modeling_2008

θ = Tw — «температурный фактор», при использовании в качестве

T∞

критерия подобия (или определяющего параметра критериального уравнения) выражает относительную степень подогрева поверхности тела по отношению к температуре в набегающем потоке; является симплексом; может выступать в роли определяемой величины — безразмерной температуры в точке потока (θ = T /T∞);

Sh = uτl — критерий (число) Струхала (Strouhal), характеризует соотношение характерных времен, одно из которых задает присущий системе масштаб времени, а другое — время (период) внешнего воздействия на систему; важен для нестационарных процессов (в задачах с дополнительным временным´ масштабом возмущающего воздействия);

F r = gl — критерий (число) Фруда (Froude), характеризует влияние

u2

массовых сил в задачах со свободной поверхностью капельной жидкости; определяет подобие при движении тел по (или вблизи) свободной поверхности жидкости;

Gr = gβ T0l3 — критерий (число) Грасгофа (Grashof), определяет от-

ν2

ношение характерных сил плавучести в поле массовых сил при наличии неоднородностей плотности, вызванной тепловым расширением при нагреве, к силам вязкости; используется при задании зависимости (3.44) плотности ρ(T ) малосжимаемой среды через коэффициент объемного расширения.

Cледующие числа служат определяемыми величинами зависимостей, описывающих интегральную или локальную интенсивность динамического и теплового взаимодействия потока с поверхностями тел:

N u = αl — число Нуссельта (Nusselt), используется как определя-

κ

емый параметр в задачах теплоотдачи; можно рассматривать как

безразмерный коэффициент теплоотдачи;

Cx = 2Fx — коэффициент сопротивления, показывающий, какую до-

ρu2l2

лю динамического давления (по формуле, верной при ρ = const) в набегающем потоке составляет среднее «дополнительное» давление, соразмерное силе лобового сопротивления; используется как определяемый параметр задачи о сопротивлении тел при их обтекании;

71

ζ =	2Δp12
	ρu2	— коэффициент потерь полного давления, используемый

для выражения эффекта местного сопротивления в потоке; аналог Cx для внутренних течений.

Cледующие числа характеризуют режимы и условия подобия в задачах обтекания твердых тел с нестационарными температурными полями в них, а первое — и собственно в задачах нестационарного распространения тепла в твердых телах:

F o =

Bi =

aτ — критерий (число) Фурье (Fourier), являющееся критерием

l2

тепловой гомохронности; a = κ/(ρc);

αl — критерий (число) Био´ (Biot), обобщенно характеризует гра-

κs

ничное условие третьего рода в задачах теплоотдачи.

Следующие числа — безразмерные комбинации параметров теплофизических свойств жидкой или газообразной текучей среды:

γ= cp — отношение теплоемкостей, количественно характеризует про- cvявление сжимаемости (если она существенна) в потоке газа;

P r =

Sc =

µcp — критерий (число) Прандтля (Prandtl), характеризует соот-

κ

ношение интенсивностей молекулярных потоков вязкости и теплопроводности; позволяет судить об отношении толщин динамического и температурного пограничных слоев;

µ — критерий (число) Шмидта (Schmidt), характеризует соот-

ρD

ношение интенсивностей молекулярных потоков вязкости и диффузии; позволяет судить об отношении толщин динамического и концентрационного пограничных слоев.

Наконец, следующее число служит критерием применимости понятия сплошной среды:

Kn = δl — критерий (число) Кнудсена (Knudsen), представляет собой отношение средней длины свободного пробега молекул к характерному размеру задачи; определяет степень выраженности эффекта разреженности газа как меру отличия свойств такой среды от свойств сплошной среды.

72

Вопросы для самоконтроля

1)Дайте определения размерности и размерной величины.

2)Сформулируйте Π-теорему Бэкингема.

3)Сформулируйте условия подобия явлений, происходящих в двух физических системах.

4)Назовите критерий подобия явлений, «отвечающий» за относительную роль эффектов вязкости в потоке газа или жидкости.

5)Укажите, какими безразмерными факторами обычно выражают теплофизические свойства при использовании модели совершенного газа.

6)Дайте обоснование наличию оптимальной по наполнению обобщенной частоты циклов ДВС с заданной геометрией ГВТ и фазами газообмена.

