Тетрадь 1 (определители,матрицы,СЛАУ,векторы)
.pdfСкладіть |
матрицю С із |
алгебраїчних доповнень |
Aij , |
||||
причому |
алгебраїчні доповнення |
рядків записуємо у |
стовпці |
||||
(транспонування матриці). |
|
|
|||||
A11 |
A21 |
A31 |
|
|
|
|
|
C A |
A |
A |
|
|
|
|
|
|
12 |
22 |
32 |
|
|
|
|
|
A13 |
A23 |
A33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрицю AT називають транспонованою до матриці AT є стовпцями матриці A , а стовпці – рядками матриці A .
Крок 7.
Знайдіть матрицю (E A) 1 .
(E A) 1
Обернену матрицю знаходять за формулою (E A) 1
A , якщо рядки матриці
|
1 |
E A C . |
Крок 8.
Обчисліть об’єми валової продукції Х, помножуючи матрицю (E A) 1 на матрицю нового кінцевого продукту Y .
Х (E A) 1 Y
Добутком матриці (E A) 1 |
розміру 3 3 на |
матрицю Y |
розміру 3 1 є |
|
матриця Х (E A) 1 Y розміру 3 1, у якої елемент x |
ij |
є сумою добутків елементів i |
||
|
|
|
|
|
-го рядка матриці (E A) 1 |
на відповідні |
|
елементи |
j -го стовпця |
матриці Y . |
|
|
|
|
Відповідь: для задоволення нових показників попиту необхідно буде виробити десь 101 тис. т. продукції металевого цеху, 116 тис. машин та найняти 98 робітників.
43
Учимося самостійно розв’язувати завдання
2.23.
І рівень |
ІІ рівень |
ІІІ рівень |
|
Знайдіть матрицю С: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C AT BE |
|
|
|
|
||
|
C A 2B |
|
C 3B AT |
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 1 3 |
|
A 2 |
0 1 , |
|
|||||||||||||
A |
6 |
2 |
1 |
, |
|
|
||||||||||||
A |
2 |
1 |
|
, |
|
|
|
|
6 |
7 5 |
|
|
||||||
|
0 |
|
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
7 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
B |
5 |
1 |
4 |
. |
B |
3 2 |
. |
|
|
|
B 1 |
2 |
3 |
. |
|
|||
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
AT - транспонова- |
|
|
У цьому випадку |
||||||||
|
|
|
|
|
|
на до матриці А. |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
0 |
1 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
ІІ рівень |
|
|
ІІІ рівень |
|
|
||||||||
|
|
|
|
Знайдіть добутки АВ та ВА, якщо це можливо: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 1 |
|
|
|
3 2 1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
A |
3 |
, |
|
|
A |
5 |
1 |
|
, |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
A |
, |
|
|
|
|
||||
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
1 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
B |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 1 3 |
B |
1 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
B 4 |
0 2 |
3 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
З’ясуйте, чи узгоджені матриці-множники |
та |
|
визначте |
розмір |
|||||||||||||
|
|
матриці-добутку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44
2.25.
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
||||||||
|
Знайдіть матрицю обернену до матриці А та виконайте перевірку: |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
||||||||||
A |
3 |
2 |
. |
|
|
|
A 1 |
2 3 |
. |
|
|
A |
4 |
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 6 |
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обчислюючи A 1 A |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
та |
|
A A 1 |
|
під час |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перевірки, |
|
|
|
множ- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ник |
|
|
1 |
|
|
|
краще |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det( A) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
залишити перед матрицею. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Розв’яжіть матричне рівняння: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AX B , де |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
2 11 |
|
2 |
1 |
1 |
|
|
4 |
|
A |
1 |
|
0 1 |
, |
|
|||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 |
|
X 11 |
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
||||||||||||
0 |
2 |
|
2 |
6 |
|
|
3 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
2 0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Розбийте задачу на підзадачі: 1) знайдіть матрицю, обернену до матриці, що |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
є першим множником у рівнянні; 2) помножте обидві частини рівняння на |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
знайдену матрицю зліва. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайдіть ранг матриці: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 1 |
1 3 |
|
|
|
1 |
3 1 |
2 |
|
3 4 |
|
1 |
5 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 5 |
|
2 |
3 4 |
|
|||||||||
|
1 2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
3 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
1 |
10 6 1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
1 2 3 |
|
||||||||||||
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 2 7 |
|
|
|
3 |
7 |
|
4 1 7 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
11 |
|
5 |
4 |
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45
|
Перший |
рядок |
|
|
Додаючи |
перший |
|
|
