modeling_2008

Осредненные уравнения (3.50) – (3.52) содержат производные по времени и могут использоваться для описания статистически нестационарных течений. Напомним, в этом случае неявно принимается, что расчет по ним должен дать поле течения, осредненное не по времени (что некорректно в этом случае), а по ансамблю (набору) независимых реализаций (3.46).

Модели турбулентного переноса. Уравнения (3.50) – (3.52) осредненного течения в исходном виде не замкнуты, они содержат корреляционные члены, отражающие среднестатистическое влияние пульсационной составляющей на средние поля; число неизвестных больше числа уравнений. Для применения уравнений их следует замкнуть, т. е. исключить из них корреляционные члены, выразив их через искомые функции ρ, vj , E. Осреднение ведет к потере информации, поэтому любой подход к замыканию уравнений будет приближенным, а в его основу придется положить те или иные модельные предположения. Соответствующие модельные соотношения носят название

моделей турбулентного переноса (МТП) или, еще короче, моделей турбулентности.

Так, член ρvj′′Yk′′ в (3.49) имеет смысл плотности потока массы компонента, переносимой в среднем турбулентными пульсациями, члены ρvj′′vi′′ в (3.51) и ρvj′′h ′′ в (3.52) — соответствуют переносу турбулентными пульсациями импульса и энергии смеси. Существующие практичные МТП интерпретируют члены вида ρvj′′ϕ′′ (ϕ = Yk , vi, h ) по аналогии с молекулярным переносом. В простейшем случае используется предположение (гипотеза) Буссинеска о пропорциональности вектора плотности потока скалярной величины, переносимого в среднем турбулентными молями, локальному значению градиента ее осредненного поля:

				∂ϕ
ρvj′′ϕ′′ = −ρνò				e	или				e	(3.53)
				∂xj		ρv′′ϕ′′ = −ρνò grad ϕ,

где νò — коэффициент турбулентного обмена (КТО). Модельное предположение о «градиентном» переносе в турбулентном потоке хорошо «работает» для течений вида тонких сдвиговых слоев и струй, в общем же случае его универсальность является спорной: в ряде экспериментов показано, что перенос может происходить даже против градиентов средних величин.

Перепишем в дивергентной форме систему осредненных уравнений (3.49) – (3.52), замкнув ее с помощью модельных гипотез типа (3.53). Опустим в этих уравнениях члены с молекулярным переносом,

101

в таком виде данные уравнения будут пригодны для описания развитого течения реагирующей смеси вдали от стенок, где именно члены, отвечающие за средний турбулентный перенос, оказывают подавляющее влияние на поле осредненного течения:

∂t k

+ div ρvYk − ρνò grad Yk = WkωkΣ,

k = 1, . . . , K −1,

∂ρY

e

e e

e

∂ρ

+ div (

v) = 0,

ρ

+ Div ρuiuj −

∂t

δij ∂xm

= ρg,

∂t

+ ∂xi

− 3

ρν

∂xj

v

∂u

∂u

2

∂u

∂ρ

e

ò

i

e j

m

e e

e

e

e

∂ρE

+ div

vh −

ρνò grad h

= Qr + ρ (v · g).

∂t

ρ

e

ee

e

(3.54)

(3.55)

(3.56)

(3.57)

КТО νò, подставляемые в каждое этих уравнений, могут несколько отличаться. Соответствующие поправочные модельные коэффициенты — «турбулентные» числа Прандтля P rò или Шмидта Sck ò, в силу аналогии процессов переноса «молями» вещества, энергии и импульса, близки к 1.

Описанного типа МТП опираются на способ расчета µò = ρνò в точке потока — модель турбулентной вязкости (МТВ).

