Методические указания

1. В первом приближении задаться функцией напряжений в виде следующего полинома

φ(х, у) = , (1)

где a, b, c, d – неизвестные постоянные коэффициенты.

Использовать соотношения

σ_х=; σ_у=; τ_ху= –– γ_кх (2)

и найти из них с помощью зависимости (1) выражения напряжений через пере­менные х, у постоянные a, b, c, d.

Определить величины a, b, c, d из граничных условий

(3)

на вертикальной и наклонной гранях,

где ν - внешняя нормаль к контуру профиля в рассматриваемой точке;

ℓ‚ m‚ n – направляющие конусы внешней нормали ν; Ρ_νх, Ρ_νу - составляю­щие внешней поверхностной нагрузки по осям координат в данной точке(рис. 2,а).

Подставить найденные величины коэффициентов в выражения напряже­ний и получить расчетные зависимости для вычисления σ_х, σ_у, τ_ху.

Проверить удовлетворяют ли найденные зависимости дифференциаль­ным уравнениям равновесия, уравнению совместности и граничным условиям. Привести в работе выкладки, подтверждающие, что уравнения равновесия

(4)

и уравнение совместности деформаций в напряжениях

²(σ_х+σ_у) = 0 (5)

обращаются в тождества при подстановке в них найденных выражений напряжений.

Для проверки выполнения граничных условий рекомендуется, не прибе­гая к выражениям (3), показать, что напряженияσ_х, σ_у, τ_ху

при х= 0 отвечаютнагрузке на вертикальную грань и при х = у tgβ - отсутствию нагрузки на на­клонной грани, рассмотрев равновесие прямоугольного элемента, вырезанного у вертикальной и треугольного - у наклонной грани (рис. 2б, 2в).

Завершить проверку выводом о том, требуется корректировка выражений для напряжений в последующих приближениях или нет. Если нет, то присту­пить к вычислениям по этим выражениям.

2. Расчеты напряжений следует выполнять в точках, которые лежат на лучах, выходящих из вершины профиля и разделяющих его основание на ряд равных отрезков. В учебных целях достаточно провести пять лучей с номерамиi = 0, l, 2, 3, 4, возрастающими слева направо так, чтобы нулевой луч прошел по вертикальной, а четвертый – по наклонной границам профиля. В этом случае между координатами произвольной точки, лежащей на любом из пяти лучей с номером i, имеет место соотношение

Xi = ytgβ, (6)

с помощью которого целесообразно исключить переменную x из расчетных за­висимостей для напряжений и записать выражения σ_х, σ_у, τ_ху в таблицу 2 в виде линейных функций одного аргумента y для каждого луча, как показано ниже в примере выполнения РПР.

Получить в таком же виде выражения главных и максимальных каса­тельных напряжений, возникающих на площадках перпендикулярных плоско­сти хоу. Использовать для этого формулы

(7)

σ_min= (8)

|τ|_max= (9)

и поместить результаты расчета в таблицу 2.

Выражения напряжений в таблице 2 должны быть проверены. В частно­сти необходимо проверить выполняется ли закон постоянства суммы нормаль­ных напряжений

σ_x + σ_y = σ_max + σ_min (10)

Убедиться также, что на втором луче σ_y = – 0,5γ_ку, на четвертом σ_max = 0, а σ_min принимает наибольшее по абсолютной величине значение в точке В, и подго­товить устное объяснение этих трех результатов.

По данным таблицы 2 вычислить σ_x, σ_y, τ_ху при у = Н/2, у = Н и построить эпюры перечисленных напряжений.

3. Линии равных напряжений рекомендуется строить в количестве n не менее 5 и не более 10 для каждого из трех семейств кривых σ_min, σ_max, |τ_xy|_max. При построении линий первого семейства следует составить таблицу 3, образец которой приведен ниже в примере выполнения РПР. В первом столбце таблицы записать n значений σ_min, последовательно возрастающих по абсолютной вели­чине приблизительно до ее максимума с равномерным предварительно вычис­ленным шагом

(11)

и округленным затем до ближайшего к нему меньшего числа кратного 50 кПа или 100 кПа.

Первым в столбец заносится значение σ_min = Δ σ_min, последним – значение σ_min = nΔ σ_min.

Например, если наибольшее сжимающее напряжение в плотине σ_min = –2457 κΠа, а max |σ_min| = 2457 кПа и решено построить 6 линий равных напряже­ний этого вида, то шаг без округления

Δ σ_min = = 409,5 кПа

после округления

Δ σ_min = 400 кПа

и значит в таблицу нужно записать 6 следующих значений σ_min :

–400, –800, –1200, –1600, –2000, –2400 кПа

Следует обратить внимание на то, что при σ_min = 0 линия равных минимальных напряжений вырождается в точку 0 на вершине профиля плотины, а при σ_min = –2457 кПа - в крайнюю правую точку В основания.

После заполнения столбца 1 нужно вычислить значения координаты у для точек пересечения линий равных напряжений σ_min с каждым лучом и зане­сти в следующие пять столбцов таблицы 3. Вычисления произвести путем де­ления записанных в первый столбец этой таблицы напряжений на взятые из таблицы 2 множители при у в выражениях σ_min.

По данным таблицы 3 вычертить линии равных напряжений σ_min. Построить таким же образом линии равных напряжений σ_mаx, |τ|_max, предварительно составив и заполнив таблицу 4 и таблицу 5, подобные таблице 3.

