементів i -ого рядка матириці А та j -ого стовпця матриці В.
Для раціонального обчислення використовуйте властивість множення матриці на число: ( A)B (AB) .
Відповідь: (1;-1;2).
4x 2 y 3z 4, |
|
|
за формулами Крамера. |
3.13. Розв’яжіть систему x y 2z 4, |
|
8x 3y 6z 7. |
|
|
|
Хід розв’язання.
Крок 1. Обчисліть визначник системи та допоміжні визначники
x , y i z .
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
8 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
x |
|
4 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
7 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|||
|
|
|
4 |
|
||||
y |
|
1 |
4 |
2 |
|
|||
|
|
|
8 |
7 |
6 |
|
||
|
|
2 |
4 |
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
||||
z |
|
1 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
8 |
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60
Застосуйте |
для |
обчислення |
визначників |
схему |
правила |
трикутників: |
|
|
|
|
|
Крок 2. Знайдіть значення x, y, z .
Використовуйте формули Крамера: x x , y y , z z
Відповідь: (1;-1;2).
x y z 1,
3.14. Розв’яжіть систему за формулами Крамера: x y 2z 5,
2x 3z 2.
Хід розв’язання.
Крок 1. Обчисліть визначник системи та зробіть висновок щодо розв’язків системи.
Якщо визначник 0 , то СЛАР або не має розв’язків, або має безліч розв’язків.
Крок 2. Обчисліть допоміжні визначники системи.
Крок 3. Eраховуючи, що 0 , а |
x 6 0, зробіть висновок про |
розв’язки системи. |
|
61
СЛАР несумісна, якщо 0 , а принаймні один sз визначників x , y , z не
дорівнює нулю.
Відповідь: система не має розв’язків.
x 2 y z 1,
3.15. Розв’яжіть систему за формулами Крамера: x y z 0,
2x y 1.
Хід розв’язання.
Крок 1. Обчисліть визначник системи та допоміжні визначники
x , y i z .
x
y
z
Елементами визначника системи є коефіцієнти при невідомих. Визначникиx , y , z отримують із визначника через заміну відповідно його першого, другого
та третього стовпців на стовпець вільних членів (дивись розв’язання попередньої задачі).
Крок 2. Оскільки x y z 0 , то r( A) 3 , r( A) 3 ,
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
де |
|
1 |
1 |
1 |
|
– головна матриця системи. Обчисліть ранг матриць А і |
|||||||
A |
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
A . Для цього обчисліть мінор другого порядку |
матриці А. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, r( A) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
r( A) |
|
|
|
62