atapin

		I
2a			A1
a	1	F1	1
a		F2
a		A2
		V
a	F2		A1
2a			A2
	1	F1	1
2a
		IX
			A2
3a
	1		1
a		F1	A1
	Fa	3EA

		II
a			F1
a				A1
a	1		F2	1
2a				A2
		VI
				A2
2a
	1			1
2a			F1
			A1
	Fa	2EA
			X
				A2
2a
	1			1
a				A1
a			F2
	Fa		5EA

		III
a			A1
a		F1	A2
a	1		1
a			F2
a			A1
		VII
a			A2
a	1	F1	1
2a			A1

Fa 4EA

Рис. 1.3. Расчетные схемы к задаче 2

					IV
a						F1

	2a		A1
			1
		1
	a	F2	A2
	a

	VIII
	A2
2a
1	1
a	A1
a	F1

Fa 4EA

22

А. СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА БЕЗ ЗАЗОРА

ПРИМЕР РАСЧЕТА И ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАЧИ

Для стального (чугунного) стержня (рис. 1.4, а) определить:

1)коэффициент запаса прочности;

2)перемещение сечения 1-1 стержня. При решении задачи принять:

F = 60 кН,		A	3 10 3 м2, a = 0,8 м,				E = 2·105 МПа.
			Исходные данные к задаче
F1	F2	A1		A2	Материал		Предел текучести
					стержня		σт, МПа
2F	F	A		2A	Сталь Ст3		240

			RO							Эпюра N
a	O		A1= A	O		O				+
	K		F1= 2F	K	2F	K		2F
2a									(13/8)F
	1	D	1	D		D			(3/8)F
a			A2= 2A
	C				C		C
a	B		F2=F		F			F		−
		RB		B	X = RB	B		(11/8)F		(11/8)F
		x	а		б		в			г
	Рис. 1.4. Расчетная схема (а) и результаты расчета (б, в, г)

Решение

Определение степени статической неопределимости системы.

Нагрузка от двух сил F1 и F2 воспринимается частично верхней заделкой и частично нижней. Для определения двух реакций в заделках (рис. 1.4, а) используем одно уравнение равновесия (имеем систему сил, направленных по одной прямой):

∑ х = 0 −RB +F + 2F −RO = 0 → RB + RO = 3F.

23

Так как имеем одно уравнение равновесия и два неизвестных усилия

RB и RO, то система один раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости системы необходимо дополнительно к уравнению равновесия составить уравнение перемещений, учитывающее действительные условия деформирования системы.

Уравнение перемещений. Для составления уравнения перемещений отбросим одну из заделок, например, нижнюю. Ее действие на стер-

жень заменим соответствующей силой реакции RB. В результате получим стержень, защемленный одним концом (статически опреде-

лимая система) и нагруженный, кроме заданных сил F1 и F2, неиз-

вестной пока силой X = RB (рис. 1.4, б).

По условию задачи перемещение сечения В равно нулю, так как это сечение жестко закреплено:

uB = 0.

Применив принцип независимости действия сил, представим уравнение перемещений uB = 0 в виде

uB = uB(X) + uB(F2) + uB(F1) = 0,

т. е. перемещение от совместного действия всех сил равно алгебраической сумме перемещений от действия каждой силы в отдельности:

uB

X

X

2a

X 3a

− сумма укорочений участков

E 2 A

EA

BD и DO;

uB

F2

Fa

F 3a

− сумма удлинений участков CD, DO;

E 2 A

EA

u

F

2Fa

− удлинение участка KO.

B

1

EA

Подставив найденные значения uB(X), uB(F2), uB(F1) в уравнение перемещений, получим

X 2a		X 3a	+	Fa		F 3a	+	2Fa	= 0,
E 2A		EA		E 2 A		EA		EA

24

откуда X = (11/8)F.	Ответ
Из уравнения равновесия получаем RO = (13/8)F.

Эпюра нормальных сил. После определения реакции X = RB стержень представляет собой статически определимый стержень, нагруженный известными силами (рис. 1.4, в). Поэтому методика построения эпюры нормальных сил ничем не отличается от рассмотренной методики в задаче 1. Эпюра нормальных сил представлена на рис. 1.4, г.