73

Глава 3

Модели пространственного течения рабочего тела

Рабочий процесс (РП) теплового двигателя (ТД) (и, в частности, ДВС) возможно, в принципе, смоделировать численно с исчерпывающей физической полнотой и пространственно-временной´ детализацией. Для этого нужно численно решить («проинтегрировать») в пространственно-временной´ расчетной области связанные уравнения сохранения массы компонентов, количества движения и энергии c реалистичным представлением в них явлений химической кинетики, молекулярного переноса и излучения. Но для надежного расчета в такой детальной постановке, например, процесса во всем газовоздушном тракте ДВС, в настоящее время нужны дорогостоящие ресурсы многопроцессорных ЭВМ и высококлассное программное обеспечение.

Поэтому при решении практических задач энергомашиностроения еще долго, если не всегда, будут в ходу модели с невысокой детализацией процессов, в том числе модели пониженной пространственной размерности, требующие на порядки меньших´ вычислительных ресурсов. Применение в «огрубленных» моделях зависимостей, получаемых вычислительным экспериментом по детальным моделям или физическим экспериментом, снижает до приемлемого уровня как погрешности моделирования, так и сложность и стоимость самой «технологической цепочки» моделирования (см. гл. 4).

Осознание применимости моделей различных уровней иерархии

вконкретных областях имеет непреходящее практическое значение.

Вданной главе изложен справочный материал по наиболее детальным моделям, используемым при численных расчетах РП ТД при рассмотрении течений рабочих тел как сжимаемых сплошных сред. Модели эти выводятся из общей системы законов сохранения (ЗС), базирующейся на гипотезе сплошности и гипотезе о локальном термодинамическом равновесии.

74

3.1.Законы сохранения для пространственного движения реагирующей смеси

3.1.1. Исходные гипотезы. При выводе ЗС для пространственного движения реагирующей смеси используются гипотезы, принятие которых позволяет описывать смесь реагирующих газов как сплошную среду, причем находящуюся во всех точках в состоянии локального термодинамического равновесия. Справедливость обеих гипотез в условиях, наблюдаемых в РП ТД, определяет адекватность получаемой на их основе детальной модели течения реагирующей смеси.

Гипотеза сплошности принимается, чтобы не рассматривать движение отдельных структурных элементов смеси — молекул, электронов, ионов. Смесь рассматривается как сплошная среда, характеристики которой в точке r = xex + yey + zez (рис. 3.1) определяются осреднением по множеству структурных элементов, взятых в ее малой окрестности объемом V .

z

r V

y

x

Рис. 3.1. К осреднению параметров по физически малому объему

Так, парциальная плотность ρk (объемная плотность массы, «массовая концентрация») частиц (молекул) k-го сорта в некоторой точке определяется осреднением по малому объему

				Nk (t)
ρ		(r, t) =	1	X	(m )	=	1	N	(t) m	,	(3.1)
	k
			V n=1		k	n	V	k	k

где Nk — число структурных элементов (молекул) в малом объеме V , а mk — масса каждой частицы или молекулы k-го сорта. Точно так же скорость vk в окрестности r определяется осреднением векторных величин импульсов частиц (молекул) в объеме V (или делением объемной плотности импульса ρkvk компонента на объемную

75

плотность массы ρk компонента)

N (t)

1 Xk

vk (r, t) = ρk V n=1 (mkvk )n,

что означает осреднение по мгновенным скоростям молекул.

Гипотеза сплошности утверждает саму возможность введения физически малого объема V , который достаточно мал по сравнению с наименьшим характерным пространственным масштабом интересующего явления, но еще достаточно велик, чтобы содержать множество структурных элементов для статистически значимого осреднения по ним

— такого, при котором осредненные характеристики среды не обнаруживают заметных флуктуаций, и соответствующие распределения можно считать достаточно гладкими по пространству.

Принятие гипотезы сплошности позволяет отвлечься от величины V и, приписав любой точке пространства-времени (r, t) вполне определенные значения характеристик среды, перейти к описанию течения непрерывными (или кусочно-непрерывными) полями плотности компонентов ρk = ρk (r, t) = ρk (x, y, z, t), k = 1, . . . , K, векторным полем скорости

v= v(r, t) = vx(r, t)ex + vy (r, t)ey + vz (r, t)ez

иполями других характеристик потока, считая «законными» операции их дифференцирования по r и по t.