Алгебраические модели турбулентной вязкости. МТВ различают по числу уравнений переноса специфических характеристик турбулентности, привлекаемых дополнительно для расчета коэффициентов νò или µò. Последние могут задаваться некоторой формулой (алгебраическим уравнением), не добавляющим уравнений переноса в систему. Классическая «алгебраическая» МТВ — модель пути перемешивания Л. Прандтля, пригодная в основном для расчета переноса в поперечном направлении в простых «сдвиговых» течениях типа пограничных слоев или струй. КТО по этой модели выражается формулой

νò = l2		∂y		,
		e
		∂vx

тогда плотность потока количества движения с учетом (3.53) примет вид

			e		e
			∂vx		∂ϕ
ρv′′ϕ′′ = −ρl2			∂y		∂y	.	(3.58)

102

Собственно длина перемешивания в случае свободного турбулентного течения вида тонкого сдвигового слоя может быть задана эмпирической формулой

(

l = l(x, y) =

κy для y 6 yc (внутренняя зона слоя), αδ для yc < y 6 δ (внешняя зона слоя),

где, в свою очередь, толщина слоя с градиентом скорости δ задается выражением

(

δ = δ(x) =

0,115x для двумерного плоского потока,

0,085x для осесимметричного потока.

Коэффициенты α и κ, а также условная толщина yc внутренней зоны сдвигового слоя определяются эмпирически. Для простейших условий течения вида тонкого сдвигового слоя они равны: α = 0,075, κ = 0,4 и yc = 0,1875δ. Очевидный недостаток алгебраических МТВ — их неуниверсальность, резко ограничивает их применимость к РП ТД.

Модели турбулентной вязкости с одним уравнением. В таких моделях КТО вычисляется из одного дополнительного уравнения перено-

са некоторой характеристики турбулентности. Чаще всего используется

ν

= l

k. Длина

e

P

l

кинетическая энергия турбулентности k = 0,5ρ

v′′ 2/ρ

. КТО вы-

j

числяется по формуле

ò

перемешивания

по-прежнему

задается алгебраическим

соотношением, и данные модели так же не уни-

p

версальны в том смысле, что

для разных задач должны применяться раз-

e

ные выражения для l(r).

Модели турбулентной вязкости с двумя уравнениями применяются в настоящее время наиболее широко. Они добавляют в систему уравнений переноса вида (3.54) – (3.57) два дополнительных. Обычно

первое из них уравнение переноса кинетической энергии e. Наибо-

— k

лее широко применяемой моделью является (k − ε)-модель (и ее моди-

фикации), в которых вторым уравнением выступает уравнение перено-

са ε — величины, имеющей смысл скорости диссипации кинетиче-
e	k	. Для	k	и для	ε	, которая задается формулой
ской энергии	e		e
					e
				ε = ν grad v′′ T			: grad v′′,
				e

где ν = µρ — кинематический коэффициент вязкости, осредненные уравнения переноса могут быть получены формально и замкнуты мо-

103

дельными предположениями:

∂t + div ρ v k − ρνò grad k = Gk + ρ ε,

∂ρk

∂ρε

e

e e

e

eε2

e

+ div (

v ε −

e

.

ρ

ρνò grad ε) = C1Gk + C2

ρ

∂t

k

КТО привлекается «связка»

–

Для вычисления

Колмогорова

e e

e

Прандтля

e

e

νò = Cν

k2

.

ε

Здесь C

= 0,09, C1

и C2 — две другие эмпирические константы

модели [16].ν

Член Gk («генерация» k)e— функция средневзвешенной

по плотности скорости и

тензора

турбулентных напряжений:

e

Gk = −

ρv′′

v′′

: grad v.

Главный недостаток моделей турбулентной

вязкости (в том числе мо-

e

делей с двумя уравнениями переноса, и (k − ε)-моделей) — используемое в них допущение о градиентном характере переноса. Недостатком же собственно подхода RANS (расчет по осредненным уравнениям) является нацеленность на получение картины течения, осредненной по всем масштабам пульсаций или по всем реализациям (для нестационарных задач). Эти недостатки подхода и моделей замыкания ограничивают их универсальность при решении сложных задач газофазного горения в технике.