За допомогою |
||||||||||
|
матриці, |
помно- |
|
|
рядок, помножений |
|
|
елементарних |
|||||||||||
|
жений на (-1), |
|
|
на відповідні |
числа, |
|
|
перетворень |
|||||||||||
|
додайте до другого |
|
|
до |
|
інших |
|
рядків, |
|
|
отримайте |
|
|||||||
та третього |
|
|
|
перетворіть матрицю так, щоб |
|
чотири нулі в першому |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
усі елементи першого стовпця, |
|
стовпці. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
крім a11 , дорівнювали нулю. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
||||||||
Підприємство |
|
|
випускає |
|
Підприємство |
|
виробляє |
||||||||||||
продукцію двох типів (А і В) та |
продукцію |
трьох |
видів |
і |
|||||||||||||||
використовує |
сировину двох типів |
використовує |
сировину двох типів. |
||||||||||||||||
(І і ІІ). Норми затрат |
сировини |
Норми витрат на одиницю продукції |
|||||||||||||||||
подано в таблиці: |
|
|
|
|
|
кожного виду продукції задано за |
|||||||||||||
|
|
|
І |
ІІ |
|
|
|
допомогою матриці: |
|
|
|
||||||||
|
А |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
В |
|
5 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
3 |
. Вартість одиниці сиро- |
|||||||
Знайти загальні затрати сировини на |
|||||||||||||||||||
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
виробництво 100 одиниць продукції |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
вини |
кожного типу задає матриця |
||||||||||||||||||
А та 60 одиниць продукції В. |
|
||||||||||||||||||
|
B 10 |
15 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайдіть |
|
загальні |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
витрати підприємства на вироб- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ництво |
|
100 |
|
одиниць |
продукції |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
першого |
виду, |
200 |
|
одиниць |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
продукції другого виду та 150 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одиниць продукції третього виду. |
||||||||||
|
План виробництва |
подайте |
у |
|
|
Спочатку |
знайдіть |
матрицю |
|||||||||||
|
вигляді |
матриці |
C 100;60 , |
а |
|
|
вартості |
S |
витрат |
на |
одиницю |
||||||||
|
норми витрат сировини у вигляді |
|
|
продукції (S =АВ), |
а |
потім |
|||||||||||||
|
|
|
загальну |
вартість |
витрат |
під- |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
приємства (СS, де С =(100;200;150) – план |
|||||||||||||||
|
матриці |
A |
|
|
. Загальні |
||||||||||||||
|
|
|
5 |
20 |
|
|
виробництва) |
|
|
|
|
|
|||||||
затрати сировини визначаються як СА. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Учимося застосовувати CAS для виконання |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
операцій над матрицями |
|
|
|
2.29. Відповідно до програми запуску доменних цехів установлено, що буде споруджено та запущено:
а) на котельно-механічному заводі ( Х1 ) буде запущено 10 одиниць об’єктів типу I і 15 одиниць типу II;
46
б) на Старокраматорському заводі ( Х 2 ) буде запущено 20 одиниць об’єктів типу ІІІ;
в) на Новокраматорському заводі ( Х 3 ) буде запущено 100 одиниць
об’єктів типу IV.
Визначте витрати матеріалів видів p і q на кожному заводі, якщо норми витрат матеріалів (у відповідних одиницях виміру) наведено в таблиці 2.3. Операції над матрицями виконайте за допомогою CAS Derive.
Таблиця 2.3.
Норми витрат матеріалів
Переформулюйте умову на математичну. Уведіть матриці: М –
матриця об’єктів по заводах, А – матриця норм витрати матеріалів по об’єктах:
10 |
15 |
0 |
0 |
|
|
|
2 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
M |
0 |
0 |
20 |
0 |
|
, |
A 210 |
20 |
та знайдіть їх добуток для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
100 |
|
|
|
5 |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
визначення витрат матеріалів видів p і q на кожному заводі.
Хід обчислення.
1.Відкрийте вікно CAS Derive.
2.За допомогою опції Autor-Matrix уведіть матриці:
– розмір матриці у вікні Matrix Setup;
– числові значення елементів рядків і стовпців у вікні Author 3 3 matrix;
– номер виразу, під яким записано матрицю (з’являється після натиснення клавіші Enter).
3.За допомогою опції Autor-Expression уведіть добуток першої та другої
матриць (#1)*(#2) на панелі символів .
4.Обчисліть добуток, натиснувши кнопку .
5.Під наступним номером буде отримано матрицю, елементи якої вказують на витрати матеріалів видів p і q на кожному заводі.
47
2.30. У завданні з пункту «Учимося моделювати професійну діяльність
інженера» замініть кроки 4-7 обчислення (E A) 1 |
для |
|
|||||||||||||||||
|
|
11 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
20 |
15 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
19 |
|
1 |
|
за |
допомогою |
відповідних |
правил |
||||||
E A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 20 |
|
15 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
14 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
5 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
застосуванням CAS Mathcad.