Коэффициент запаса прочности. Коэффициент запаса прочности для стального стержня определяется по формуле

n	пред		т	.
	max		max

Наибольшее нормальное напряжение в случае стального стержня вычисляется по формуле

max	Nmax		13 8 F	13 60 10		3 МН	32,5 МПа,
	A		A1		8 3 10 3м2

где Nmax = (13/8)F − наибольшее по абсолютной величине значение нормальной силы с эпюры N.

Коэффициент запаса прочности для стального стержня

	n	т	240		7,38 .	Ответ
		max	32,5

Замечание. Коэффициент запаса прочности для чугунного стержня определяется по формуле

n	пред	,
	max
где принимают для чугунного стержня					пред	в	р	,	т. е. пределу
прочности на растяжение или	пред		в	с	, т. е.	пределу прочности

25

на сжатие. Коэффициент запаса прочности определяется для участков стержня, испытывающих:

	растяжение −	nр	вр	, сжатие − nс	вс	.
			р max		с max

Для вычисления σр max и σс max с эпюры N для участков стержня,

испытывающих растяжение, выбирается Nр max, а сжатие – Nс max Далее из двух коэффициентов выбирают наименьшее значение.

Перемещение сечения 1-1. При вычислении перемещения сечения 1-1 используется эпюра N и методика вычисления перемещений, изложенная в задаче 1.

Перемещение сечения K:

N

l

13 8 Fa

13 60 10

3 0,8

5 м .

u

K

l

OK OK

13 10

OK

EA1

EA

8 2 105

3 10 3

Перемещение сечения 1-1:

u

u

K

l

KD

u

K

NKDlKD

13 10 5

3 8 F 2a

1 1

EA1

EA

Ответ

3

13 10 5

3 60 10

2

0,8

7 10 5 м .

8

2 105

3 10 3

Б. СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА С ЗАЗОРОМ

ПРИМЕР РАСЧЕТА И ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАЧИ

Для стального (чугунного) стержня (рис. 1.5, а) определить:

1)коэффициент запаса прочности;

2)перемещение сечения 1-1 стержня. При решении задачи принять:

F = 60 кН, A 3 10 3 м2, a = 0,8 м, E = 2·105 МПа.

26

Исходные данные к задаче

	F1	F2	A1	A2	Материал	Предел текучести
					стержня	σт, МПа
	2F	F	A	2A	Сталь Ст3	240

								Эпюра N
a	O		A1= A	O		O
2a	D		F1= 2F	D	F1	D		2F
								(13/8)F
	1	C	1	C			C
2a			A2= 2A
		B						(3/8)F
				B			B
Fa 2EA			uB(F1)	X		uB(X)		X =(3/8)F
		а		б				в
	Рис. 1.5. Расчетная схема (а) и результаты решения (б, в)

Решение

Варианты работы заданной системы. В зависимости от величины зазора возможны два варианта работы заданной системы.

1.При нагружении стержня заданной системой сил (рис.1.5, а) сечение В не соприкасается с заделкой, т. е. зазор не закрывается. Стержень представляет в этом случае статически определимую систему. То же будет при условии, что сечение В и заделка лишь сомкнутся, но сил взаимодействия между ними не возникнет.

2.При нагружении стержня зазор закрывается и между стержнем

изаделкой возникают силы взаимодействия. В этом случае система окажется статически неопределимой – получается стержень, жестко защемленный обоими концами; из предыдущего (см. задачу А. СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА БЕЗ ЗАЗОРА) известно, что такая система статически неопределима.

Для выяснения вопроса о том, какой из двух указанных вариантов работы системы имеет место в действительности, определим пе-

27

ремещение сечения В, полагая, что заделка отсутствует, и сравним с величиной зазора Δ:

uB	F1	F1a		2Fa		Fa	,
		EA1		EA		2EA

т. е. зазор закрывается и между стержнем и заделкой возникает сила взаимодействия, которую обозначим X. Для определения силы X составим уравнение перемещений.

Уравнение перемещений. Для составления уравнения перемещений рассмотрим стержень, нагруженный заданной силой F1= 2F и силой X (рис. 1.5, б). На рис. 1.5, б штриховыми линиями показана деформация стержня.