Тем не менее, модели такого уровня широко используются

вCFD-пакетах (STAR-CD, CFX, FLUENT, FIRE, KIVA, PHOENICS,

FlowVison и др.), в том числе для химически реагирующих течений

взадачах моделирования РП ТД.

За описанным подходом к расчету турбулентных течений (на основании решения осредненных уравнений) закрепилось обозначение RANS

(Reynolds Averaged Navier – Stokes).

3.3.2. Моделирование крупных вихрей. Моделирование крупных вихрей (МКВ, англ. Large Eddy Simulation, LES) представляет собой отличный от RANS подход к расчету на ЭВМ турбулентных течений, при котором явному выявлению в численном расчете подлежат

104

относительно крупномасштабные вихревые структуры, вклад же мелкомасштабных приближено описывается («моделируется») на основе тех или иных представлений.

При расчете «в режиме» МКВ/LES (в отличие от «режима» DNS) размер расчетных ячеек все же не позволяет с достаточной точностью выявить все пространственно-временные´ детали моделируемого течения. Поэтому для расчета крупномасштабной составляющей течения при LES применяются уравнения, получаемые фильтрованием исходных (например, УНС). Размер ячейки при LES играет роль характерной пространственной ширины фильтра, сама операция в чем-то сходна с операцией осреднения — обе применяются к исходным уравнениям для получения «огрубленной» модели течения. «Отфильтрованные» уравнения описывают крупномасштабное (сглаженной с характерным масштабом ) нестационарное течение и должны «замыкаться» модельными соотношениями, в которых выступает в роли параметра.

Итак, при МКВ привлекают модели для описания мелкомасштабных «подсеточных» явлений. Учет как переноса мелкомасштабной турбулентностью, так и влияния ее на химический источниковый член проводится на основе представлений о процессах на «подсеточном» масштабе, позволяющих связать статистику мелкомасштабного движения с локальными характеристиками крупномасштабного. Отметим, что модели замыкания при МКВ отражают статистику процессов более универсального характера и при этом они менее «ответственны» в целом за результат моделирования, чем модели замыкания, применяемые в рамках RANS.

Уравнения крупномасштабного движения. Если (без вывода) допустить, что при этом модификация исходных ЗС сведется к замене мгновенных («актуальных») значений искомых параметров потока параметрами отфильтрованного крупномасштабного движения, а также что влияние «подсеточного» движения на перенос состоит в интенсификации его мелкомасштабными пульсациями, сохраняет справедливость система уравнений

∂tk	+ ∂xj				ρk vj + ρkvk äj = Wk ωkΣ, k = 1, . . . , K,
∂ρ			∂
			∂ρvi		+	∂	ρvj vi + δij p − Πij′′ = ρgi,	(3.59)
			∂t			∂xj

105

∂t	+ ∂xj		"ρvj E +	ρk vk äj hk !	+ pvj − viΠij′′	+ qj # = ρgj vj + Qr ,
				K
∂ρE		∂		X
				k=1

совпадающая по форме с исходной системой ЗС, но с заменой плотностей потоков молекулярного переноса ρkvk äj , Π′′ij и qj , а также выражений для «источников» — в правых частях (3.59) — на их «эффективные» значения (обычный прием в практике моделирования по RANS). Для простоты здесь и далее не вводим специальных обозначений «надсеточных» параметров потока.