1.Відкрити вікно CAS Mathcad.
2.За допомогою опції Добавить - Матрицу введіть матрицю:
–розмір матриці у вікні Вставка матрицы;
–числові значення елементів рядків і стовпців у шаблоні поля програми
.
3.За допомогою опції Символика-Матрицы-Обратить знайдіть обернену матрицю.
4.Виокремте отриману матрицю та за допомогою опції Вычислить – С плавающей запятой знайдіть приблизні значення елементів матриці.
5.Отриману матрицю (E A) 1 застосуйте для продовження інших обчислень.
Як пов’язані системи лінійних алгебраїчних |
||
рівнянь з інженерною практикою |
||
Два елементи з ЕДС 1,6 В й 1,3 В та |
|
|
внутрішніми опорами відповідно 1,0 Ом і 0,5 |
|
|
Ом з’єднані, як показано на рисунку 3.1. |
|
|
Опір R = 0,6 Ом. Визначте струми у всіх |
|
|
вітках проводів. Опір сполучних проводів не |
|
|
враховувати. |
|
|
Користуючись законами Кірхгофа і |
|
|
зважаючиу на умовно обрані напрямки |
Рис. 3.1. Схема до задачі |
|
струмів |
||
|
48
(I1 – струм у першому елементі, спрямований ліворуч; I2 – струм у другому елементі, спрямований ліворуч; I3 – струм на ділянці з опором R, спрямований праворуч), одержуємо систему лінійних рівнянь:
I I |
|
I |
, |
I I |
|
I |
|
0, |
|||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
I1r1 I2r2 E1 E2 , |
I11 0,5 I2 0,3, |
||||||||||
I r I |
R E ; |
I 0,6 I |
3 |
1,6. |
|||||||
|
1 1 |
|
3 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) можуть описувати механічні, хімічні, економічні та інші процеси.
|
|
|
|
|
|
|
|
Складаємо опорний конспект |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь |
|
|
||||||||||||||
Систему m рівнянь з n невідомими |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
вигляду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, система 3-ох рівнянь з 3-ма |
||||
a11 x1 |
a12 x2 ... a1n xn b1 , |
|
|
невідомими має вигляд |
|
|||||||||||||
|
|
a2 2 x2 |
... a2 n xn |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a21 x1 |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
..............................................., |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
a |
|
x |
|
... a |
|
x |
|
b |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
m1 1 |
|
m 2 |
|
2 |
|
m n |
|
n |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
називають |
|
системою |
|
|
|
|
лінійних |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
алгебраїчних рівнянь (СЛАР) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
Рівняння СЛАР містять невідомі, |
Тут x1 , x2, …, xn – |
… |
; |
|||||||||||||||
коефіцієнти при невідомих та вільні |
aij – |
… |
(i=1, 2, …, m, |
|||||||||||||||
члени. Зазначте, які символи їм |
j=1, 2, …, n); b1,b2, …, bn – |
|
||||||||||||||||
відповідають |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
системи |
|
||
Розв’язати систем рівнянь з n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
невідомими, означає знайти такі |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
значення невідомих x x0 , |
|
x |
2 |
x0 , …, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
у систему всі її рівняння |
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
xn xn , при підстановці яких |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СЛАР називають однорідною, якщо всі |
Отже, однорідна система 3-ох |
|||||||||||||||||
вільні члени дорівнюють нулю |
|
|
|
рівнянь із 3-ма невідомими має |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
СЛАР називають неоднорідною, якщо |
Отже, неоднорідна система 3-ох |
||||||||||||||||||||||||||
хоч один з вільних членів не дорівнює |
рівнянь із 3-ма невідомими має |
||||||||||||||||||||||||||
нулю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Однорідна система |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
a11 x1 |
a12 x2 |
|
... a1n xn b1 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
a2 2 x2 |
|
... a2 n xn |
b2 , |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
a21 x1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
..............................................., |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
a |
m 2 |
x |
2 |
... a |
m n |
x |
n |
b |
, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
m1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
||||||||
завжди має тривіальний розв’язок |
x1 x2 ... xn |
… |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Систему рівнянь називають сумісною, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
якщо вона має хоча б |
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Систему рівнянь називають несумісною, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
якщо вона не має |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Сумісну систему називають визначеною, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
якщо вона має |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Сумісну |
|
|
|
|
|
систему |
|
|
|
називають |
|
|
|
||||||||||||||
невизначеною, якщо вона має |
|
|
… |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Головною матрицею системи |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
a x a |
|
x |
2 |
a x |
3 |
b , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
11 |
1 |
12 |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
1 |
|
|
|
|
матрицю |
|
|
|||||||
a21 x1 a2 2 x2 |
|
a2 3 x3 |
b2 , називають |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
a |
x a |
3 2 |
x |
2 |
a |
3 3 |
x |
3 |
b , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
31 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
A |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50
Розширеною матрицею системи |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
a x a |
|
x |
2 |
a x |
3 |
b , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
11 |
1 |
12 |
|
|
13 |
|
|
1 |
матрицю |
|
|
|
|||||||||
|
a21 x1 a2 2 x2 |
a2 3 x3 |
b2 , називають |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
a |
x a |
3 2 |
x |
2 |
a |
3 3 |
x |
3 |
b , |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
