10. Метод неопределенных коэффициентов
Это метод отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами
в
случае, когда правая часть
имеет специальный вид, самая общая
запись которого:
,
(26)
где
– многочлены степени
и
соответственно:
.
Укажем характерные частные случаи функции (26).
1.
.
В этом случае правая часть
является многочленом (поскольку
).
Например:
1)
;
2)
.
2.
.
В этом случае
.
Например:
3.
.
В этом случае
.
Например:
4.
.
В этом случае
.
В частности, если степень многочлена
,
то многочлен является постоянным числом:
Например:
5.
.
В этом случае
.
Например:
Рассмотрим
комплексное число
,
где
и
берутся из записи (26) правой части
неоднородного уравнения. Корни
характеристического уравнения
записываются в виде
,
где
– дискриминант уравнения.
Кратность
числа
как корня характеристического уравнения
может иметь одно из трех значений:
1)
;
это означает, что
не является корнем характеристического
уравнения;
2)
;
это означает, что
является простым корнем характеристического
уравнения; при этом дискриминант
уравнения
отличен от нуля;
3)
,
то есть
— кратный корень; последнее возможно
в том и только том случае, когда
;
корень
при этом вещественный, так как его мнимая
часть
.
На
практике для определения кратности
нужно решить (квадратное) характеристическое
уравнение и сравнить его корни с числом
.
Пусть
– максимальная из степеней
и
многочленов
и
в записи правой части (26).
Можно убедиться непосредственной подстановкой в дифференциальное уравнение, что функция
,
(27)
где
и
– многочлены степени
:
,
,
при
некоторых значениях коэффициентов
этих многочленов является частным
решением неоднородного уравнения. Для
отыскания этих (неопределенных вначале)
коэффициентов у функции (27) вычисляются
первая и вторая производные; затем
подставляются в исходное уравнение,
после чего приравниваются коэффициенты
при одинаковых функциях-слагаемых обеих
частей равенства. Это дает систему
уравнений для отыскания коэффициентов
.
В итоге отыскание частного решения проводится по следующему алгоритму:
1. Нахождение корней характеристического уравнения.
2.
Определение величин
.
3.
Выявление кратности
числа
как корня характеристического уравнения.
4.
Запись частного решения
в виде (27) с неопределенными коэффициентами
многочленов
.
5.
Вычисление производных
.
6.
Подстановка
в дифференциальное уравнение.
7. Приравнивание коэффициентов при одинаковых функциях в обеих частях равенства.
8.
Решение получившейся системы уравнений,
получение коэффициентов многочленов
.
9. Запись частного решения с найденными коэффициентами.
После
этого можно записать общее решение в
виде
Примеры.
1.
Рассмотрим уравнение
.
Выполняем последовательно инструкции алгоритма:
1.
.
Общее решение соответствующего
однородного уравнения:
.
2. Находим параметры правой части:
3.
;
кратность
.
4.
.
5.
.
6.
Подставляем в уравнение:
.
7.
;
8.
;
.
9.
.
Общее решение неоднородного уравнения:
.
2. Рассмотрим уравнение
.
Выполняем последовательно инструкции алгоритма:
1.
.
Общее решение соответствующего
однородного уравнения:
.
2. Находим параметры правой части:
3.
;
кратность
.
4.
;
5.
;
.
6. Подставляем в уравнение:
.
7. Приводим подобные члены и приравниваем коэффициенты при
,
при
и при
:
8.
Решаем систему:
.
9.
.
Общее решение неоднородного уравнения:
.
3.
Рассмотрим уравнение
.
1.
.
Общее решение соответствующего
однородного уравнения:
.
2. Находим параметры правой части:
;
.
3.
;
кратность
.
4.
;
5.
;
.
6. Подставляем в уравнение:
;
.
7.
Приравниваем коэффициенты при
и при
:
8.
.
9.
.
Общее решение неоднородного уравнения:
.