Заметим, что данная гипотеза «упраздняет» частицу молекулярного масштаба в качестве структурной единицы материи и позволяет применять понятие «частица» («жидкая частица») к индивидуальному микрообъему среды.

Гипотеза о локальном термодинамическом равновесии (ЛТР)

означает допущение о бесконечно быстрой релаксации молекулярной статистики индивидуального микрообъема («частицы» жидкости или газа) к состоянию термодинамического равновесия при любых процессах в потоке. Принятая гипотеза о ЛТР позволяет использовать закономерности, справедливые для условий термодинамического равновесия, для описания любых течений газовых смесей, в т. ч. реагирующих (т. е. химически неравновесных) — равновесные (максвелловские) и изотропные по направлениям распределения «хаотической» составляющей скорости молекул (vk )n − vk и равновесные по поступа-

76

тельным, вращательным и колебательным степеням свободы распределения энергий молекул всех компонентов.

Именно гипотеза о ЛТР придает термодинамической температуре T , удельной внутренней энергии e и давлению p определенность и смысл параметров состояния, позволяя им, наряду с массовыми до-

лями компонентов Yk = ρk /ρ, k = 1, . . . , K (где ρ = ρ1 + · · · + ρK — плотность смеси), фигурировать в уравнениях состояния (УС), ко-

торыми зависимый параметр состояния смеси заданного состава выражается через значения двух независимых параметров состояния. Важнейшие УС — калорическое УС вида e = e (ρ, T, Y1, . . . ) и термическое УС — вида p = p (ρ, T, Y1, . . . ). Эта же гипотеза позволяет определять выражениями вида УС для конкретной среды величины коэффициентов молекулярного переноса (подробнее об УС см. разд. 3.2).

Отметим, что в рамках гипотез сплошности и ЛТР смесь газов считается локально перемешанной на молекулярном уровне, т. е., собственно, гомогенной в каждой конкретной точке (макроскопический состав смеси все же пространственно неоднороден). Это позволяет привлекать для расчета скоростей химических реакций концепции и данные, справедливые для статистики столкновений структурных элементов (молекул) внутри однородного по составу микрообъема.

3.1.2. Вывод законов сохранения для реагирующей смеси. В общем случае пространственного и зависящего от времени течения смеси каждая искомая величина (зависимая переменная) в законах сохранения в общем случае есть функция x, y, z и t.

Исходной для любого из ЗС является его интегральная форма, которая выводится из рассмотрения условия сохранения соответствующей величины применительно к произвольному контрольному объему (рис. 3.2).

Закон сохранения массы компонента смеси. Плотность потока массы k-го компонента газовой смеси, кг/(м2 × ñ) — произведение его парциальной плотности на скорость ρkvk . Среднемассовая скорость смеси в данной точке определяется как

1XK

v = ρ k=1 ρkvk ,

тогда vk ä = vk − v — диффузионная скорость k-го компонента.

77

z

n

dF

	y
x	V

Рис. 3.2. К выводу интегральных законов сохранения общего вида

Впотоке массы ρk vk выделяют конвективную (вместе со смесью)

идиффузионную (относительно смеси) составляющие:

ρk vk = ρkv + ρk vk ä.

(3.2)

Условием сохранения массы компонента k в произвольном объеме V (рис. 3.2) с учетом объемной мощности его суммарного образования (исчезновения) во всех рассматриваемых химических реакциях ωkΣ, моль/(м3 × ñ) является уравнение (здесь и ниже — для k = 1, . . . , K):

d	ZV	ρk dV = − ZF [ρk vk · n] dF + ZV Wk ωkΣ dV.	(3.3)
dt

Уравнение (3.3) — закон сохранения массы k-го компонента смеси в интегральной форме. Преобразование в нем интеграла по поверхности в интеграл по объему по формуле Остроградского – Гаусса

Z Z

[a · n] dF = div a dV

F V

и изменение порядка интегрирования и дифференцирования в левой части (3.3) дает

ZV	∂ρ
	∂tk + div(ρk vk ) − Wk ωkΣ dV = 0.	(3.4)

78

Заметим, что в (3.4) для применения оператора дивергенции требуется гладкость (дифференцируемость) ее векторного аргумента. Предполагая, что при учете молекулярных эффектов диффузии, вязкости и теплопроводности образование разрывов искомых функций исключается, уравнения (3.3) и (3.4) можно считать эквивалентными.

