Контрольные задачи

1. Найти плотность полного тока, если создаваемая им напряженность магнитного поля:

.

2. В среде (,См/м) напряженность электрического поля. Найти плотности тока смещения и проводимости.

3. Найти величину производной , если с ней связана напряженность электрического поля.

4. В среде () напряженность электрического поля. Найти объемную плотность заряда.

5. Может ли векторное полебыть полем магнитной индукции, если:

а) ;

б) ?

6. На идеально проводящем шаре радиуса , помещенном в воздухе (), находятся заряд. Найти, используя граничные условия, напряженность электрического поля() на поверхности шара.

7. В полупространстве , граница которогоявляется идеально проводящей, существует напряженность магнитного поля. Найти, используя граничные условия, плотность поверхностного тока на границе.

8. Из воздуха в диэлектрик с плоской границей проходит силовая линия напряженности электрического поля. Углы наклона силовых линий поля к границе в воздухе и диэлектрике равны соответственно: и. Найти относительную и абсолютную диэлектрические проницаемости диэлектрика.

9. В прямоугольном объеме (;;), заполненном средой (), существует электрическое поле с напряженностью. Найти энергию поля.

10. На сфере радиуса м. существует напряженность электрического поля,В/м и напряженность магнитного поля,А/м. Найти вектор Пойнтинга и его поток через сферу (элемент поверхности сферы ).

3. Основные уравнения электродинамики для гармонических полей

Метод комплексных амплитуд в электродинамике. Первая пара уравнений Максвелла в комплексной форме. Комплексная диэлектрическая проницаемость и среды. Деление сред на диэлектрики и проводники. Граничные условия для уравнений электродинамики.

Уравнения Гельмгольца для напряженностей поля и потенциалов.

Комплексный и средний вектор Пойнтинга. Уравнение баланса активной и реактивной мощности поля.

Понятие о граничных задачах электродинамики (внутренний и внешней). Лемма Лоренца. Теорема взаимности и её смысл.

Методические указания

В этом и всех последующих разделах курса рассматриваются лишь важные для радиотехники электромагнитные процессы, изменяющиеся во времени по гармоническому закону. Среды предполагаются линейными и изотропными. При этих условиях всё многообразие гармонических процессов описывается первой парой уравнений Максвелла в комплексной форме:

(I); (II)

Здесь ,В/ми,А/м–комплексные амплитуды векторов напряженности электрического и магнитного поля соответственно;,рад/с–круговая частота;– относительная комплексная магнитная проницаемость (во всех практических задачах, кроме задач в разделе 2,);– относительная комплексная диэлектрическая проницаемость среды, равная:

,

где – вещественная («истинная») проницаемость;– тангенс угла потерь, равный отношению амплитуд токов проводимости и смещения;,– комплексная амплитуда вектора плотности стороннего тока.

Присреда считается диэлектрической, при– проводящей. Нужно знать, что для ряда сред (почва, морская вода и др.) величинаи характер среды зависят от частоты.

Уравнения Максвелла в комплексной форме решаются совместно с граничными условиями, которые для сред с конечной проводимостью сводятся к непрерывности касательных проекций поля на границе раздела:

(I); (II).

Если одна из сред считается идеально проводящей (очень полезная в электродинамике идеализация хороших проводников на высоких частотах), то в ней поле равно нулю, а на поверхности:

(I); или; (II),

здесь –внешний орт нормали к поверхности;, А/м–вектор поверхностной плотности наведенного тока.

Волновые уравнения для комплексных гармонических полей называются уравнениями Гельмгольца. В области, свободной от источников (), они имеют вид:

,

где – любая компонента вектора поля;, 1/м– волновое число. Для немагнитных сред (), но с комплексной, волновое число комплексно и равно:

Все приведенные формулы, их смысл, величины и их размерности нужно знать твердо.

В выражении комплексного вектора Пойнтинга:

не нужно забывать о символе комплексного сопряжения (*). Интеграл даёт мощность, переносимую через поверхностьS;– средний вектор Пойнтинга.

Лемма Лоренца и теорема взаимности являются общими следствиями уравнений Максвелла в комплексной форме. Они описывают энергетическое взаимодействие двух полей, относящихся к различным источникам, и широко используются в различных задачах электродинамики.