4. Воспользоваться определением: траектория главного напряжения – ли­ния, в каждой точке которой вектор, изображающий такое напряжение, касателен к этой линии.

Сделать отсюда вывод, что для построения сетки траекторий нужно предварительно вычислить в ряде точек на лучах значения угла α наклона главного напряжения σ_mаx к оси x и использовать для этого формулу

(12)

Достаточно определить пять значений: α₀, α₁, α₂, α₃, α₄, подставляя поочередно в формулу (12) данные таблицы 2 для каждого луча.

Эти же углы будут для главного напряжения σ_min к оси Y.

Убедиться, что для всех точек одного и того же луча значение α посто­янно и поэтому все лучи, исходящие из вершины профиля, представляют собой изоклины.

Учесть, что вертикальная грань плотины является главной площадкой поскольку здесь τ_ху = 0, а потому на нулевом луче расчет по формуле (12) при­водит к одному из двух возможных результатов:

1) при σ_х – σ_min ≠ 0 tgα₀ = 0, откуда α₀ = 0;

2) при σ_х – σ_min = 0 tgα₀ = ∞, откуда α₀ = 90.

Причем второй результат получается путем раскрытия неопределенности вида ø/ø. Таким образом в любой точке нулевого луча σ_mаx направлено либо верти­кально, либо горизонтально.

Учесть также, что и наклонная грань является главной площадкой, на ко­торой σ_mаx = 0, а поэтому на четвертом луче искомый угол α₄ = β.

При построении траекторий нужно изобразить в масштабе профиль пло­тины со всеми лучами, а рядом вычертить углы α₀, α₁, α₂, α₃, α₄ с общей вершиной и общей горизонтальной стороной, чтобы иметь пучок прямых в пяти направлениях σ_mаx.

В учебных целях достаточно четырех–пяти траекторий для каждого из двух главных напряжений. В этом случае на второй луч нужно нанести три точки, разделяющие его на четыре равных участка между вершиной и основа­нием профиля.

Чтобы построить одну траекторию σ_mаx следует через любую из этих то­чек, например, через среднюю провести под углом α₂ к горизонтали отрезок так называемого второго направления путем параллельного переноса последне­го с пучка прямых. Левый конец этого отрезка ограничить точкой, лежащей посередине между вторым и первым, а правый – посередине между вторым и третьем лучами. От левого конца отрезка второго направления таким же спосо­бом отложить под углом α₁ отрезок первого направления до середины между первым и нулевым лучом, а из правого конца под угломα₃ - отрезок третьего направления до середины между третьим и четвертым лучами. Из левого концаотрезка первого направления провести крайний левый участок траектории σ_mаx перпендикулярно нулевому лучу, если α₀ = 0, или в виде асимптоты к оси у, ес­ли α₀ = 90⁰. Крайний правый ее участок провести из правого конца отрезка третьего направления под углом α₄ = β т.е. перпендикулярно четвертому лучу.

После этого нужно перейти к следующей точке на втором луче, получить подобным образом ещё одну траекторию σ_mаx и т.д., включая точку пересече­ния этого луча с основанием профиля.

Далее следует построить на том же чертеже траектории σ_min описанным выше способом, предварительно изобразив для этих напряжений пучок их на­правлений перпендикулярных направлениям σ_mаx. Построения нужно начинать с тех же точек на втором луче и откладывать отрезки второго, первого, третьего и других направлений посредством параллельного переноса последних с этогопучка.

Убедиться, что в полученной сетке траекторий нулевой и четвертый лучи также являются траекториями главных напряжений.

5.Чтобы вычертить эллипс напряжений в заданной точке луча, нужнонаметить два пересекающихся в ней взаимно перпендикулярных направления σ_min и σ_mаx перенеся их, например, с изображений пучков. Затем отложить от неё по этим направлениям в противоположные стороны по два равных отрезка, представляющих в выбранном масштабе величины σ_min и σ_mаx в этой точке и являющиеся полуосями эллипса. После этого провести эллипс по четырем вершинам.

Обратить внимание на то, что на четвертом луче эллипс вырождается в отрезок, а на нулевом луче большая ось эллипса располагается вертикально или горизонтально в зависимости от величины угла β. Подготовить устное объяс­нение таких особенностей эллипсов напряжений.

6.Работу представить в сброшюрованном виде на бумаге формата А4 с титульным листом установленного образца. В работе письменно сформулировать задание на её выполнение, изобразить схему профиля (рис.1), указать шифр и выбранные в соответствии с ним исходные данные, изложить теорети­ческие выкладки и расчеты, иллюстрировать граничные условия задачи, как показано на рис.2, привести восемь итоговых графиков: 1) эпюры σ_х, 2) эпюры σ_у, 3) эпюры τ_ху, 4) линии равных σ_min, 5) линии равных σ_mаx, 6) линии равных |τ |_max, 7) траектории σ_min, σ_mаx, 8) эллипсы напряжений.

Каждый график построить на отдельно вычерченном для него профиле плотины в удобном при пользовании стандартном масштабе. Построения ре­комендуется выполнять на миллиметровой бумаге указанного выше формата.

На графиках нанести числовые значения напряжений.

Допускается совмещение сетки траекторий σ_min, σ_mаx и эллипсов напряжений на одном чертеже профиля.

Студентам-заочникам разрешается оформление работы, включая по­строение графиков, в отдельной школьной тетради из бумаги в клетку.