В силу произвольности объема V (рис. 3.2) равенство (3.4) будет выполняться при тождественно равном нулю подынтегральном

выражении, т. е.
	∂ρk	+ div(ρk vk ) = WkωkΣ.	(3.5)
	∂t

Уравнение (3.5) — закон сохранения массы компонента в дифференциальной («дивергентной») форме. Как и уравнения (3.3) и (3.4), оно связывает приращение во времени массовой концентрации (парциальной плотности ρk ) компонента в окрестности точки с переносом компонента в конвективном движении смеси (со среднемассовой скоростью), диффузией молекул компонента, а также с образованием/исчезновением молекул в химических реакциях.

Обозначая вектор плотности диффузионного потока массы компо-

нента jk = ρk vk ä и учитывая (3.2), нетрудно привести (3.5) к виду

∂ρYk

+ div (ρvYk ) = div (−jk) + WkωkΣ,

(3.6)

∂t

где Yk = ρk /ρ — массовая доля k-го компонента.

Применяя тензорную нотацию, в которой дивергенция вектора

div a = ∂(a)x + ∂(a)y +

∂(a)z =

3

∂(a)j

X

∂x

∂y

∂z

j=1

∂xj

кратко обозначается как ∂aj , получим «тензорную» форму записи зако-
∂xj
на сохранения массы компонента (по k не суммировать!):
∂ρk +	∂ρk vk j = Wk ωkΣ.	(3.7)
∂t	∂xj

Наконец, расписав операторы дивергенции в (3.6) по координатным направлениям, получим «развернутую» форму записи ЗС массы

компонента

∂ρYk

+

∂ρuYk

+

∂ρvYk

+

∂ρwYk

= −

∂jk x

−

∂jk y

−

∂jk z

+WkωkΣ. (3.8)

∂t

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

79

В ЗС массы плотность диффузионного потока jk = ρk vk компонента выступает дополнительной неизвестной. Выражение jk через другие зависимые переменные позволяет «замкнуть» это уравнение. Чаще всего для этой цели используют феноменологический закон молекулярной диффузии Фика (англ. Fick’s law), устанавливающий прямую

пропорциональность

ρk vk ä = −ρDk grad Yk ,

(3.9)

или, в тензорных обозначениях, в которых градиент величины ϕ

∂ϕ

∂ϕ

∂ϕ

3

∂ϕ

grad ϕ =

ex +

ey +

ez =

ej

∂x

∂y

∂z

j=1

∂xj

X

обозначается как

∂ϕ

ej , можно написать (по k не суммировать!):

∂xj

ρk vk äj

∂Yk

(3.10)

= −ρDk

.

∂xj

В законе Фика Dk = Dk (ρ, T, Y1, . . . , YK−1) — локальное значение коэффициента молекулярной диффузии компонента. Использование закона (3.9) не добавляет ничего существенного к определению ρk vk ä, пока не указан способ вычисления Dk. При моделировании течений газовых смесей применяются различные подходы к учету многокомпонентной диффузии [39]. Так, часто используют (3.9), где Dk вычисляют по локальным значениям коэффициента молекулярной вязкости µ и числа Шмидта компонента Sck = µ/(ρDk ), которое в простейшем случае принимается постоянным (порядка 0,6 . . . 1).

C учетом (3.9) закон сохранения массы компонента в «дивергентной» форме принимает вид

	∂ρk	+ div ρkv = div (ρDk grad Yk ) + Wk ωkΣ.	(3.11)
	∂t

Закон сохранения количества движения. При выводе этого ЗС обычно принимают, что объемная плотность количества движения смеси выражается произведением плотности на среднемассовую скорость ρv, а конвективная составляющая ее потока — произведением ρv на компоненты среднемассовой же скорости v, т. е. пренебрегают переносом количества движения с диффузионными скоростями компонентов.

80