«Градиентная» гипотеза замыкания. Если же далее допустить, что дополнительный «подсеточный» турбулентный перенос может быть описан законами, аналогичными законам молекулярного переноса («градиентные» законы Фурье, Фика и обобщенная гипотеза Ньютона со скалярными коэффициентами переноса), то эффективные (суммарные) потоки примут вид

(qj )ý = −κý

∂T

,

∂xj

Πij′′

= µý ∂xj

+ ∂xi

−

3 δij ∂xm ,

ý

ý

∂vj

2

∂vm

∂vi

ρk vk äj

= − (ρDk )ý ∂xj

,

∂Yk

где «эффективный» коэффициент получается суммированием «молекулярного» коэффициента и коэффициента, даваемого моделью переноса движениями подсеточного масштаба (англ. Sub-Grid Model, SGM). Приняв аналогию процессов диффузии и теплопроводности в варианте с постоянными «подсеточными» числом Прандтля P rSGM и (одинаковым для всех компонентов смеси) числом Шмидта ScSGM , «эффективные» коэффициенты теплопроводности и диффузионного переноса получим в виде

µcP µSGM cP

(κ)ý = κ + κSGM = P r + P rSGM ,

µý = µ + µSGM ,

µ µSGM

(ρDk )ý = ρDk + (ρDk)SGM = Sck + ScSGM .

106

Таким образом, постоянные P rSGM и ScSGM являются константами

модели подсеточного турбулентного переноса. В расчетах, представленных в данном пособии, P rSGM = ScSGM = 0,9.

Модель Смагоринского для µSGM . Для вычисления локального значения коэффициента вязкости в модели подсеточного турбулентного переноса в хорошем приближении может служить классическая

модель Смагоринского

µSGM = 2ρ (CsΔ)2 |S|,

где Cs = 0,1 — константа данной модели подсеточного переноса,

— пространственная ширина фильтра, определяемая, например,

как

√

x y

z, а S = p2Sij Sij , Sij = 2

∂xj

+ ∂xi

.

3

1

∂vi

∂vj

3.3.3. Модели эффективной скорости реакций. При численном моделировании турбулентного горения — как по осредненным уравнениям (3.54) – (3.57), так и по «отфильтрованным» вида (3.59), необходимо выразить величину ωkΣ эффективного «выхода» компонента k в химических реакциях. Проблемой является то, что при сильной нелинейности выражений для скоростей химических реакций, в условиях значительных пульсаций температур и концентраций указанную величину (и каждую из ее составляющих ωki) невозможно вычислить, подставляя в выражения средние величины температур и концентраций.

Так, для единственной необратимой бимолекулярной реакции вида «A + B → продукты»:

										(3.60)
	A = −kf (T ) [XA] [XB ] 6= −kf (T ) [XA] [XB ].
ω

Данная проблема, известная как проблема замыкания химического «источника», актуальна в наибольшей степени для RANS, но также и для LES. Она существенно проявляется в практике моделирования РП ТД, влияя на достоверность методик расчета реагирующих течений по используемым в них моделям турбулентного горения.

Принципиально решение данной проблемы замыкания ωkΣ в уравнениях (3.54) – (3.57) возможно при использовании функции плотности вероятности (ФПВ), которая бы учитывала вклад всевозможных сочетаний температур и концентраций в r при осреднении по времени. Так, если известна ФПВ, осредненная скорость той же реакции получа-

107

ется интегрированием

Z ∞ Z ∞ Z ∞

ωA = kf (T ) [XA] [XB ]P (T, [XA] , [XB ] r)×

0 0 0

× dT d [XA] d [XB ] .

Проблема «замыкания», таким образом, сводится к проблеме знания (или моделирования, реконструкции) ФПВ P (. . . ). Есть различные методы определения ФПВ, пригодные для практических приложений. Наиболее гибкий способ — решение уравнения переноса самой ФПВ, которое получается формально из ЗС масс компонентов. Численный расчет переноса ФПВ выполняется методами Монте-Карло при дискретном представлении ФПВ множеством стохастических частиц, моделирующих различные состояния потока. При таком подходе велики затраты машинного времени, ощутимо ограничение на количество учитываемых компонентов, поэтому должны использоваться сокращенные механизмы реакций.