31 1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Методи розв’язання СЛАР |
|
|
|
||||
Визначник головної матриці системи |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
a21x1 a2 2 x2 a23 x3 |
b2 , |
|
|
та називають |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
a x a |
|
x a x b , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
31 |
1 |
|
32 |
|
|
2 |
33 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
має вигляд |
|
|
|
… |
||
Якщо головний визначник системи |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
не дорівнює нулю, то систему |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
називають |
… |
|
|
|
||
Якщо в головному визначнику матриці A |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
перший стовпець замінено на стовпець |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
вільних членів системи |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
a12 x2 a13 x3 b1, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a11x1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a21x1 a2 2 x2 a23 x3 b2 , |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a x a x a x b , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
31 |
1 |
|
32 |
2 |
|
|
|
|
33 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то він має вигляд |
|
|
|
|
|
|
Якщов головному визначнику матриці A |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
другий стовпець замінено |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
на стовпець вільних членів системи |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
a12 x2 a13 x3 b1, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a11x1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a21x1 a2 2 x2 a23 x3 b2 , |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a x a x a x b , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
31 |
1 |
|
32 |
2 |
|
|
|
|
33 |
3 |
|
|
|
3 |
то він має вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо у головному визначнику матриці |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
A третій стовпець замінений на |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
стовпець вільних членів системи |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
a12 x2 a13 x3 b1, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a11x1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a21x1 a2 2 x2 a23 x3 b2 , |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a x a x a x b , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
31 |
1 |
|
32 |
2 |
|
|
|
|
33 |
3 |
|
|
|
3 |
то він має вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51
Якщо 0 , а принаймні один із |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
визначників 1 0 , 2 0 , |
3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
a12 x2 |
a13 x3 b1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a11x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a21x1 a2 2 x2 a23 x3 b2 , то вона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a x a |
x a x b , |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
31 |
1 |
32 |
|
2 |
33 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо 0 |
і всі визначники , |
2 |
, |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дорівнюють |
нулю, |
то |
система |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
a12 x2 |
a13 x3 b1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a11x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a21x1 a2 2 x2 a23 x3 b2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a x a |
x a x b , |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
31 |
1 |
32 |
|
2 |
33 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо |
|
|
|
0 , |
|
|
то |
|
СЛАР |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
a12 x2 |
a13 x3 b1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a11x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a21x1 a2 2 x2 |
a23 x3 |
b2 , |
має |
єдиний |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a x a |
x a x b , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
31 |
1 |
32 |
|
2 |
33 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
x1 ... , |
x2 ... , |
|
x3 |
... |
|
|
розв’язок, |
|
|
який |
|
можна |
знайти |
за |
|
|
||||||||||||
формулами Крамера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
У матричному вигляді систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
a12 x2 |
a13 x3 b1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a11x1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a21x1 a2 2 x2 |
a23 x3 |
b2 , можна записати |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a32 x2 |
a33 x3 b3 , |
|
|
|
|
|
|
A |
|
, X |
, B |
||||||||
a31x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
у вигляді AX B , |
де матриці |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Якщо у СЛАР кількість рівнянь |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
збігається з кількістю невідомих і |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
визначник системи A 0 , то єдиний |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
розв’язок |
|
|
системи |
AX B |
|
за |
X ... |
|
|
|
|
|
|||||||||
матричним методом можна знайти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
До |
елементарних |
перетворень |
рядків |
1) |
… |
двох рівнянь; |
|
||||||||||||||
системи, під час яких |
система |
2) … обох частин рівняння на |
|||||||||||||||||||
залишається |
рівносильною |
початковій, |
ненульовий множник; |
|
|
|
|||||||||||||||
відносяться: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
… |
до рівняння елементів |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
іншого рівняння, помножених на |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одне й те ж число |
|
|
|
|
||
У прямому ході методу Гауса за |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
допомогою |
|
елементарних |
перетворень |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52