- •Федеральное агенство морского и речного
- •2. Начальные условия и задача коши
- •3. Общее решение и общий интеграл
- •4. Метод разделения переменных
- •5. Однородное уравнение первого порядка
- •6. Линейное уравнение первого порядка
- •7. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •7.1. Уравнение вида
- •7.2. Уравнение, не содержащее явно неизвестную функцию y
- •7.3. Уравнение, не содержащее явно независимую переменную X
- •8. Линейное уравнение второго порядка
- •8.1. Основные понятия
- •8.2. Свойства решений однородного линейного уравнения
- •8.3. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами
- •8.4. Структура общего решения неоднородного линейного уравнения.
- •9. Метод вариации произвольных постоянных
- •10. Метод неопределенных коэффициентов
- •Литература
- •Часть 1,2. М.: "Оникс 21 век". – 2003.
- •Михаил Юрьевич Ястребов
- •Дифференциальные уравнения
- •Учебное пособие
6. Линейное уравнение первого порядка
Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида: с непрерывными функциямии.
Будем искать общее решение методом И.Бернулли в виде произведения двух новых неизвестных функций: , что дает определенную свободу в выборе одного из множителей, позволяя придать ему необходимый для дальнейшего вид. Тогда. Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим:
.
Группируя слагаемые с , получаем:.
Потребуем от функции , чтобы множитель в квадратных скобках притождественно обращался в нуль:
(10)
Уравнение (10) является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его частное решение (без произвольной постоянной):
(10) .
Интегрируем обе части:
; ;;
выбираем в качестве частного решения функцию (здесь символом неопределенного интеграла обозначена какая-либо первообразная функции) .
Теперь подстановка найденной функции в (10) дает уравнение с разделяющимися переменными относительно:
.
В итоге получаем общее решение:
;
. (11)
Хотя при решении линейного уравнения можно сразу выписывать общий интеграл по формуле (11), представляется полезным проследить на примере всю цепочку выкладок, приводящих к (11).
Пример. Рассмотрим линейное уравнение:
на интервале с начальными условиями .
Здесь . Полагаем:
.
Подставляем в уравнение выражения для и:
.
. (12)
Накладываем на условие:тогда
, и можно выбрать .Подставляем в (12) и учитываем, что, в соответствии с выбором функции, выражение в квадратных скобках тождественно равно нулю:
.
Функция
является общим решением.
Найдем частное решение задачи Коши. Подставим для этого начальные условия в общее решение и найдем соответствующее значение константы :
Подставив найденное значение в общее решение, получаем решение задачи Коши:
.
7. Уравнения, допускающие понижение порядка
7.1. Уравнение вида
Решение уравнения означает отыскание функции по ее производной -го порядка.
При каждом интегрировании производной ее порядок на
единицу понижается: .
Интегрируя последовательно раз, получаем (при каждом интегрировании добавляется очередная произвольная постоянная):
;
;
…
.
Таким образом, найденная функция , в соответствии с определением общего решения, зависит отпроизвольных постоянных.
Пример. Для уравнения третьего порядка найдем общее решение, а затем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.
Последовательные интегрирования дают:
;
;
—общее решение.
Подставляя начальные условия в полученные выражения для , получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Отсюда: , так что решение задачи Коши имеет вид:.
7.2. Уравнение, не содержащее явно неизвестную функцию y
Рассмотрим уравнение второго порядка вида , не содержащее явно искомую функцию.
Введем новую неизвестную функцию . Тогда, и уравнение принимает вид:. Это уравнение первого порядка. Если найдено его общее решение, то возвращаясь к исходной неизвестной функции, получаем, так чтонаходится интегрированием:
.
Аналогичным образом можно понизить на единицу порядок не содержащего явно уравнения.
Пример. . Полагая, приходим к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции:
Ограничимся случаем ,, что означает строгое возрастание искомой функции(так как). Тогда
,
или
.
Наконец, интегрируя по частям, получаем общее решение:
.