Уравнение перемещений для рассматриваемой задачи имеет следующий вид:

uB F1 uB X

.

Составим выражения для определения искомых перемещений:

uB	F1	F1a				2Fa			(растяжение),
		EA1				EA
uB	X		X		2a				X 3a	(сжатие).
			E 2 A						EA

Подставив эти значения в уравнение перемещений, с учетом

	Fa	получим:
	2EA
			2Fa		X 2a		X 3a	=	Fa	,
			EA		E 2A		EA		2EA
откуда X = (3/8)F.										Ответ

Эпюра нормальных сил. Методика построения эпюры нормальных сил аналогична методике, рассмотренной в задаче 1. Эпюра нормальных сил представлена на рис. 1.5, в.

28

Коэффициент запаса прочности. Коэффициент запаса прочности для стального стержня определяется по формуле

n	пред		т	.
	max		max

Наибольшее нормальное напряжение в случае стального стержня вычисляется по формуле

max	Nmax		13 8 F	13 60 10		3 МН	32,5	МПа,
	A		A1		8 3 10 3м2

где Nmax = (13/8)F − наибольшее по абсолютной величине значение нормальной силы с эпюры N.

Коэффициент запаса прочности

	n	т	240		7,38 .	Ответ
		max	32,5

Замечание. Коэффициент запаса прочности для чугунного стержня определяется по формуле

n		пред	,
		max
где принимают для чугунного стержня						пред	вр (пределу
прочности на растяжение)	или пред			в	с	(пределу прочности

на сжатие). Коэффициент запаса прочности определяется для участков стержня, испытывающих:

	растяжение −	nр	вр	, сжатие − nс	вс	.
			р max		с max

Для вычисления σmax с эпюры N берется Nmax для участков стержня, испытывающих как растяжение, так и сжатие. Далее из двух коэффициентов выбирают наименьшее значение.

29

Перемещение сечения 1-1. При вычислении перемещения сечения 1-1 используется эпюра N и методика вычисления перемещений, изложенная в задаче 1.

Перемещение сечения D:

N

l

13 8 Fa

13 60 10

3 0,8

5 м .

u

D

l

OD OD

13 10

OD

EA1

EA

8 2 105

3 10 3

Перемещение сечения 1-1:

u

u

D

l

DC

u

D

NDC lDC

13 10

5

3 8 F 2a

1 1

EA1

EA

Ответ

3

13 10 5

3 60 10

2

0,8

7 10 5 м .

8

2 105

3 10 3

30

Задача Расчет

3статически неопределимой стержневой системы

Плоская стержневая система нагружена в соответствии с заданной расчетной схемой (рис. 1.6). Стержни изготовлены из разных материалов, механические характеристики которых приведены в табл. 1.3. Исходные данные приведены в табл. 1.4.

					Т а б л и ц а 1.3
	Материал стержня и его механические характеристики
					Нормативный
Но-		Модуль	Предел	Предел	коэффициент
		упругости	прочности	текучести	запаса
мер	Материал
					прочности
стерж-
ня		Е, 105	в	т	[n в]		[nт]
			МПа		–
1	Сталь Ст3	2,0	380	220	–		1,5
2	Сплав Д16Т	0,7	470	320	3,5		–
3	Латунь Л68	1,0	300	–	4,0		–

Т а б л и ц а 1.4

Исходные данные к задаче 3

Номер		Сила F,	Длина l,	Отношение площадей	Угол,
	Схема			поперечного сечения		град
строки		кН	м
				стержней А1: А2: А3	α		β
1	1	10	1,0	1:4:3	30		60
2	2	20	1,1	2:1:4	40		50
3	3	30	1,2	3:2:1	50		40
4	4	40	1,3	4:3:1	60		30
5	5	10	1,4	1:3:2	30		60
6	6	20	1,5	2:1:3	40		50
7	7	30	1,6	3:4:1	50		40
8	8	40	1,7	4:2:3	45		45
9	9	20	1,8	1:2:4	40		50
0	10	40	1,0	2:4:3	30		60
	е	д	г	е		д

31