7.3. Уравнение, не содержащее явно независимую переменную X

Рассмотрим уравнение второго порядка вида , не содержащее явно независимую переменную.

Будем предполагать строго монотонной функцией. Тогда существует обратная функция, и производныеможно рассматривать как сложные функции независимой переменной:

.

Введем новую неизвестную функцию . По правилу дифференцирования сложной функции

,

так что исходное уравнение второго порядка переходит в уравнение первого порядка относительно новой неизвестной функции :

. (13)

Если найден общий интеграл уравнения (13)

,

то, заменяя в нем на, приходим к уравнению первого порядка относительно исходной неизвестной функции:

.

Таким образом, решение уравнения второго порядка сводится к последовательному решению двух уравнений первого порядка.

Пример. Рассмотрим уравнение . Полагаем; тогда. Исходное уравнение преобразуется к виду:. Ограничиваясь случаем, получаем уравнение с разделяющимися переменными:

.

Откуда

.

Произвольную константу интегрирования удобно записать в виде , поскольку логарифмическая функция принимает все значения отдо. Тогда

.

.

Поскольку здесь постоянный множитель при , записанный в виде, принимает, как и множитель, все вещественные значения, можно записать:

Возвращаемся к исходной неизвестной функции :

—

общий интеграл.

8. Линейное уравнение второго порядка

8.1. Основные понятия

Определение. Линейным уравнением второго порядка называется уравнение вида:

(14)

с непрерывными на интервале функциямии.

Из теоремы 2, приведенной на с. 6, следует, что указанная непрерывность гарантирует при существование и единственность решения задачи Коши с любыми начальными данными.

Определение. Однородным линейным уравнением второго порядка называется уравнение с нулевой правой частью:

. (15)

8.2. Свойства решений однородного линейного уравнения

Из свойств производной следует, что для любых функций и любых вещественных чисел:

.

Обозначим левую часть уравнений (14) и (15) через :

.

Тогда эти уравнения принимают вид исоответственно. При этом

,

Теорема 3: Если функции иявляются решениями однородного линейного уравнения(15), то функция также является его решением.

Доказательство. Пусть и. Тогда

. ▄

8.3. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное уравнение с постоянными коэффициентами:

(16)

(и– постоянные числа), исоответствующее ему однородное уравнение

. (17)

Определение. Характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению (17), называется алгебраическое квадратное уравнение

. (18)

Отметим, что второй производной дифференциального уравнения соответствует в характеристическом уравнении. Коэффициент при первой производнойпереходит в коэффициент при первой степени. Наконец, коэффициент при, то есть при производной нулевого порядка, переходит в свободный член (коэффициент при нулевой степени).

Примеры. 1. Для линейного однородного  уравнения соответствующее характеристическое уравнение записывается в виде.

2. Уравнению соответствует характеристическое уравнение.

3. Уравнению соответствует характеристическое уравнение.

Общее решение однородного уравнения (17) можно получить, исходя из корней соответствующего характеристического уравнения (17). Здесь возможны три случая в соответствии с возможным значением его дискриминанта .

А. Случай положительного дискриминанта Пусть . В этом случае уравнение (18) имеет два различных вещественных корняи:

,

что соответствует разложению квадратного трехчлена на множители с вещественными коэффициентами:

.

Можно проверить, что в этом случае общее решение однородного уравнения (16) имеет вид:

. (19)

Примеры. 1. ; начальные условия:. Соответствующее характеристическое уравнение:. Дискриминант. Корни квадратного уравнения. Общее решение имеет вид:.

Найдем частное решение для задачи Коши.

Дифференцируем общее решение: . Подставляем начальные условия ви(учитывая, что):

Решая эту систему, получаем: . Соответствующее решение задачи Коши:.

2. . Характеристическое уравнение. Корни квадратного уравнения. Общее решение имеет вид:.

Б. Случай нулевого дискриминанта Пусть . В этом случае характеристическое уравнение имеет один вещественный корень кратности:

,

что соответствует разложению квадратного трехчлена на множители с вещественными коэффициентами:

.

Можно проверить, что в этом случае общее решение однородного уравнения (17) имеет вид:

. (20)

Пример. . Соответствующее характеристическое уравнение. Дискриминант. Кратный корень квадратного уравнения. Общее решение имеет вид:.

В. Случай отрицательного дискриминанта Пусть . В этом случае уравнение (17) имеет два различных комплексных корняи, которые задаются формулой:

, где .

К этим значениям можно придти, используя формально выражение для корней, полученное в случае положительного дискриминанта, и помня, что обозначает «мнимую единицу» —комплексное число, для которого:

.

Можно проверить, что в этом случае общее решение однородного уравнения (17) имеет вид:

. (21)

Примеры. 1. . Соответствующее характеристическое уравнение. Дискриминант. Корни квадратного уравнения. Общее решение имеет вид:.

2. . Соответствующее характеристическое уравнение. Корни квадратного уравнения. Общее решение имеет вид:.

Найдем частное решение для задачи Коши с начальными условиями . Дифференцируем общее решение:

.

Подставляем начальные условия в и(учитывая, что):

Отсюда . Соответствующее частное решение.