Полученные решения на базе ФПВ и упрощенных кинетических механизмов, а также экспериментальные факты говорят о том, что турбулентный перенос при горении — мощный фактор, во многом снимающий необходимость детального учета химической кинетики для достоверного воспроизведения интенсивности горения. Используя это обстоятельство, при моделировании турбулентного горения как перемешанных смесей, так и не перемешанных, по уравнениям RANS, для простоты замыкания химического источника достаточно часто оказываются полезны частные предположения, вплоть до предположения о «бесконечно быстрой» скорости реакций, точнее о том, что интенсивность горения лимитируется процессами турбулентного перемешивания, а не кинетикой.

Модели разрушения вихрей (англ. Eddy Break-Up, EBU) — модели замыкания для ωkΣ на основе допущения о «быстрой химии», когда скорость переработки реагентов управляется интенсивностью турбулентной диссипации структуры пламени, процессом перемешивания («перемешанная смесь мгновенно сгорает»). Для эффективной скорости

расходования горючего получается

ε

ρC

qYA′′ 2

YA′′ 2

(3.61)

A = −

,

6 Y A

1 − Y A

,

ω

k

W

где индексом

e

—

A

e

C

рядка единицы. Здесь принято модельное предположение о структуре 108

пламени как суперпозиции зон свежей смеси (СС) и продуктов сгорания (ПС). При этом турбулентное перемешивание ведет к образованию в объеме из фрагментов СС более мелких фрагментов, температура и состав которых существенно изменяются из-за турбулентной диффузии с ПС. В модели принято, что образовавшись, такие фрагменты быстро сгорают. Модель находит применение для расчета турбулентного горения предварительно перемешанной СС, часто в комбинации с моделями, все же принимающими во внимание химико-кинетическую сторону явления.

Модели эффективной скорости реакций для LES. При расчетах турбулентного горения в «режиме» МКВ проблема вида (3.60) также имеет место: в микрообъемах с высокой температурой малы концентрации реагентов и наоборот. Все же при МКВ/LES диапазоны изменения температуры и концентраций в масштабе одной ячейки уже,´ чем при расчете той же задачи «в режиме» RANS, а корреляции «подсеточных» пульсаций параметров внутри диапазонов приобретают более универсальный характер. В итоге подход LES надежно работает, особенно при уменьшении размера ячейки до предела, за которым наступает «режим» DNS. Стоит подчеркнуть, что адекватная «подсеточная» модель должна, по существу, отключаться (например, давать µý → µ и т. п. для явлений переноса и (ωkΣ)ý → ωkΣ для «химического источника») при наступлении (хотя бы локально) «режима» DNS.

В результате на основе достаточно простых модельных представлений получаются SGM-модели для оценки (ωkΣ)ý, позволяющие достичь более высокой достоверности результатов, чем «в режиме» RANS. Кроме того, в принципе поэтому же именно «режим» LES более «благоприятен» для расчета образования токсичных компонентов ПС и вообще для применения более детальных кинетических механизмов.

Подробнее о подсеточных моделях для численных расчетов турбулентного горения по технологии МКВ/LES — в [46].

109

Вопросы для самоконтроля

1)В чем значение гипотезы сплошности, принимаемой при описании течений реагирующих и инертных однофазных сред?

2)Тот же вопрос относительно гипотезы о локальном термодинамическом равновесии.

3)Какие эффекты учитываются в ЗС масс компонентов? количества движения смеси? энергии смеси?

4)Какого вида УС нужны для «замыкания» математической модели РП ТД с представлением РТ в виде многокомпонентной смеси?

5)При каких условиях исходная система ЗС, описывающая пространственное течение реагирующей смеси, «переходит» в УНС?

6)Чем вызвана необходимость применения дополнительных моделей для описания турбулентных эффектов при численных расчетах течений газов и жидкостей?

7)Охарактеризуйте подходы к описанию турбулентных эффектов, а также гипотезы и модели для «замыкания» уравнений турбулентного течения.

110